数字信号处理课程总结(公式全是用公式编辑器编的哦).

绪论部分概括性地介绍了数字信号处理的基本概念，实现方法，特点，以及涉及的理论、实现技术与应用这四个方面。

信号类别：

1.连续信号（模拟信号）

2.时域离散 ，其幅度取连续变量，时间取离散值

3.幅度离散信号，其时间变量取连续值，幅度取离散值 4.数字信号，幅度和时间都取离散值

数字信号处理的四个方面可以抽象成两大方面的问题：（1）数字信号处理的研究对象（2）数字信号处理的一般过程。

1. 数字信号处理的研究对象

研究用数字信号或符号的序列来表示信号并用数字的方法处理这些序列，从而得到需要的信号形式。

2. 数字信号处理的一般过程（注：数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术存在诸多优点，

所以对于模拟信号，往往通过采样和编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理）

1）信号处理过程（不妨假设待处理信号为模拟信号）

xa(t)预滤波A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波 xa(t)：模拟信号输入

预滤波：目的是带宽（一般使用低通滤波器）

1采样：将信号在时间上离散化 ○

○A/DC：模/数转换2量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值）

3编码：将幅度值表示成二进制位（条件f○

数字信号处理：对信号进行运算处理

s2f）

cD/AC：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号在采样时刻幅度发生

跳变 ）

平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑

y(t)：输入信号经过处理后的输出信号

a有处理过程可见数字信号处理的特点：

1）灵活性

2）高精度和高稳定性 3）便于大规模集成

4）可以实现模拟系统无法实现的诸多功能 最后对信号处理的发展的肯定和展望

第一章 时域离散信号和时域离散系统

（一）时域离散信号

一般由模拟信号等间隔采样得到：

x(n)xatnTxa(nT)n

1.时域离散信号有三种表示方法：

1）用集合符号表示 2）用公式表示 3）用图形表示 2.常见的典型序列：

1）单位采样序列 (n)2） 单位阶跃序列 u(n)3）矩形序列

{{10n0n0n0n0

10RN(n){n100nN1其他n

4）实指数序列 x(n)au(n)5）正弦序列x(n)sin （n）a为实数

xa(t)sin（t）

x(n)xa(t)tnTsin(nT)sin(n)T6）复指数序列 x(n)e(j0)n Fs

7）周期序列x(n)x(nN)n。 （二）时域离散系统 时域离散系统定义

x(n)T.y(n)

y(n)Tx(n)

时域离散系统中：

1）线性系统

判定公式：若y1(n)=T[x1(n)],y2(n)=T[x2(n)]则y(n)T[ax1(n)bx2(n)]ay1(n)by2(n) 2）时不变系统

判定公式：y(n)=T[x(n)]

y(n-n0)=T[x(n-n0)]

线性时不变系统输入与输出之间关系：

h(n)T[(n)] x(n)mx(m)(nm)axy(n) x(m)(nm)

y(n)my(n)T[x(m)(nm)]

my（n）=

mx(m)h(nm)=x（n）*h（n）

重点：线性是不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积 卷积的求解方法： 1）图解法 以例说明：

已知x(n)= R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。 解：（翻转，移位，相乘，相加） y(n)=

mx(m)h(nm)=R(m)R(nm)

44m

2)解析法

3)Matlab求解

4.系统因果性和稳定性的判定 因果性判定：h（n）=0，n<0 稳定性判定：

nh(n)

（三）线性常系数差分方程 1）差分方程定义

y(n)bix(ni)aiy(ni)

i0i1MN2）差分方程求解：○1经典法 ○2递推法 ○3变换域法

（四）模拟信号数字处理方法（与绪论部分介绍相同）

xa(t)预滤波A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波 xa(t)：模拟信号输入

预滤波：目的是带宽（一般使用低通滤波器）

1采样：将信号在时间上离散化 ○

○A/DC：模/数转换2量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值）

3编码：将幅度值表示成二进制位（条件f○

s2f）

c数字信号处理：对信号进行运算处理

D/AC：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号在采样时刻幅度发生

跳变 ）

平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑

y(t)：输入信号经过处理后的输出信号

a

第二章 时域离散信号和系统的频域分析

（一）时域离散信号傅里叶变化的定义和性质

1)物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便

于研究问题。

定义：X(e)FT[x(n)]jnx(n)ej

存在的充分条件：

nx(n)

j反变换：x(n)IFT[X(e)]2)FT的周期性：X(e)j12X(ej)ejtd

X(ej(2M))M为整数

nx(n)ej(2M)njj3）线性：设X1(e)FT[x1(n)]，X2(e)FT[x2(n)]，那么

FT[ax1(n)bx2(n)]aX1(ej)bX2(ej)

4）时移与频移性质： 设X(e)FT[x(n)]，那么

jFT[x(nn0)]ejn0X(ej)

FT[ej0nx(n)]X(ej(0))

5）FT的对称性：

*xe(n)xe(n)

6）时域卷积定理

设 y(n)x(n)*h( n)则 Y(e)X(e)H(e) 7）频域卷积定理 设y(n)h(n)x(n)

jjj11则 Y(e)H(ej)*X(ej)22jH(ej)X(ej())d

8）帕斯维尔定理：

1x(n)22x(ej)d

2

（二）周期序列的离散傅立叶级数及傅里叶表示式 1）周期序列的离散傅立叶级数：

x(n)展成离散傅里叶级数：

~xen0N1~j2mnN[aken0n0j2(km)nNN1N1j2knN]ej2mnNaken0n0N1N1j2(km)nN

式中

en0N1{Nkmkm0

2）周期序列傅里叶变换表示式：

2X(e)Nj~k2knNX(k)(~j~2k) N

式中 X(k)kx(n)e（三）时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：

X(eX(ejT)Xa(j)

^jT1)Xa(jjks)

Tk式中 s2Fs（四）序列的Z变换 1）Z变换定义

2 TX(z)kx(n)zn RxzRx

注意：Z变换+不同收敛域对应不同收敛域的不同序列

序列（Z变换+收敛域） 2）序列特性对收敛域存在影响 3)逆Z变换

唯一X(z)kx(n)z1nRxzRx

x(n)2jcX(z)zn1dz

X(z)zn1dzRes[F(z),zk] 1留数法：○2jck12部分分式展开法： ○

4）Z变换的性质

1线性性质M(z)ZT[m(n)]aX(z)bY(z)○

2序列的移位性质 ○

RmzRm

X(z)ZT[x(n)]RxzRx ZT[x(nn0)]zn0X(z)RxzRx

3序列乘以指数序列的性质 ○

X(z)ZT[x(n)]RxzRx y(n)anx(n)a为常数 Y(z)ZT[anx(n)]X(a1z)aRxzaRx

RxzRx

4序列乘以n的ZTX(z)ZT[x(n)]○

ZT[nx(n)]zdX(z)dxRxzRx

5复共轭序列的ZTX(z)ZT[x(n)]○RxzRx

ZT[x*(n)]X*(z*)RxzRx

6初值定理X(z)ZT[x(n)] ○

x(0)limX(z)

z7终值定理limx(n)lim(z1)x(z) ○zz18时域卷积定理 ○

设(n)x(n)*y(n)

X(z)ZT[x(n)]RxzRx Y(z)ZT[y(n)]RxzRx

则W(z)ZT[(n)]X(z)Y(z)9复卷积定理ZT[x(n)]X(z)○

RwzRw

RxzRx

ZT[y(n)]Y(z)RyzRy

(n)x(n)y(n)

W(z)2j1zdX()Y()RxRyzRxRy

c10帕斯维尔定理ZT[x(n)]X(z)○RxzRx

ZT[y(n)]Y(z)RyzRyRxRy1，RxRy1

那么

nx(n)y*(n)12jcX()Y*(11)d *5）Z变换解差分方程

ak0ky(nk)bkx(nk)

k01求稳态解 ○

Y（z）=H(z)X(z)

式中

H(z)bzkMkazkk0k0M

ky(n)IZT[Y(z)]

2求暂态解 ○

Y(z)bkzazkk0k0NMkX(z)kakzk0Nklkkk1y(l)zl

azk0N6）利用Z变换分析信号和系统的频响特性 1频率响应函数与系统函数 ○

Y(z)H(z)X(z)bziMiazik0i0M

i2用系统极点分布分析系统的因果性和稳定性 ○

因果系统：h（n）=0，n<0  右序列收敛域为圆外 稳定系统：收敛域包含单位圆

nx(n)

3利用系统的极零点分布分析系统的频率响应特性 ○

H(z)A(1czrM1)

(1dzrr1r1N1)

第三章 离散傅里叶变换（DFT）

（一）离散傅立叶变换的定义及物理意义 1）DFT定义

knX(k)DFT[x(n)]x(n)WNn0N1k0,1,2,...,N1

离散傅里叶逆变换（IDFT）：

1x(n)IDFT[X(k)]NX(k)Wn0N1knNn0,1,2,...,N1

2）离散傅里叶变换和Z域变换关系

X(z)ZT[x(n)]x(n)zn

n0knX(k)DFT[x(n)]Nx(n)WNn0M1M1k0,1,2,...,N1

X(k)X(z)zej2Nkk0,1,2,...,N1

jDFT的物理意义：X（k）为x(n)的傅里叶变换X(e)在区间[0,2]上的等间隔采样。 3）DFT的隐含周期性

kkmNWNWNk,m为整数，N为自然数

（二）离散傅里叶变换的基本性质 1）线性性质

若y(n)ax1(n)bx2(n)则Y(k)DFT[y(n)]aX1(k)bX2(k) 2）循环移位性质 时域循环移位定理

设y(n)x((nm))NRN(n)

km则Y(k)DFT[y(n)]NWMX(k)bX2(k)

其中X(k)DFT[x(n)]N频域循环移位定理 如果X(k)DFT[x(n)]N0kN1

0kN1

y(k)X((kl))NRN(k)

nl则y(n)IDFT[Y(k)]NWMx(n)

有限长度的序列进行循环移位： 1） 周期延拓 序列值从某一方向移出，此时序列从另一方向移入 2） 移位

3） 截取主周期

（三）循环卷积定理

1）定义h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为

yc(n)[h(m)x((nm))L]RL(n)

m0L12）循环卷积定理

x(n)x2(n)○Nx1(n)=x2(m)x1((nm))N]RN(n)

m0N1循环卷积和线性卷积的区别

线性卷积：翻折—>乘加—>移位 ：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k） 循环卷积：补零—>周期延拓—>翻折—>循环移位—>对应值相加 （四）复共轭序列的DFT 1）性质

设x(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，X(k)DFT[x(n)]N， 则DFT[x(k)]NX(Nk)***0kN1

（五）频率域采样

X（z）在单位圆上的N点等间隔采样X（k）的N点IDFT是原序列想x（n）以N为周期的周期延拓序列的主值序列，即

x(n)x(n)RN(n)~ix(niN)RN(n)

频域采样定理：如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数NM，才有

xN(n)IDFT[X(k)]x(n)，即可以由频域采样X（k）恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现

象。

（六）DFT的应用举例 1）用DFT计算线性卷积

设h(n)和x(n)的长度分别为N和M，其L点循环卷积为

Lx(n)yc(n)h(n)○h(m)x((nm))LRL(n)

m0L1且

H(k)DFT[h(n)]LX(k)DFT[x(n)]L 0kL1

则由DFT的循环卷积定理有

Yc(k)DFT[yc(n)]LH(k)X(k) 0kL1

2）用DFT对信号进行谱分析

第四章

（一） 运算量分析：

快速傅里叶变换（FFT）

有限长序列x(n)的N点DFT为

knX(k)DFT[x(n)]x(n)WNn0N1k0,1,2,...,N1考虑x(n)为复数序列的一般情

况，对于某一个k值需要N次复数乘法和（N-1）次复数加法。当N较大时，运算量相当可观。显然，若把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数减少。另外，旋转因子WNm具有明显的周期性。FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，并利用WNm的周期性来减少DFT的运算次数。

快速傅里叶变换引入：加快傅里叶变换计算速度减少计算量

（二）基2 FFT算法原理

基2FFT算法分为两大类: 时域抽取法和频域抽取法

1）时域抽取法如下：

设序列x(n)长度为N，且满足N=2M，M为正整数。按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列：

x(2r)x1(r)r0,1,N1 2Nx(2r1)x2(r)r0,1,,1

2,N12r0N12r0则x(n)的DFT为

nk2rk(2r1)k X(k)DFT[x(n)]x(n)WNx(2r)WNx(2r1)WNn0N1

2rkkx1(r)WNWNx2(r)WN2rk r0r0N12N12rkkrkx1(r)WN/2WNx2(r)WN/2 r0r0N12N12kX1(k)WNX2(k)

k所以X(k)X1(k)WNX2(k)k0,1,N/21

NN1122rkrkX(k)x1(r)WNx1(r)WN1/2/2DFT[x1(r)]N/2r0r0 NN1122rkrkX2(k)x2(r)WNx2(r)WN/2/2DFT[x2(r)]N/2r0r0将X(k)又可以写为

X(k)X1(k)WNkX2(k)NXkX1(k)WNkX2(k)2k0,1,k0,1,N12 N,12,上式将N点DFT分解为两个N/2点的DFT运算，运算过程如下图示

利用蝶形运算求解。

DIT-FFT算法与DFT运算量的比较

直接计算DFT与FFT算法的计算量之比为

N2Nlog2N22NN越大，FFT的优点越为明显

log2N2）频域抽样法

将长度为N=2M的序列x(n)前后对半分开, 其N点DFT可表示为 X(k)x(n)Wn0N1nkN x(n)Wx(n)WNnk

nkNn0nN2N12n0N12N12N1x(n)WN12nkNnkNxnWN2

2n0NNnkx(n)xnWNNk/2WN2n0k0, 1, ,N1

按k的奇偶可将X(k)分为两部分

k取偶数时

N2nrX(2r)x(n)xnWN2n0Nnrx(n)xnWN/22n0N12N12r0,1,,N12

k取奇数时

Nn(2r1)X(2r1)x(n)xnWN2n0N12N12r0,1,,N1 2Nnnrx(n)xnWNWN/2

2n0rnNX(2r)x(n)Wx(n)x(n)xn1N/212n0令 得到

N/21x(n)x(n)xnNWnrnX(2r1)2x(n)WN2N/22n0N/21注：DIT—FFT与DIF—FFT比较

DIT 奇偶分组：输入倒，输出顺 计算：先乘后加（减） DIF 前后分组：输入顺，输出倒 计算：先加（减）后乘

（三） IDFT的高效算法

比较DFT和IDFT的运算公式:

knX(k)DFT[x(n)]x(n)WNn0N1x(n)IDFT[X(k)]（四）其他快速算法

1NX(k)Wk0N1

knN第五章 时域离散系统的基本网络结构

（一）用信号流图表示网络结构

1）信号流图：不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有多种信号流图与之相对应。特点：

1.信号流图中所有支路都是基本之路。 2．流图环路中必须存在延迟支路。 3．节点和支路数是有限的。

有限长单位脉冲响应网络，简称FIR，其中一般不存在输出对输入的反馈支路，差分方程：

y(n)bix(ni)其单位脉冲响应是有限长的，h(n)表示为

i0Mh(n){bn00nM其他n

无限长单位脉冲响应网络，简称IIR，存在输入对输出的反馈支路，单位脉冲响应是有限长的。 （二）IIR系统的基本网络结构 1）IIR系统分类： 1．直接型

对应的系统函数为：

H(z)bzii0Mi0Mi

1aizi相当于

H(z)H2(z).H1(z)

特点：便于理解，累积误差大，运算速度相对慢。 2．级联型

对应的系统函数为：

H(z)A(1czrM1)

(1dzrr1r1N1) 特点：级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。相对直接型结构，其优点是调整方便，此外，运算累积误差较直接型小。 3．并联型

对应的系统函数为：

H(z)H1(z)H2(z)...Hk(z)

特点：每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。运算误差不积累。运算速度最高。

（三）FIR系统基本网络结构

1）FIR系统分类： 1．直接型 H(z)n0N1h(n)nz

特点：直观明了，便于理解，但不便于调整参数。

2．级联型

将H（z）因式分解得到

特点：每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭极点，调整零点位置比直接型方便，但H（z）中的系数比直接型多（近似3/2N），因而需要的乘法器多。

第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

（一）数字滤波器的基本概念

1.数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。 2.滤波器分类： 经典按滤波特性分 低通滤波器 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器 3.现代滤波器 维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器 线性预测滤波器

（二）滤波器技术指标

通带边界频率 阻带截止频率

片段常数特性：通带波纹幅度1 阻带波纹幅度2

通带最大衰减p 阻带最大衰减s

（三）脉冲不变法、双线性不变法设计IIR数字低通滤波器 脉冲响应不变法步骤：

设模拟滤波器的系统函数为Ha(s)，相应的单位冲击响应是ha(t)，Ha(s)LT[ha(t)]。 LT[.]代表拉氏变换，对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到ha(nT)，将h(n)=ha(nT)作为数字滤波器的单位脉冲响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域逼近方法，它使h(n)在采样点上等于ha(t)。但是，模拟滤波器的设计结果是

Ha(s)，所以下面基于脉冲响应不变法的思想，导出直接从Ha(s)到H(z)的转换公式。

设模拟滤波器

Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：

Ha(s)i0NAi ssi式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换，得到：ha(t)Aeii0NsinTu(t)

式中，u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：

sinTh(n)ha(nT)Aeu(nT) ii0N对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)，即

H(z)Ai siT11ezi0N优点：

1.频率变换关系是线性的，即=T，如果不存在频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频响特性。

2.数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲击响应波形，时域特性逼近好。 缺点：会产生不同程度的频谱混叠失真，其适合用于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤波器的设计。 双线性不变法

非线性脉冲响应s平面s平面z平面 1频率压缩不变法Ha(s)i0NAi ssi121z将双线性变换s带入Ha(s)，得H(z) 1T1zH(z)Ha(s)s21z1T1z1

21z1优点：1.不产生频域混叠现象2.双线性变换法可由简单的代数公式s将Ha(s)直接转换1T1z成H(z)。

缺点：与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，是数字滤波器频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器的频响曲线形状。

第七章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

（一）线性相位FIR数字滤波器的条件和特点：

1）线性相位FIR数字滤波器：

对于长度为N的h(n)，频率响应函数为

H(e)jn0N1jj()jnh(n)e H(e)Hg()e 式中 Hg()称为相频特性；  称

为相位特性。

2）线性相位FIR数字滤波器时域约束条件

1第一类线性相位对h(n)的约束条件，要求 和h(n)满足： ○

N1() 2h(n)h(N1n) 0nN12第二类线性相位对h(n)的约束条件，要求 和h(n)满足： ○

N1() 220nN1h(n)h(N1n)3线性相位FIR数字滤波器幅度特性H()的特点： ○g实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的频域约束条件。 1.h(n)=h(N-n-1),N为奇数，可以实现各种滤波器

2.h(n)=h(N-n-1),N为偶数，不能实现高通和带阻滤波器 3．h(n)=-h(N-n-1),N为奇数，只能实现带通滤波器

4．h(n)=-h(N-n-1),N为偶数，不能实现低通和带阻滤波器 4零分布特点： ○

H(z)h(n)zn将h(n)h(N1n)代入上式，得到

n0N1H(z)z(N1)H(z1)

（二）利用窗函数法设计FIR滤波器：

设计原理：H(z)3、典型窗函数： 1）矩形窗

h(n)zn0N1n

R(n)RN(N)

2）三角形窗

2nN12n2N110n(N1)2 1(N1)nN12B(n){3） 汉宁窗Hn(n)0.52n[1cos()]RN(n)N12n)]RN(n) N1

4）哈明窗Hm(n)[0.0.46cos(5）布莱克曼窗B1(n)[0.420.5cos6）凯塞—贝塞窗k(n)2n4n0.08cos]RN(n) N1N10nN1

I0()I0()式中1(2n1)2 N16种窗函数的基本参数： 窗函数类型 旁瓣峰值 过度带宽度 Bt 近似值 4/N 8/N 8/N 8/N 12/N 精确值 1.8/N 6.1/N 6.2/N 6.6/N 11/N 10/N 阻带最小衰减 n/dB 矩形窗 三角形窗 -13 -25 s/dB -21 -25 汉宁窗 哈明窗 布莱克曼窗 凯塞窗-31 -41 -57 -57 -44 -53 -74 -80 （ =7.865） 对FIR滤波器的影响：调整窗口长度N只能有效的控制过渡带的宽度，并不能减 少带内波动以及增大阻带衰减。 设计步骤：（1）根据对阻带衰减以及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度

N；

j （2）构造希望逼近的频率响应函数Hd(e)，即

Hd(e)Hdg()ejj(N1)/2

jw （3）计算hd(n)：如果给出待求滤波器的频响函数为Hd(e)，那么在单位脉冲响

应作用下：hd(n)12Hd(ej)d；

（4）加窗得到设计结果：h(n)hd(n)w(n). 1、 R滤波器：

设计思想：

1h(n)NHk0N1d(k)WNkn n=0，1，…，N-1

将h(n)作为设计的FIR滤波器的单位脉冲响应，其系统函数H(z)为： N1 H(z)h(n)zn ……①

n0N1 内插形式：H(z)1zNHd(k)N1Wk1 k0Nz① 式适用于FIR直接型网络结构，②式适用于频率采样结构设计时对Hd(k)的约束条件：

Hjd(e)Hdg()ej()

……②