球面距离计算公式的推导及举例

在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）

如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，O为圆心，⊙O为过A、B的大圆，⊙O为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设AOB2，AOB2，球半径为R，半径为r．则有AB大圆弧长L2R，

L2RR （1）

l2rarRsin但AB2Rsin2rsin，即 （2）

rsinsinLsin将（2）代入（1）得

sinlasinAB小圆弧长l2r（3）

sinxx∵Rr，由（2）式知.由于00.2fx2，故只需证明函数fx可

.

∴

在

内为单调递减即

xcosxsinxcosxxtanx0, 22xx∵当x0,时，有tanxx）∴fx在0,单调递减,

22由（3）式不难得到1，即Ll. 故大圆劣弧最短。

球面距离公式：设一个球面的半径为R，球面上有两点A1,1、B2,2. 其中1，2为点

的经度数，1、2为点的纬度数，过A、B两点的大圆劣弧所对的圆心角为

，则有

Ll12cos1cos2sin1sin2]（弧度） arccos[cosA、B间的球面距离为：LRRarccos[cos12cos1cos2sin1sin2] 证明：如图1，⊙O1与⊙O2分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过

B、D

的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂

AE直，作

面O2BC，垂足

E位于O2C上，连结

EB、

AB. 则

2222AE2O1O2OO1OO2Rsin1Rsin2R2sin1sin2

在O2BE中，由余弦定理，得：BE2O2E2O2B22O2EO2Bcos12 故AB2AE2BE2R2[22sin1sin22cos1cos2cos12]

22又AB2Rsin4Rsin2R21cos，比较上述两式，化简整理得： 2222coscos11cos1cos2sin1sin2，从而可证得关于与L的两个式子.

计算球面距离的三种类型

现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考．

1．位于同一纬度线上两点的球面距离

例1 已知A，B两地都位于北纬45，又分别位于东经30和60，设地球半径为R，求A，B的球面距离．

分析：要求两点A，B的球面距离，过A，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角AOB的大小（见图1），而要求AOB往往首先要求弦AB的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．

解：作出直观图（见图2），设O为球心，O1为北纬45圈的圆心，连结

OA，OB，O1A

．由于地轴NS平面AO1B．∴OAO1与OBO1为纬度45，AO1B为

O1B，AB二面角A-OO1-B的平面角．∴AO1B603030（经度差）．

Rt△OAO1Rcos451中，O1AOAcosOAO2R． 2△O1AB中，由余弦定理，AB2O1A2O1B22O1AO1BcosAO1B

22222322RRRRcos30R．

2222222△

OAB中

22，

R2R2由余弦定理：

cosAOBOAOBAB2OAOB2232R232，

2R24∴AOB21．∴AB的球面距离约为

R180217R． 602．位于同一经线上两点的球面距离

例2 求东经57线上，纬度分别为北纬68和38的两地A，B的球面距离．（设地球半径为R）．

解：经过A、B两地的大圆就是已知经线．

AOB683830，AB30RR．

18063．位于分歧经线，分歧纬线上两点的球面距离

例3A地位于北纬30，东经60，B地位于北纬60，东经90，求A，B两地之间的球面距离．（见图4）

解： 设O为球心，O1，O2分别为北纬30和北纬60圈的圆心，连结OA，OB，

OAO130，

AB．\\Rt△OO1A中，由纬度为30知

O1OOAsinOAO1Rsin301R, 2AO1OAcosOAO1Rcos303R．Rt△OO2B中，OBO260， 2∴

O2ORsin603R2，

O2BRcos60R2,∴

O1O2OO2OO13131RRR． 222注意到O1A与O2B是异面直线，它们的公垂线为O1O2，所成的角为经度差

906030，利用异面直线上两点间的距离公式．

2AB2O1A2O2B2O1O22O1AO2Bcos（为经度差）

31231315232R2RRRRcos30R．

222224OAOBAB2OAOB22222△AOB中，cosAOBR2R25232R4 2RRR732335R． 0.8205．∴AOB35．∴AB的球面距离约为180368