高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 ABa,BCba2、向量加法：设，则+b=ABBC=AC （1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

ABBCCDPQQRAR

，但这时必须“首尾相连”．

aa3、向量的减法： ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 bbabbaaa②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的

终点的向量（a、b有共同起点）

aa4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）

aa； （Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相

反；当0时，a0，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a e,ea126、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，

有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

 二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

(1) 若

ax1,y1,bx2,y2，则

abx1x2,y1y2

(2)

若Ax1,y1,Bx2,y2，则

ABx2x1,y2y1

(3) 若a=(x,y)，则a=(x, y)

ax1,y1,bx2,y2(4) 若

，则a//bx1y2x2y10

(5)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2

若ab，则x1x2y1y20

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos

叫做a与b的数量积（或内积） 规定0a0 ab2向量的投影：︱b︱cos=|a|∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 22aaa|a|4向量的模与平方的关系： 5乘法公式成立：

；

ababa2b2ab22

aba2abb222a22abb2

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：abba

②对实数的结合律成立：

abababR

③分配律成立：

abcacbccab

abcabc特别注意：（1）结合律不成立：

；

（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2 008向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB= （0180）叫做向量a与

b的夹角 cosa,ba•ba•bx1x2y1y2cos==x1y1x2y22222 当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何

非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件： a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20平面向量数量积的性质