第二章-随机变量的分布及数字特征

一、教学要求

1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；

2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率； 3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；

4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；

5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。 二、重点与难点

本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。

一、

随机变量

§2.1 随机变量及其分布

1．引入随机变量的必要性

1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。 2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如： 掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。

注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字X来表示，这个数X是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。

2．引例

先看一个具体的例子: 例1 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数． 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为

1，2，31，3，42，3，43，4，51，2，41，2，51，3，51，4，5

2，3，52，4，5我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为1，2，3．因此， X 是一个变量．

但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量．

X 的取值情况可由下表给出： 黑球数X 样本点 黑球数X 样本点 3 1 1，4，5 ，2，3 1 12 2 2，3，4 ，2，4 2 2 1，2，5 2，3，5 2 1 2，4，5 ，3，4 1 12 1 3，4，5 ，3，5 由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此

变量 X 是样本空间上的函数：

XX

我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

：X2X2表示取出2个黑球这一事件；

X2表示至少取出2个黑球这一事件，等等．

3．定义

1）描述性定义：定义在样本空间上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z等表示；随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。

2）严格定义：设(,,P)为一概率空间，XX(),是定义在上的实值函数，若对任一实数x，{:X()x}，则称X为随机变量。 4.随机变量的例子

例2 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数．

则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…．

Y100表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

50Y100表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件

例3 观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z：该生物的寿命．

则 Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实

数．Z1500表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件． 二、分布函数及其性质 1.分布函数的概念

定义 设(,,P)为一概率空间，X为定义在其上的随机变量,对任意实数x,称 F(x)P(Xx)

为随机变量X的分布函数,且称X服从F(x),记为X~F(x).有时也可用FX(x)表明是X的分布函数. 2.例子

例4 向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X的分布函数F(x),并求P(X>解 事件“Xx”表示所抛之点落在半径为x(0xr)的圆内，故由几何概率知

2r). 3x2x2r2r25F(x)P(Xx)2()2.从而P(X> )=1-P(X)=1-()2.

rr33393.分布函数的性质

定理：任一分布函数F(x)都有如下三条基本性质:

（1）单调性: F(x)是定义在整个实数轴(,)上的单调非减函数，即对任意的x1x2，有F(x1)F(x2)；

（2）规范性:F()=limF(x)0；

xF()=limF(x)1。

x（3）右连续性:F(x)是x的右连续函数，即对任意的x0，有 limF(x)F(x0)，

xx0即 F(x00)F(x0)。

证明 略。

注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。 （2）有了分布函数的定义，可以计算：

P(aXb)F(b)F(a)，P(Xa)F(a)F(a)， P(Xb)1F(b)等。

三、离散随机变量及其分布列 1．离散型随机变量的概念

若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。

讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。

2．分布列 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x1,x2,LxnL，则称X取

xi的概率

pip(xi)P(Xxi),i1,2,Ln,L 为X的概率分布列或简称为分布列，记为X~pi。

分布列也可用下列形式表示：

x1p(x1)X P 或

p(x2)Lp(xn)LK x1 x2 p1 p2 x2LxnLK

3.分布列的基本性质

(1)非负性：p(xi)0,i1,2,L; (2)正则性：

p(x)1.

ii1注 1）离散随机变量的分布函数为：F(x)xixp(x)。

i2）设离散型随机变量X的分布函数为 Fx，xk为其间断点，k =1, 2, …, 则X

的分布律为 pkPXxkFxkFxk0,k1,2,L 4.例子

例5 设离散随机变量X的分布列为

231， 0.250.50.25试求P(X0.5),P(1.5X2.5)，并写出X的分布函数。 解 略。

例6从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：

X：取出的5个数字中的最大值．试求 X 的分布列． 解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．并且

Ck41PXk5C10k5，6，L，10

8 35252 具体写出，即可得 X 的分布列： X 5 6 7

1515P 252252252

9 70252 10 126252 例7设随机变量 X 的分布列为

1PXnc4n n1，2，L,试求常数c．解：由分布列的性质，得

11 1PXncc4，所以c3．14n1n114n四、连续随机变量及其密度函数 1.连续型随机变量的概念

定义 设随机变量Ｘ的分布函数为F(x)，如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x)，使得对任意ｘ，有

F(x)xp(t)dt，

则称X为连续随机变量，称p(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数。 2.密度函数的基本性质 （１） 非负性：p(x)0； （２） 正则性：

p(x)dx1；

反过来，若已知一个函数 p(x) 满足上述性质(1)和(2),则p(x)一定是某连续型随机变量X的概率密度函数．

另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质： （1）a,bR,(ab),P(aXb)F(b)F(a)更一般的，对一般的区间B，有

bap(x)dx。

P(XB)p(x)dx.

B（2）连续型随机变量X的分布函数 F(x)是连续的,但反之不真；

（3）连续型随机变量X取任一确定值的概率为0；即对于任意实数c ，P(Xc)0； 事实上，h0,0P(Xc)P(chXc)令h0,cchp(x)dx.

cchp(x)dx0,即得P(X=c)=0。

注：因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,概率为零的事件未必是不可能事件；

概率为1的事件也不一定是必然事件。 (4) 若P(x)在x0处连续，则有F(x)xx0p(x0)

3．例子

Kx2例8设X~p(x)Kx0解 (1)由性质

0x252x3，求:(1)常数K；(2)X的分布函数；(3)P(1X).

2其它22302p(x)dx1,得KxdxKxdx1。解之得K6. 31631x26X~p(x)31x00x22x3。 其它(2)X的分布函数为

x00x00x262x30x2310x2310tdt F(x)324 F(x)2x62631x312x331tdt31tdt2x320x311x3555352423832（3）P(1X)F()F(1)()1p(x)dxL2231231311241。 

§2.2 随机变量的数字特征

概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律，但是： (1)在实际应用中概率分布常常难以精确地求出；

(2)在实际问题中,有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征，而不是随机变量全面的变化规律,如测量误差的平均误差,评定射击手的稳定性的离散度等；

(3)对很多重要分布，只要知道它的某些数字特征，就可以完全确定其概率分布。 数字特征通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。

一、随机变量的数学期望 1．引例

某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得（元） 1点 1 2，3点 2 4，5，6点 4 求：一次游戏平均得多少钱？ 解：假设做了n次游戏，n1—得1元次数，n2—得2元次数，n3—得4元次数，

则n1n2n3n,获得：1n12n24n3。每次平均得：

1n12n24n3nnn112243.当n很大时，

nnnn123171p12p24p3124.

66662.离散型随机变量的数学期望

1）定义

设离散随机变量X的分布列为

pip(xi)P(Xxi),i1,2,Ln,L 如果

|x|p(x)，

iii1则称 E(X)xp(x)

iii1为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则称X的数学期望不存在。

注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，其与 X 取值顺序无关。 2）例子

|x|p(x)iii1ξ=k)=(1-p)p,(k=1,2,L),求E. 例9 设服从几何分布，P(解：Ek-1k(1p)k1k1ppk(1p)k1.

k11kxk1由于kxx,故 2k1k11x(1x)''k(1p)k1k111,E 2ppk2k1例10 设X取xk(1) (k=1,2,…)对应的概率为pxkk，证明E(X)不存在。

k211证明 pxkk0且pxkk1。但级数

2k1k122k11xkpxkk发散

2k1kk1kk1所以E(X)不存在，但级数

2k1(1)kxkpxk(1)kln2(交错级数满足Leibniz条件)(收敛) k2kk1k1k1k要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。

2． 连续型随机变量的数学期望

1） 定义

设连续随机变量X的密度函数为p(x),如果

|x|p(x)dx，

则称 E(X)xp(x)dx

为X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若则称X的数学期望不存在。

2）例子 例11 设随机变量X服从p(x)Cauchy分布。 解

|x|p(x)dx不收敛，

1(1x2)

(-∞试讨论E(X)。此分布称为

xf(x)dxxx12dx2dxln(1x)|0, 220(1x)(1x)即

xf(x)dx不绝对收敛，因此数学期望E(X)不存在。

设X服从区间(a,b)上的均匀分布，求E(X)。 例12设随机变量X的密度函数为：

0x1x,(x)2x,1x20,其它 求数学期望EX。 解：

012EXx(x)dxx0dxxxdxx(2x)dxx0dx0121773236

例13 设X为仅取非负整数的离散型随机变量，若其数学期望存在，证明： E(X)P(Xk).

k1证明：由于 E(X)kP(Xk).而

k1P(Xk)P(Xk1k1jkj)P(X1)P(X2)P(X3)

P(X2)P(X3)P(X3)kP(Xk)E(X).

k1例14 设连续型随机变量X的分布函数为F(x),且数学期望存在，证明

E(X)[1F(x)]dxF(x)dx.

00证明：E(X)xdF(x)xdF(x)xdF(x)xdF(x)xd(1F(x))

0000 xF(x)|由均值存在得

0F(x)dxx(1F(x))|0(1F(x))dx.

0|x|dF(x),于是有

A0AF(A)|x|dF(x)0(当A)0B(1F(B))|x|dF(x)0(当B).B

以此代入EX的计算式即得E(X)[1F(x)]dxF(x)dx.

00二、随机变量函数的分布及数学期望

1.随机变量函数的分布

1）离散型随机变量函数的分布列 设X一个随机变量，分布列为 X~P(Xxk)pk, k＝1, 2, …

则当Y＝g(X)的所有取值为yj(j＝1, 2, …)时，随机变量Y有如下分布列：

P(Yyj)qj, j＝1, 2, …

其中qj是所有满足g(xi)yj的xi对应的X的概率P(Xxi)pi的和，即

P(Yyj)g(xi)yjP(Xxi)

2例15 设离散型随机变量X有如下分布列，试求随机变量Y(X3)1的分布列。

X 1 P 0.5 3 0.1 5 0.15 7 0.25 解Y的所有可能取值为1，5，17

P(Y1)P((X3)211)P(X3)0.1，

P(Y5)P((X3)215)P(X1)P(X5)0.50.150.65， P(Y17)P((X3)2117)P(X7)0.25。

故Y的分布列为

Y P 1 0.1 5 0.65 17 0.25 2）连续型随机变量函数的分布 (1)一般方法

设连续型随机变量X的概率密度函数为pX(x)，(-FY(y)P(Yy)P(g(X)y)从而Y的概率密度函数PY(y)为

g(x)yp(x)dx。

pY(y)dFY(y). dy例16 设随机变量X~pX(x)

2x,0x1,求Y=3X+5的概率密度。

0,其它解 先求Y=3X+5的分布函数FY(y)。

y5FY(y)P(Yy)P(3X5y)P(X)3pX(x)dx

3y5y5,0,1(y5)2,5y8, 9y8.1,Y的概率密度函数为

2(y5),5y8,d9pY(y)FY(y)

dy0,其它.例17 设XU(-1,1),求YX2的分布函数与概率密度。

解Q1pXx201x1其它yg(x)x2

FYyP(Yy)P(X2y)x2ypXxdx

当y<0时，FY(y)0 ；当y≥1时FY(y)1； 当0≤y<1时FY(y)12dxyyy，

1pY(y)FY'(y)2y0(2）公式法

0y1其它。

一般地, 若X~pX(x),yg(x)是严格单调可导函数，则

Yg(X)~pY(y)pX[h(y)]|h(y)|

其中h(y)为y＝g(x)的反函数。

注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数；

2、注意定义域的选择。

例18 设X ～U(0,1)，求Y=aX+b的概率密度。(a≠0) 解 Y=ax+b关于x严格单调，反函数为h(y)故pY(y)pX[h(y)]|h(y)|pX(yb， ayb1) ，而 aa110x1，所以 pY(y)apX(x)其它00补充定理：

0yb1a。 其它若g(x)在不相叠的区间I1,I2,L上逐段严格单调，其反函数分别为h1(y),h2(y),L均为连续函数，那么Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为

'pY(y)pX(h1(y))h1'(y)pX(h2(y))h2(y)L

例19若X~N(0,1)，计算YX的密度函数。

2解：yg(x)x分段单调，在(,0)中反函数xh1(y)y,而在[0,)中反函数为xh2(y)2y.故Y的密度函数为

111y1pY(y)(y)||(y)||y2e2,y0. 2y2y2pY(y)0,y0.即Y~(1)。

2.随机变量函数的数学期望

设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 定理 设Yg(X)( g为连续函数 ) ⑴ 设X为离散型随机变量，其分布律为

2P{Xxk}pk,(k1,2,3,L)

若级数

g(x)pkk1k绝对收敛,

则g(X) 的数学期望为E(Y)E(g(X))g(x)pkk1k。

⑵ 设X为连续型随机变量，其概率密度为p(x),若

g(x)p(x)dx绝对收敛，则g(X) 的

数学期望为E(Y)E(g(X)) 注：该公式的重要性在于:当我们求E[g(X )]时,不必知道g ( X )的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。 例20 设随机变量X~B(n,p)，Ye2X g(x)p(x)dx

，求E(Y).

kknk解 X~B(n,p)，分布列为 P(Xk)Cnpq,k0,1,2,Ln

E(Y)E(e2X)eCpq2kknkk0nnkkCn(pe2)kqnk(pe2q)n. k0n其中p+q=1

xex例21设随机变量X 的概率密度为p(x)0解：E(2x0其它，求 E ( 1 / X )。

11221)p(x)dxxexdxexdx.

00Xxx2三、数学期望的性质

性质1.若C是常数，则E(C)=C.

性质2.对任意的常数a，E(aX)=aE(X)． 性质3.对任意的两个函数g1(x)，g2(x)，有

E(g1(X)g2(X))E(g1(X))E(g2(X))。

四、随机变量的方差与标准差 1.方差与标准差的定义 1）引例

甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm，公差为0.2mm，即直径在9.8mm到10.2mm的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：(mm)

甲 9.8 9.9 10.0 10.0 10.1 10.2 乙 9.0 9.2 9.4 10.6 10.8 11.0

易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm，但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同。甲组离散程度小，质量较稳定，乙组的离散程度大，质量不稳定。

为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度，可用|X-EX|的均值来表示，称为X的绝对离差，记作E|X-EX|，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值得均值不易计算，常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。

2）定义 若随机变量E{[XE(X)]}的数学期望存在，则称E{[XEX]}为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X)。

22(xiE(X))2p(xi),在离散场合；D(X)Var(X)E(XEX)2i1

(xE(X))2p(x)dx,在连续场合。称方差的正平方根D(X)为X的标准差，记为(X)或X。 注：在实际计算中，通常使用如下公式

D(X)EXE(X)22EX22XE(X)E(X)22

E(X2)2E(X)E(X)E(X)E(X2)E(X).3）例子

例22 已知随机变量X的分布列如下，求D(X)。

-2X:1/16-12/1603/1612/16. 8/162解 数学期望E(X)=7/8，

E(X2)(2)2123285(1)2021222， 16161616162D(X)E(X2)(EX)257216049111。 ()28例23 设随机变量X~p(x)解 E(X)21x1x0，求D(X)。

1x0x101x(1x)dxx(1x)dx0，

01E(X)x(1x)dxx2(1x)dx100211， 6D(X)E(X2)(EX)22.方差的基本性质

性质1 D(c)0,其中c为常数;

1。 6性质2 D(aXb)aD(X),a,b是常数。

性质3（方差最小性）X为随机变量，方差存在，则对任意不等于EX的常数C,都有

2D(X)E(XEX)2E(XC)2.

证明 由数学期望的性质，有

E(XC)2E[(XEX)(EXC)]2E[(XEX)22(EXC)(XEX)(EXC)2]E(XEX)E(EXC)2(EXC)E(XEX)DXE(EXC)2DX(EXC)2,由于CEX，所以(EXC)0,故DXE(XC). 五、随机变量的矩和切比雪夫不等式

1．原点矩与中心矩

kk1）若E(X)存在，则称AkE(X)为随机变量X的k阶原点矩，简称k阶矩(k=1,2,…)，

22

22而E|X|称为X的k阶绝对原点矩；

kk2）若E{[X-E(X)]}存在，则称Bk=E{[X-E(X)]}为随机变量X的k阶中心矩

k(k=1,2,…)，而E{|X-E(X)|}称为X的k阶绝对中心矩。 注：一阶原点矩就是数学期望；X的二阶中心矩就是X的方差。 例24设随机变量X~N0，解：令Yk2 ，试求EX．nXEXDXX，则Y~N0，1．所以，

nnnnnnEXEYypYydy2yeny22dy。

(1)当n为奇数时，由于被积函数是奇函数，所以EXn0．(2)当n为偶数时，由于被积函数是偶函数，所以

EXn2n2ye0ny22dy

111y2令：t,则2222y2t,dytdt2t2dt

2EXn2n2n22nn1122tt0edt

n2nn22nn11t2t0n12nn1t1xedt2(),其中(t)xedx 220利用函数的性质：r1rr，得22nn1n122nn1n3n3nEX222222n2nnnn1n3112n1!!Lnn1!!n222222nn2

2.矩不等式

定理1（马尔可夫不等式）设X的k阶矩存在，即E|X|,则对任意的0，有

kP(|X|)E|X|kk.

证明：仅对连续型随机变量的情形证之。

设X是连续型随机变量，其密度函数为p(x),则

P(|X|){|X|}p(x)dx|X|k{|X|}kp(x)dx1kk|x|p(x)dx1kE|X|k.

定理2（切比雪夫不等式） 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意的常数0，有

P(|XE(X)|)或

Var(X)2，

P(|XE(X)|)1Var(X)2。

证明 令YXEX，利用马尔可夫不等式即得。

推论 若随机变量X的方差存在，则Var(X)0的充要条件是X几乎处处为某个常数，即

P(Xa)1。

证明 充分性： P(Xa)1，也就是X~1，从而

aEXa1a,EX2a21a2,故 DXEX2(EX)20.

必要性：

11P(XEX)P(|XEX|0)P(U{|XEX|})P(|XEX|),

nnn1n1由切比雪夫不等式，有

1DXP(|XEX|)0, 2n1n故P(XEX)0,从而P(XEX)1.

§2.3 常用概率分布

本节主要内容包括二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布正态分布、均匀分布、指数分布、分布、-分布和对数正态分布。主要介绍二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 一、离散型随机变量 1. 退化分布

若随机变量X以概率1取某个常数a，即X~1，则称X服从a处的退化分布。

2．0－1分布．

若随机变量X的分布列为： P(X=k)=p(1p)k1k2a， k=0，1，(0则称X服从以p为参数的0-1分布(或两点分布) ，记为X~B(1,p)。

若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为{1,2},我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量

1当1发生时， X0当2发生时。即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。 易知EXp,DXp(1p)。 3．超几何分布

若随机变量X的概率分布为

knkCMCNM(k=0, 1, …, min(n, M)).P{Xk}nCN

则称X服从参数为M,N,n的超几何分布。

记作 X～H(n,M,N). 由(1x)(1x)nMNM(1x)N知

knknCMCNCMP(Xk)N1. nnCNCNk0k0n设有N个产品，其中M个不合格品。若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格

品数是一个随机变量，由古典概率计算公式有X服从参数为M、N和n的超几何分布。

EXnMnM(NM)(Nn),DX. 2NN(N1)4．二项分布

i）定义

若随机变量X的分布列为

kknk P(Xk)Cnpq,k0,1,...,n,

其中p+q=1，则称X服从以n，p为参数的二项分布，记为X~B(n,p)。 可以证明：

kknkP(Xk)Cnpq0,k0,1,2,L,n,P(Xk)Ck0k0nnknpqknk(pq)1.n

kknkCnpq正好是二项式(pq)n展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时

P(Xk)pkq1k (k=0,1)即为0-1分布。

ii）二项分布的概率背景

进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中PAp，PA1pq,令X：在这n次试验中事件A发生的次数．则X~Bn，p. iii）二项分布的分布形态

若X~Bn，p，则

PXkPXk11n1pkkqq1p

由此可知，二项分布的分布PXk先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少．这个使得PXk达到最大值的k0称为该二项分布的最可能次数。可以证明：

如果n1p不是整数，则k0n1p；如果n1p是整数，则k0n1p或n1p1.

iv) 二项分布是超几何分布的极限分布

设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N),则当N时，X近似的服从二项分布B(n,p),即下面的近似等式成立:

knkCMCNkknkMCpq.（*） nnCN其中pMNM,q1p. NNML(Mk1)(NM)L[NM(nk)1]knkCMCNk!(nk)!证明：nMN(N1)L(Nn1)CN

n!kML(Mk1)(NM)L[NM(nk)1]CnN(N1)L(Nn1)

MMk1NMNMnk1L()L()kNNNNNNCn1n1(1)L(1)NN

k1nk1pL(p)qL(q)kNNCn,1n1(1)L(1)NNMNM,q1p.当N时，得 其中pNNknkCMCNkknkMlimCnpq. nNCN所以，当N充分大时，近似等式（*）成立。 v)例子

例25 对同一目标进行300次射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击

最可能命中几次？其相应的概率是多少？

解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令：X表示300次射击命中目标的次数。则由题意X~B300，0.44．由于

它不是整数因此，最可能射击的命中次数为 30010.44132.44，k0[132.44]132.其相应的概率为

132PX132C3000.441320.561680.04636.

例26 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。

解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出正确意见）,X~B(7,0.6)。 因此X的分布列为

P(Xk)C7k0.6k0.47k,k0,1,2,...,7，所求概率为

P(X4)P(X4)P(X5)P(x6)P(X7)C7k(0.6)k(0.4)7k0.7102.k47VI)二项分布的数学期望与方差

E(X)kp(Xk)kCpqknkk0k0nnnkkk0nn!pkqnkk!(nk)!kk1nn!n!pkqnknpkpk1qnk(k1)!(nk)!(k1)![(n1)(k1)]!k1nn1n

npCk1k1n1pk1q(n1)(k1)tk1k1tn1tnpCnnp(pq)n1np 1pqt0D(X)E(X2)(EX)2EX(X1)X(EX)2EX(X1)E(X)(EX)2n(n1)p2np(np)2 npnp2npq其中

EX(X1)k(k1)Cpqknkk0nnkk(k1)k0nn!pkqnkk!(nk)!n(n1)pn(n1)pn(n1)p2(n2)!pk2q(n2)(k2)k2(k2)!(n2)(k2)!(n2)!ptqn2tt0t!(n2)t!n2n2

2Ct0n2tn2ptqn2tn(n1)p2(pq)n2n(n1)p25．泊松分布

1）定义 如果随机变量X的分布列为 P(Xk)kk!e,k0,1,...，

其中参数0，则称这个分布为泊松分布，记为X~P()。 易知：

P(Xk)kk!e0,k0,1,2,L;

P(Xk)k!ek0k0kek!ee1.

k0k2）泊松分布举例 单位时间内的电话呼叫次数；候车室候车的人数；1平方米上的砂眼数等。

3）二项分布的极限分布

泊松(Poisson)定理 设>0，n是正整数，若limnpn0,，则有

nknknnknlimCp(1pn)kk!e,k0,1,2,L.

即当随机变量X~B(n, p)，(n＝0,1,2,…)， n很大，p很小且np适中(0.1np10时较好)时，记=np，则

P(Xk)Cp(1p)knknkkk!e,k0,1,2,...,n

对称的，若n很大而q=1-p很小且nq适中时，有

P(Xk)CpqknknkCnknqnkpn(nk)(nq)nknqe,k0,1,2,...,n (nk)!例27 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概

率（用Poisson分布近似计算）．

解：设 B={ 600次射击至少命中3次目标 }

进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验. X：600次射击命中目标的次数 则X~B600，0.012．

用Poisson分布近似计算，取6000.0127.2.则

PBPX31PX31PX0PX1PX2 1e7.27.2e7.27.227.2e0.9745.2例28 一批二极管的次品率为0.01,问一盒中至少装多少只这样的二极管才能使得至少有100个正品的概率在95%以上?

解：设每箱应装n100s件二极管，s是一个小整数，从而np(100s)0.011,由

题条件知X~B(100s,0.01),据题意应有0.95P(Xs)21111e0.9810,e0.9197. k!k!k0k0311e,查表知 k!k0s故s取3符合题意，也就是说每箱应至少装103只二极管才能以95％以上的概率正品有100

个。

4）泊松分布的数学期望与方差

E(X)kP(Xk)kk0k0kk!etek1k(k1)!

ek1k1(k1)!et0t!eeD(X)E(X2)(EX)2E(X(X1))EX(EX)2E(X(X1))其中

222

E(X(X1))k(k1)k0kk!ee2k2k2(k2)!

e2t0tt!e2e2.6. 几何分布 1）定义

设随机变量X的可能取值是1,2,3,…,且P(Xk)qk1p,k1,2,L

其中0随机试验的可能结果只有2种，A与A试验进行到A发生为止的概率P(X=k)，即k次试验，前k-1次失败，第k次成功。 3）几何分布的期望与方差 由例9知

E(X)1， pD(X)E(X(X1))E(X)(EX)2

EX(X1)k(k1)qk1k1ppqk(k1)qk2k22q2pq(qk)pqpq 31q(1q)k22pq112(1p)111p22 322pppp(1q)ppD(X)例29 进行重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行

的试验次数，求X的分布列。 解 m=1时,P(Xk)(1p)k1p,k1,2,...

m>1时，X的全部取值为：m,m+1,m+2,…

1m1P(Xk)Ckm(1p)kmpkm,m1,m2,... 1p二、连续型随机变量 1．均匀分布 １）定义

若随机变量Ｘ的密度函数为

1,axb; p(x)ba

0,其他。则称Ｘ服从区间(a,b)上的均匀分布，记为X~U(a,b)。

均匀分布U(a,b)的分布函数为

0,xa;xaF(x),axb;

ba1,xb.2）均匀分布的数学期望与方差

ab(ba)2,Var(X). 若X~U(a,b)，则E(X)2122．指数分布

1）定义

若随机变量Ｘ的密度函数为：

ex,x0; p(x)

0,x0.则称Ｘ服从指数分布，记作X~Exp()。其中，参数0。

指数分布的分布函数为：

1ex,x0; F(x)

0,x0.生活中，指数分布应用很广．像电子元件的使用寿命、电话的通话时间、排队时所需的

等待时间都可用指数分布描述．因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用．

２）指数分布的数学期望与方差

若X~Exp()，则E(X)1,Var(X)12。

这里为失效率，失效率愈高，平均寿命就愈小。 3）指数分布的无记忆性

定理：如果X~Exp()，则对任意的s>0,t>0,有

P(Xst|Xs)P(Xt)。

例30 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为

t的泊松分布，求T的概率密度。

解F(t)P(Tt) 当t≤0时，F(t)=0;

当t>0时，F(t)=P(T≤t)=1-P(T>t)=1-P(在t时刻之前无汽车过桥)=1-P(Xt=0)=1e于是

t

etp(t)F'(t)0t0. t0 3.正态分布 1)定义

若随机变量X的密度函数为

(x)21 p(x)exp, 222g则称X服从正态分布，称X为正态变量，记为X~N(,)。其中参数，

20。

正态分布的分布函数为：

1 F(x)2g(x)2dx。 2exp2x其中，称为位置参数，称为尺度参数。 正态分布密度函数p(x)的性质

(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称，即 p( +x)=p( -x)，x∈(-∞,+∞) (2)x= 时，p(x)取得最大值p()=

12；

(3)x= ±σ处有拐点；

(4)的大小直接影响概率的分布，越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峭。 (5)曲线p(x)以x轴为渐近线。

2)标准正态分布

定义 称0,1的正态分布N(0,1)为标准正态分布。

N(0,1)的密度函数和分布函数分别为：

u21(u)exp,u，

221(u)2t2dt,u。 exp2u例31 设U~N(0,1)，利用附表2，求下列事件的概率：（1）P(U1.52);（2）P(U1.52);（3）P(U1.52);（4）P(0.75U1.52);（5）P(|U|1.52). 解 略。

3）一般正态分布的标准化 定理 若X~N(,)，则U证明 略。

2X~N(0,1)。

例32 若X~N(108,3),求：(1)P(102X117);(2)常数a，使得P(Xa)0.95. 解 略。

4）正态分布的数学期望与方差 若X~N(,)，则

22E(X)令xxp(x)dxx112teeet22(x)222dx

t(t)2dt12tet22dt12t22dt0.22D(X)E(XEX)(x)f(x)dx(x)21222e(x)222dxe2t22令xtt12

dttdet222t2212et22dt2t2t2222teedt(02)2.

225）正态分布的3原则

设X~N(,)，则

20.6826,k1; P(|X|k)(k)(k)0.95,k2;

0.9973,k3.由此可见，正态变量的99.73%的值落在(3,3)内，这个性质被称为正态分布的3原则。

4.其它常见的连续型分布 （1）分布

如果一个随机变量X具有密度函数

r1x(r)xe,x0,p(x)

x0,0,r这里r0,0为参数，(r)布，记作X~(r,)。

0则称X服从参数为r,的分xr1exdx为函数，

注：(i)当r1时，(1,)就是参数为的指数分布E()。

(ii) 函数具有如下性质：

1(1)1,(); 2(1)().当为自然数n时，有(n+1)=n(n)=n!.（2）分布

如果随机变量X的密度函数为

nx1122p(x)2n/2(n/2)xe,x0,

x0,0,2这里n为参数，则称X服从参数为n的分布，并记X:(n). 注：n个相互的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从(n)。（3）对数正态分布

如果随机变量X的密度函数为

222

1(lnx)2exp{},x0;2 p(x)2x20,x0.则称X服从参数为和的对数正态分布。

X注：设随机变量X~N(,)，则Ye服从对数正态分布。

22作业：