高中数学笔记(精华版)

高中公式

三角函数公式 和差角公式

和差化积公式

sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22tg()tgtgsinsin2cossin1tgtg22ctg()ctgctg1coscos2cosctgctg2cos2coscos-2sin2sin2积化和差公式

倍角公式

sin22sincos2tan1tan2sincos12[sin()sin()]cos22cos2112sin21tan2cossin12[sin()sin()] cos2sin21tan2coscos12tgctg22[cos()cos()]tg21tg2 ctg212ctg1sin33sin4sin3sinsin2[cos()cos()]cos34cos33cos3tgtg3tg313tg2半角公式

sin1cos122 cos2cos2tg1cos1cossin21cossin1cosctg1cos1cos21cossinsin1cosV=13SH V1棱柱=SH V棱锥棱台=3H(S+SS+S)球的表面积：4πR2

球的体积：4椭圆面积：πab 椭球的体积：43R33abc第1章 极限与连续

1.1集合、映射、函数

空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上

映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。

因变量，基本初等函数 1.2数列的极限

性质：1.2.（唯一性）收敛数列的极限必唯一。 3.（有界性）收敛数列必为有界数列。 （子列不变性）若数列收敛于注a，则其任何子列也收敛于 a注1.2. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，。

若数列{x仍不能保证原数列收敛。n}有两个子列{xp},{xq}注3. 就是原数列，则原数列也收敛于均收敛于性质3提供了证明了某数列发散的方法，a。

a，且这两个子列合起来

即用其逆否命题：4.（对有限变动的不变性）该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。若能从

得到的新数列仍收敛于a。若数列 {x}中的有限项所

n}收敛于a，则改变{xn5.

（保序性）若limxa,limyb，且aN时，有

nnnnxn判别法则：

1.夹逼法则：若∃N,当n>N时，xn≤yn≤zn，且limxn=limzn=a, 则nnlimyn=a。

n2.注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。单调收敛原理：单调有界数列必收敛。

3.在正整数柯西收敛准则：数列N ，使得当{xm，n}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数n>N时，有|xε，都存m-xn|<ε。

1.3函数的极限

性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则：

1.夹逼法则：若limxf(x)limh(x)A，且存在x0的某一去心邻域

x0xx0Uo(x)，使得xUo0,(x0,)，均有f(x)≤g(x)≤h(x)，则limxxg(x)A。

02.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。

3. 柯西收敛准则：函数f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈ Uo(x,0,)有|f(x’)-f(x’’)|<ε。

4.海涅(Heine)归结原则：limf(x)A的充要条件是：对于任何满足

xx0limnxnx0的数列{xn}，都有limnf(xn)A。

收敛于该点的自变量归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，者选出两个收敛于该点的数列x的数列{x例如可以挑选一个

n}，而相应的函数值数列{f(x却具有不同的极限。 {x}，而相应的函数值数列n)}却不收敛；或n},{x’n{f(xn)},{f(xn)}1.4无穷小与无穷大

若lim(x)l，当0时，则称x→x0时称α(x)xx0(x)l是β(x)的

01高阶无穷小，记作(x)o((x))同阶无穷小，记作(x)O((x))等阶无穷小，记作(x)~(x)常用等价无穷小

sinxtanxarcsin xarctanxex1ln(1x)~x1cosx~12x2(1x)a1~axax1~xlna若f(x=0), f’(0)≠0,则

x0f(t)dt12f(0)x2确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式 1.5连续函数

极限存在连续⇔左右极限存在且相等。

简断点：⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。

左右极限至少有一个不存在。1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。

1.6常见题型

求极限的方法：泰勒公式；7.放缩法；

5.洛必达法则；1.四则运算；6.利用函数极限求数列极限；2.换元和两个重要极限；3. 等价无穷小替换；4.求极限limx,就要将数列xn放大与缩小成：zn≤xn≤yn.

nn8.求递归数列的极限

(1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设limnxnA, 再对递

归方程an1f(an)取极限得A=f(A), 最后解出A即可。

(2)先设limnxnA，对递归方程取极限后解得A，再用某种方法证明

limnanA。

第2章 导数与微分

2.1求导法则和求导公式 求导法则：

1

1.[αu(x)+四则运算法则 βv(x)]’=αu’(x)+

βv’(x) [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+ u(x)v’(x)

[u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)] v2(x)2.复合函数求导

(f[(x)])f[(x)](x)

关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量 3.反函数求导 [f1(y)]1 f(x)4.5.隐函数求导参数式求导

xx(t),dyy(t),d2yy(t)x(t)y(t)x(t)

yy(t)dxx(t)dx2[x(t)]36.7.对数求导法分段函数求导

(1)按求导法则求连接点处的左右导数 设

f(x)g(x),xxx0(x),x,若g(xh0)h(x0)A,则f(x0)A.0xx(2) 按定义求连接点处的左右导数 设

g(x),xxx0f(x)A,xxg(x)与f(x)在点x0处无定义， 0,h(x),xxx可按定义求g(x0)与h(x0)0(3)对于

f(x)g(x),xx(1)f(x)很复杂，按定义求,f(xf(x)f(x000)lim) xx0xx0A,xx,0(2)否则，先求出f(x)，再求limxxf(x)08.变限积分求导

y(x)(x)f(t)dt,dyf((x))(x)f((x))(x) dx求导公式：

(C)0(sinx)cosx(arcsinx)1(x)x1(cosx)sinx1x2 (ax)axlna(tanx)sec2x(arccosx)11x21(ctgx)csc2x(logax)1xlna(secx)secxtanx(arctgx)(cscx)cscxctgx1x2(arcctgx)11x22.2高阶导数和高阶微分 求高阶导数的方法： 1.莱布尼茨（Leibniz）公式：n(u(x)v(x))(n)Ck(k)(nk)nu(x)v(x)

k02.常用公式

(eaxb)(n)aneaxb

(sin(axb))(n)ansin(axbn 2)(cos(axb))(n)ancos(axbn)

2((axb))(n)an(1)...(n1)(axb)n

(1axb)(n)an(1)nn!

(axb)n1(ln(axb))(n)an(1)n1(n1)!1

(axb)n3.分解为上述初等函数之和分解法

第3章 中值定理和泰勒公式

3.1中值定理

费马定理：若是函数的极值点必为驻点x0是f(x)1.)，的一个极值点，且

f’(x0)存在，则必有f’(x0)=0(可微(a,b)罗尔定理：若函数2.区间拉格朗日定理：若函数内可导；(iii)f(a)=f(b)f(x)满足以下条件；，则在(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)f(x)内至少存在一点满足以下条件；(a,b)内至少存在一点ξ(i)，使得在闭区间ξ，使得

[a,b]上连续；f’(ξ)=0.

(ii)在开f(b)f(a)f().

ba3.开区间柯西定理：若函数(a,b)内可导；(iii)f(x) 和∀xg(x)∈(a,b),g’(x)≠0满足以下条件；，则在(i)(a,b)在闭区间内至少存在一点[a,b]上连续；ξ，使得(ii)在

f(b)f(a)f()g(b)g(a)

g()3.2泰勒公式 求泰勒公式的方法：

1.泰勒公式（拉格朗日余项）：n1)f(x)nf(k)(x0)(xxkf(()0)k01)!(xx10)n k!(n2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）

ex1xxnxn11!x22!n!(n1)!exsinxxx3x53!5!(1)n1x2n1x2n1(2n1)!(1)n(2n1)!cosx

x2x42ncosx1x2!4!(1)n(2n)!1)n1x2n2((2n2)!cosx2ln(1x)xxx31xn23(1)n(1)nxn1n(n1)(1x)n1(1x)01x2x2xn1xn1(1x)(n1)nn11xx2...(1)nxn(1)n1xn1(1x)1(n1)1x11xx2...xnxn1(1x)1(n1) 1x1x11n3)!!1k1(2kkn(2n1)!!n1(n1)2x(1)x(1)x(1k2(2k)!!(2n2)!!x)23.逐项求导或逐项积分 若

f(x)(x)或f(x)x(t)dt，

φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，x0然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f(x)的泰勒公式。 例如：arctanxx101t2dtx0(1t2t4)dto(x5)x13153x5xo(x5) 3.3函数的极值、最值

驻点，导数不存在的点为极值可疑点。驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。

极值判别法则： 1.微，如果在设点x

0为函数值点。反之必为极小值点。(xf(x))内的极值可疑点，f’(xf(x)在点x0的邻域内连续，去心邻域内可0-δ,x00)≥0，在 (x0,x0+δ)内f’(x0)≤0，则x0必为f(x)2.(大若点)值点。x是

的极大0

f(x)的驻点且f’’(x0)存在，则当f’’(x0)>0(<0)时，x0必为f(x)的极小3.设函数f(x)在点x0处有n阶导数，且f(xn1)0)f(x0)...f((x0)0，但f(n)(x0)0，则(i)当n为偶数时，f(x)在点x0处取极值，当f(n)(x0)0时取极小值，当f(n)(x0)0时取极大值；(ii)当n为奇数时f(x0)不是极值。 3.4函数作图

定理：设函数上是凸（凹）函数的充要条件是：f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间2. f(λx1.f’(x) 在开区间(a,b)(a,b)内可导，则内单调递减（增）f(x)在。[a,b] 3. f’’(x1)+ (1-λ)x2)<(>) λf(x1)+(1-λ) f(x2), λ∈(0,1). 若函数0)≤(≥)0.拐点的必要条件：f(x)在点

x0处凹凸性相反，则点x0称为拐点的充要条件：f’(xf(x)的拐点。 f’’(x)0)=0经过时变号。或f’(x0)不存在。

渐近线：1.垂直渐近线：x=a是垂直渐近线⇔lim0或xlima0.

xa2

2.斜渐近线：f(x)=ax+b,ax)xlimf(,blim(f(x)ax)或

xxalimf(x)xx,b。 xlim(f(x)ax)（水平渐近线为其特例）

函数作图的步骤：1.2. 确定函数的定义域；

3. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等；

4. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；

5. 6. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表； 适当确定一些特殊点的函数值；根据上面提供的数据，作图。

第4章 积分

4.1不定积分 4.1.1.基本积分表

xdx111xC1xdxln|x|Caxdx1xlnaaCsinxdxcosxCcosxdxsinxCtanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotxCln|cscxcotxCln|tanx2|Csec2xdxtanxCcsc2xdxcotxCtanxsecxdxsecxCcscxcotxdxcscxC11x2dxarcsinxC或arccosxC11x2dxarctanxC或arccotxC1a2x2dx1aarctanxaC1a2x2dxarcsinxaC11ax122 a2x2dx2aln|ax|Cx2a2dxln|xxa|C11|xa122x2a2dx2alnxa|Cx2a2dxln(xxa)Ca2x2dxx2a2x2a2x2arcsinaCx2a2dxx222a222xa2lnxxaCx2a2dxx22a22xa2ln(xx2a2)Ceaxcosbxdxeaxa2b2(acosbxbsinbx)Ceaxsinbxdxeaxa2b2(asinbxbcosbx)C ex21不可积的几个初等函数：

lnxsinx2cosx2sinxcosxxx

4.1.2.换元积分法和分部积分法

换元积分法： 1.2.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。第二类换元积分法，拆分。

分部积分法：u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx

4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分 有理函数

R(x)P(x)的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：Q(x)（1）

A；（2）Axadx；

(xa)ndx

（3）

Mx+N；（4）

Mx+Nx2pxqdx(x2pxq)ndx

I ndx(x2a2)n1x2n32a2(n1)(x2a2)n12a2(n1)In1三角函数有理式的积分一般用万能代换tanx2t，对于如下

形式可以采用更灵活的代换：

对于积分对于积分R(sin2x,cos2x)dx，可令tanx=t；

R(sinx)cosxdx，可令sinx=t； 对于积分可化为有理函数的积分R(cosx)sinxdx，可令cosx=t，等等。 某些

1.R(x,naxb)dx型积分，其中n>1，其中ad ≠bc。

cxd这里的关键问题是消去根号，可令axbcxdt。 2.R(x,ax2bxcdx型积分,其中b24ac0，a ≠0。由于

ax2bxca(xb24acb2，故此类型积分可以化为以下三种类型：2a)4a2R(u,k2u2)dx，可用三角替换uksint； R(u,u2k2)dx，可用三角替换uksect； R(u,u2k2)dx，可用三角替换uktant。

In1tann1ntanxdxn1xIn2 倒代换：2221x，1x，由此还可以求出1，x1x4dx1x4dx1x4dx1x4dx

a1sinxb1cosxxbcosxdx,(a2b20)

asin解：设a1sinxb1cosxA(asinxbcosx)B(acosxbsinx)，为此应有

aAbBa1，解得bAaBbAaa1bb1ab1ba1，故

2,B21ab2ab2a1sinxb1cosxasinxbcosxdxAdxB(asinxbcosx)

asinxbcosxdxaa1bb1abxab1ba1a2b2ln|asinxbcosx|C 224.2定积分 4.2.1.可积条件

可积的必要条件：若函数可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。f(x)在闭区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。

4.2.2.定积分的计算 1.换元积分法

baf(x)dxf((t))(t)dx

从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。 2.分部积分法

bbau(x)v(x)dxu(x)v(x)|baau(x)v(x)dx

常见的积分和式

nbi(ba)(ba)af(x)dxlimnf(ai1n)nnbaf(x)dxlimnf(a(i1)(ba)(ba)i1n)n

3

nlim1nf(in)1n0f(x)dxi1220f(sinx)dx0f(cosx)dx

0f(sinx)dx220f(sinx)dx0xf(sinx)dx20f(sinx)dx20f(sinx)dxIn20sinnxdx20cosnxdx,In1nnIn2

使用分部积分法的常见题型： 被积函数的形式 所用方法 Px进行n次分部积分，每次均取n(x)e,Pn(x)sinx,Pn(x)cosx ex,sinx,cosx为v(x) Pn(x)lnx,Pn(x)arcsinx,Pn(x)arctanx 取Pn(x)为v(x) exsinx,excosx 取ex为v(x)，进行两次分部积分 4.2.3.定积分的应用 (1)平面图形的面积

dSf(x)dx(y)dy1r2()d 2(2)旋转体的体积

dVf2(x)dx2(y)dy2xf(x)dx

(3)弧长、曲率 弧微分公式：ds(dx)2(dy)21f2(x)dx12(y)dy

x2(t)y2(t)dtr2()r2()d

曲率：

K|d||y(t)x(t)y(t)x(t)||y|

ds[x2(t)y2(t)]3/2(1y2)3/2(4)静矩、转动惯量 mr, mr2 (5)

引力FGm1m2

r2①均匀细杆质量为M，长度为l，在杆的延长线上离右端为a处有一质量为m的质点，则质点与细杆之间的引力为F=kMm/a(a+l).

②均匀圆环质量为M，半径为r，在圆心的正上方距离为b处有一质量为m的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为

F=kMmb.

3(r2b2)2③均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。 4.3广义积分

广义积分审敛法1.比较法 f(x)≤kg(x),k≥0

2.比较法的极限形式

x)xlimf(g(x)k

3.柯西收敛准则|AAf(x)dx|

几个常见的广义积分

1dx1bdxxp,a0收敛,p1a；发散,pa(xa)p,a0收敛,p1发散,p13dx收敛,p1k收敛,0axlnpx,a1；发散,p1axexdx,k0发散,0

I1x10(1x2)(1x)dxtI=4

ex2dx 第5章 无穷级数

常数项级数敛散性的判定

1.若limnun0，级数发散，等于零，需进一步判定。

2.若u为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法：

nn1 ①一般项中含有 ②一般项中含有以n!或n的乘积形式，采用比值判别法；

③一般项中含有形如n为指数幂的因子，采用根值判别法； ④利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性；nα（α不一定是整数）的因子，采用比较判别法；

⑤采用定义，部分和数列{S n}有上界。

3. 若

u为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别法，若不为交

nn1错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件，采用比值判别法和根值判别法。

求函数项级数的收敛域：（1）比值法

limun1(x)；（2）根值法u(x)|1limnnu(x)1。n|nn求幂级数的收敛域：（1）比值法

lim|an1na|或lim|un1(x)|1；

nnun(x) （2）根值法limn|a|=或limnu(x)1。

nnnn常数项级数的求和：1.直接计算部分和Sn，然后求极限； 2.利用相应的幂级数。

幂级数的求和：利用逐项求导，逐项积分，四则运算等手段，将其化为可求

和形式（即前面的麦克劳林公式）。

求函数的幂级数展开式：就是求泰勒公式（前面有求泰勒公式的三个方法）。

f(x)a0傅立叶级数

2，1anf(x)cosnxdx(a

ncosnxbnsinnx)b1n1nf(x)sinnxdx狄利克雷充分条件f(x)，续点 S(x)f(x0)f(x0)，间断点212[f(0)f(0)]，x几个重要的级数 1.几何级数

aqn1当|q|1时收敛 2.p-级数1当p1时收敛n1当|q|1时发散

pn1n当p1时发散3.

1当p1时收敛 4.p1e 5.

12 n2nlnn=当p1时发散n0n!2n1n6第6章 微分方程

1. 可分离变量方程dydxg(x)h(y)

2.

可化为可分离变齐次方程dyydxf(x,y)(x) 量方程的方程可化为齐次方程的方程dyf(a1xb1yc1dxa)2xb2yc23.一阶线性方程dyP(x)yQ(y)yeP(x)dx(CQ(x)eP(x)dxdx)

dx4

4.伯努利方程dydxP(x)yQ(x)y令yz1dz(1)P(x)z(1)Q(x) dx5.全微分方程 特殊路径法，凑微分法

6.dp可降阶的不含yyf(x,y)令py,ydx 高阶方程不含xyf(y,y)令py,yydpdy7.

(1)已知y1线二阶齐次yp(x)yq(x)y0(2)令y2u(x)y1，代入求出y性2

(3)yc1y1c2y2微(1)求出对应齐次方程的y分方二阶非齐次1,y2(2)令y*u(x)y(x)u(x)y(x),求出uu1y1u2y20程yp(x)yq(x)yf(x)11221,u2u1y1u2y2f(x)(3)yc*1y1c2y2y8.常系数线性微分方程 二阶齐次

特征方程的根

微分方程的 微分方程的 yp(x)y 线性无关解

通解

q(x)y0

互异实根

er1x,er2x

yc1x2x1erc2er r1,r2

二重实根

erx,xerx

(crx1c2x)e

r1=r2=r

共轭复根

excosx,exsinx ex(c1cosxc2sinx)

r1,2=α±iβ

二阶非齐次

（1）求对应齐次方程的y1,y2 yp(x)y （2）令y*Q(x)exxk(A0A1x...Amxm)ex

q(x)yf(x)

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)pm(x)（3）yc1y1c2y2y*

9.欧拉方程

xny(n)pn11xy(n1)...pn1xypnyf(x)

xet,Dkdk令(k)dtk,则xkyD(D1)...(Dk1)y[D(D1)...(Dn1)p1D(D1)...(Dn2)...pn1D]yf(et)第7章 向量代数与空间解析几何

叉积ijk混合积axayaz abaxayaz(a,b,c)(ab)c=bxbybzbxbybzcxcycz(平行六面体的体积)A(xxxx0mt点法式0)B(yy0)+C(z-z0)=0参数式yynt平面三点式混合积为零直0 方程截距式xyzzz0pt线xx0yy0zabc1对称式z0一般式AxByCzD0方mnp程AxB1yC1zD1一般式10A2xB2yC2zD20平面束方程(A1xB1yC1zD1)(A2xB2yC2zD2)0

两平面夹角|A1A2B1B2C1C2|两直线夹角cosA2B2C22(平面与直线的夹角)

111A22B22Csin2点到直线的距离d|Ax0By0Cz0| 点到直线的距离

|

A2B2C2d|p1p0s|s|柱面：椭圆柱面x2z2x2z21-a2b2双曲柱面a2b21抛物柱面x22pz球面x2y2z2R2椎面x2y2z2a2b2c20xx2(t)y2(t)cosxx(t)y绕z轴旋转yx2(t)y2(t)sin常y(t)zz(t)见zz(t)二x2+次旋转面旋转椭园面y2a2z2b21曲f(x,x2+y2z2线z)绕z轴旋转f(x2y2,z)0旋转双a2b21(单叶)y022曲面xyz2a2b21(双叶)旋转抛物面x2y22pzx22222222y2z(椭圆) 2椭球面xyz1双曲面xy2z1单抛物面a2b2c2a2bc2双abx22a2-yb2z(双曲)第8章 多元函数微分学

复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量

xyFx由方程确定的隐函数F(i1,x2,...,xn)xiFy隐1(F, 函duF(x,u,v)0G)数dxJ(x,v)微G(x,u,v)0由方程组确dv1dx(F,G)J(u,x)分定的隐函数u1(F,G)du1(F,G)法F(x,y,u,v)0J(x,v),yJ(y,v)xx,y,u,v)0G(v1(F,G)xJ(u,x),vy1(F,G)J(u,y)(x(t0),y(t0),z(t0))(Fx(P0),Fy(P0),Fz(P0))曲线的切线y(x0),z(x0)曲面的切平面(f(x

x0,y0),fy(x0,y0),1)和法平面((F,G)(F,G)(F,G)和法线(y,z)(z,x)(x,y(y,z),(z,x),(x,y))((u,v),(u,v),)(u,v))二元函数泰勒公式

n(hly)(k)(hl)(n1)f(xx0h,y0l)k0k!f(xxy0,y0)n!f(x0h,y0l)

多元函数取极值的必要条件：fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0

多元函数1.fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0取极值的2.(1)ACB20,A0,正定,有极小值;A0,负定,有极大值

充分条件(2)ACB20,A0,不定,无极值(3)ACB20,不能确定求条件极值，用拉格朗日数乘法

min(或max)zf(x,y)Fx0(x,y)0,令F(x,y)f(x,y)(x,y),有 Fy0(x,y)0方向导数：偏导数是函数在平行于坐标轴方向上的变化率，有时需要考虑函数沿某一指定方向的变化率，这种变化率就是方向导数。

5

9.6格林公式

方向导数uluxcosuycosuuuzcos 梯度(x,y,uz) 第9章 多元函数积分学

9.1二重积分

1.x型区域Ibadxy2(x)yf(x,y)dy1(x)2.y型区域Idx2(y)cdyx(y)f(x,y)dx1二重积分3.换元法令xx(u,v)yy(u,v)If(x(u,v),y(u,v))|J|dudvIf(x,y)dDD1平移变换令xuaIf(ua,vb)dudvyvbD2极坐标变换令xrcosIyrsinf(rcos,rsin)rdrdD9.2三重积分

1.二套一，一套二换元xx(u,v,w)2令yy(u,v,w)I法zz(u,v,w)f(x(u,v,w),y(),z())|J|dudvdwvxua平移(1)变换令yvbIf()dudvdw三重积分zwcvxrcosIf(x,y,z)dv(2)柱坐标令yrsinIv变换f()rdrddzvzz球坐标xrsincos(3)yrsinsinI2变换令f()rsindrddvzrcos椭球xarsincos(4)坐标令ybrsinsinIf()abcr2sindrdd变换zcrcosv9.3重积分的应用

(1)曲面面积面积元素：dxdy,1f2x(x,ycos(n,z))f2y(x,y)dxdy,EGF2dudvx(x,y,z)dv(2)物体重心xv(x,y,z)dvv(3)转动惯量(mr2)对z轴dJz(x2y2)(x,y,z)dv对xy平面dJxyz2(x,y,z)dv9.4曲线积分

第一类(f(x,y,z)ds)代入弧微分公式L第二类(PdxQdyRdz)代入参数方程[P()x(t)Q()y(t)R()z(t)]dtL(A,B)9.5曲面积分

第一类(f(x,y,z)dS)代入面积元素S第二类(PdydzQdzdxRdxdy)zzS[P()Q(Dxyxy)R]dxdyQPdxQdy(QPxdxdyQdyDLLDxy)dxdyPydxdyPdxDL(i)PdxQdy0(ii)与路径无关(iii)duPdxQdy(iv)QP(i)Lxy(1)不定积分法求PdxQdy的原函数(2)若QP,特殊路径法xy(3)凑微分法9.7高斯公式

PvxdvPdydzSQydvQdzdxSRdvvzPdxdyS9.8斯托克公式

dydzdzdxdxdyPdxLPPSzdzdxydydx)QQQdxLSxdxdyzdzdy)PQRRdydzRRdzLSyxdxdz)(i)PdxQdyRdz0(ii)与路径无关(iii)duPdxQdyRdzLRQPRQ(iv)yz,zx,xPy(i)9.9如何简化计算 1.

2.选择积分顺序（二重积分，三重积分）3.选择投影方向（第4.利用对称性与奇偶性II类曲面积分） 5.换元曲线和曲面积分，利用已有方程

6.7.

利用几何或物理意义利用三个公式

线性代数

第1章 行列式

上三角行列式下三角行列式a11*a110a22a22a11a22...ann0ann*ann次三角行列式*an0ann(n1)2aa(1)a1a2...an22a10a1*两种特殊的A*A0拉普拉斯(0B*BABLaplace)展开式*A0A0(1)mnABB0B行列式的性质：行列不变；行行变反；倍加行不变。 范德蒙行列式 三对角行列式

6

空间的维数。 5.4实对称矩阵

性质：１２.

. 实对称矩阵一定是可对角化的；实对称矩阵的特征值全是实数，特征向量全是实向量，不同特征值的特

３征向量是正交的；

. 存在正交矩阵Ｔ，使得T-1AT=diag(λ1,λ2,…,λn) 求T：先求得特征向量，再正交化。

第6章 二次型

6.1二次型的定义和矩阵表示

二次型：二次型就是二次齐次多项式（即每项都是二次的）矩阵表示：xTAx

合同矩阵：若存在存在可逆矩阵C，使得CTAC=B，就称A合同于B，记作A

B。

6.2化二次型为标准型 １２.３. . 正交变换法 配方法初等变换法

6.3惯性定理和二次型的规范性

惯性定理：对于一个其中正平方项的项数和负平方项的项数都是唯一的。n元二次型，不论做怎样的坐标变换使之化为标准型，规范型：设A为n阶实对称矩阵，若A的正、负惯性指数分别为

p和q，则 Adiag(1,…,1,-1,…,-1,0,…,0)

其中 1或者说对于二次型有p个，-1有q个。xTAx ，存在坐标变换x=Cy，使得

xTAxy2...y2y2...y21pp1pq

把右端的二次型称为合同的充要条件：xTAx的规范型，把上面的对角矩阵称为A的合同规范型。 合同的充分条件： 合同的必要条件：A~BA、r(A)=r(B) 。B（二者的前提是，有相同的正惯性指数和负惯性指数。A, B是实对称矩阵） 6.4正定二次型和正定矩阵

定义：如果对于任意的非零向量正定二次型，称x=(x1,x2,…,xn)T都有xTAx>0，就称xTAx为二次型正定的充要条件：A为正定矩阵。 １. xT ２３. AAx的正惯性指数为是正定二次型；n

４.５. 存在可逆矩阵，即ATI； AP，使得A=PP；

. A的特征值全大于的顺序主子式全大于0； 0. 必要条件：1.aii>0；2|A|>0。

概率论与数理统计

第1章 概率论的基本概念

1.1基本概念

随机试验：样本空间，样本点，随机事件，事件发生，基本事件，必然事件，不可能事1.可以重复；2.总体明确；3.单个未知。

件，差事件，不相容事件，对立事件，逆事件 1.2频率和概率

数 n在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次A称为的概率。对随机试验A发生的频数，比值E的每一事件nAA/n都赋予一个实数，记为称为A发生的频率，并记成P(A)，称为时间fn(A)。 A③可列可加性：集合函数 当n→∞时频率P(AP(.)满足下列条件：①非负性：P(A) ≥0；②规范性：P(Ω) =1；1∪fA2∪…)=P(A1)+ P(A2)+…。 n(A)在一定意义下接近于概率P(A)。

加若A1,A2,,An互不相容,则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)法广义的,P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(BA) 公P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)nn式P(Ai)i1P(Ai)P(AiAj)ijn1iP(AiAjAk)(1)n1P(A1A2An)i11jkn减法若BA,P(AB)P(A)P(B)

公式任意的,P(AB)P(A)P(AB)1.3等可能概型

１２. 具有以上两个特点的试验称为等可能概型，也叫古典概型。. 样本空间包含有限个元素。每个基本事件发生的可能性相同。

1.4条件概率

设A、B是两个事件，且P(A)>0，称

P(B|A)=P(AB) P(A)为在事件

A发生的条件下事件B发生的条件概率。 乘法公式全概率公式 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

P(A)=P(A|B1)+ P(A|B2)+…+ P(A|Bn) 贝叶斯公式

P(BP(A|Bi)i|A)=nP(A|Bj)j11.5性

相互，简称设A、B是两个事件，如果满足等式A、B。 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B A与B相互⇔A与B相互⇔A与B相互⇔BA与B相互⇔P(A|B)=P(A|)=P(A) ⇔P(B|A)=P(B|A)=P(B)

第2章 随机变量及其分布

2.1随机变量

值单值函数，称设随机试验 X=X(e)E的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值，且它的取值有一定的概率。这些性质显示了随机变量与普通函数有着本随机变量的取值随随机试验的结果而定，为随机变量。 在试验之前不能预知它取什么质的差异。

2.2离散型随机变量及其分布律

散型随机变量。如果随机变量X全部可能的取值是有限个或可列无限个，则称X为离 P(X=x 几个常见分布：k)=pk为X

的分布律。 １. 0-1分布 P(Xk)pk(1p)1k,k1,2

２. 二项分布 P(Xk)Cknpk(1p)1k,k0,1,2,...,n

３. 泊松分布

P(Xk)kk!e,k0,1,2,...

４. 几何分布 P(Xk)pqk1,k1,2,... ５. 超几何分布

CknkP(Xk)N1CN2Cn,k0,1,2,...n

N1N22.3随机变量的分布函数

函数。设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P(X≤x)称为X的分布 １分布函数 F(x)具有以下性质： ２.３. . F(x) 0≤F(x)≤1是一个不减函数

F(x+0)= F(x)，且，即F(-∞)=0, F(+∞)=1F(x)是右连续的 2.4连续型随机变量及其概率密度

意实数如果对于随机变量x，均有

X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任F(x)x

f(t)dt则称密度。X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率 １. f(x)概率密度 ≥0; f(x)具有以下性质： ２.

；

f(x)dx1３.

P{xxx21Xx2}F(x2)F(1)xf(x)dx；

1４. 若f(x)在点x处连续，则有F(x)f(x)。

几个常见分布： １. 均匀分布

10,xa， f(x)ba,axb,F(x)xa,axb0,其他ba1,xb记为X~U(a,b)

8

２. 指数分布

f(x)xe,x01ex,x0 ,F(x)0,其他0,其他指数分布和几何分布具有“无记忆性” (x)2３. 正态分布

f(x)122，记为X~N(μ,ζ2

)。特别地，当

2μ=0, ζ=1x时，称X服从标准正态分布。正态分布具有以下性质

(1) 若X~N(,2),则X~N(0,1)

(2) F(x)(x)

(3) Φ(-x)= 1-Φ(x)

(4) 若X~N(,2),则aXb~N(ab,a22) 2.5随机变量函数的分布

求随机变量函数的分布：１. 离散型随机变量函数的分布

２. 列举法：逐点求出连续型随机变量函数的分布Y的值，概率不变，相同值合并 (1) 分布函数法

F{Yy}P(g(X)y)f(x)dx

Y(y)Pg(x)y(2) 公式法如果

型随机变量，其概率密度为y=g(x)处处可导且恒有

g’(x)>0(g’(x)<0)，则Y=g(X)也是连续f(y)fX[h(y)]|h(y)|,yRg

Y0,其他其中x=h(y)是y=g(x)的反函数。

第3章 随机变量及其分布

3.1二维随机变量

间设随机试验E的样本空间为S={e}，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空

二维随机变量。S上的两个随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量或 设(X,Y)是一个二维随机变量， x,y是任意实数，函数

F(x,y)P{XxYy}记成P{Xx,Yy} 称为二维随机变量 (X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 １２.３. ４. F(x,y)分布函数. 0≤F(x,y)是变量F(x,y)具有以下性质： F(x,y)对关于 ≤1x和y的不减函数。

x，且右连续，关于F(-∞,y)= F(x,y也右连续。-∞)= F(-∞, -∞)=0，F(+∞, +∞)=1。

F(x于任意的(x,y

1,y1),(x2,y2),x11,y1) ≥0。 (X,Y)如果二维随机变量 为离散型二维随机变量。(X,Y)全部可能取到的值是有限个或可列无限个，P{X=x则称i,Y=yj}=pij使得对于任意实数如果对于二维随机变量x，y，均有(X,Y)

的分布函数F(x,y)是(X,Y)，存在非负函数的分布律 f(x,y)，F(x,y)yxf(x,y)dxdy

则称称为随机变量(X,Y)为连续型二维随机变量，其中函数f(x,y) １. f(x,y)概率密度X和Y的联合概率密度。 称为(X,Y)的概率密度，或 ≥0. f(x,y)具有以下性质： ２.

f(x,y)dxdy1.

３. P{(X,Y)D}f(x,y)dxdy.

D４. 若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有2F(x,y).

xyf(x,y)3.2边缘分布

边缘分布函数：FX(x)F(x,),FY(y)F(,y) 边缘分布律：

P{Xx

i}pijpi,P{Yyj}1pijpjji1边缘概率密度：fX(x)f(x,y)dy,fY(y)f(x,y)dx

3.3条件分布 条件分布率：

P{XxP{Xxi,Yyj}pij i|Yyj}P{Yyj}pj条件概率密度：

ff(x,y) X|Y(x|y)fY(y)3.4相互的随机变量

X和Y相互⇔F(x,y)FX(x)FY(y)f(x,y)fX(x)fY(y)(连续

型)

P{Xxi,Yyj}P{Xxi}P{Yyj}(离散型)

3.5二维随机变量函数的分布 １. 离散型二维随机变量２. 列举法连续型二维随机变量

(1) 分布函数法

F(z)P{Zz}P(g(X,Y)z)x,y)dxdy

g(xf(,y)z(2) 公式法①Z=X+Y

fZ(z)f(x,zx)dxX,Y对称f(zy,y)dy

当X和Y相互时，有卷积公式

fZ(z)fX*fYfX(x)fY(zx)dxfX(zy)fY(y)dy

②Z=max(X,Y)和Z= min(X,Y)

Fmax(z)FX(z)FY(z)Fmin(z)1(1FX(z))(1FY(z))

第4章 随机变量的数字特征

4.1数学期望 离散型nE(X)x连续型kpkE(x)k1xf(x)dx

nE(g(X))g(xk)pk,离散型k1g(x)f(x)dx,连续型

E(Z)E(g(X,Y))g(x,y)f(x,y)dxdy

性质：1.E(C)=C

2.E(CX)=CE(X) 3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)

4.当X，Y相互时，E(XY)=E(X)E(Y)

4.2方差

D(X)=E{[X-E(X)]2}=E(X2性质：)-E(X)2 1.D(C)=0 2.D(CX)=C2

3.D(X±Y)=D(X)±D(X) 2Cov(X,Y)+D(Y)=D(X)±4.D(X)=0D(X)±2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}+D(Y)=

常见分布的数字特征：⇔P{X=C}=1 2[E(XY)-E(X)E(Y)]+D(Y) 离散型： 1.0-12.分布

3.二项分布4.泊松分布 E(X)=p,D(X)=pq E(X)=np,D(X)=npq 几何分布 E(X)=D(X)=λE(X)=1/p,D(X)=q/p

25.连续型：超几何分布 E(X)=n●N

1/N,D(X)=n●N1/N●N2/N●(N-n)/(N-1) 1.2.均匀分布 23.指数分布 正态分布 E(X)=(b+a)/2,D(X)=(b-a)2/12 E(X)=1/λ,D(X)1/λE(X)=μ,D(X)=ζ2 4.3协方差及相关系数

协方差性质：

Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}= E(XY)-E(X)E(Y) 9

中心矩

1n来估计总体的中心矩bE[(XE(X))k]。

k第8章 假设检验

bkn(XiX)ki1２. 最大似然估计法

(1) 写出似然函数

nnL()f(xi,)(或L()p(x.

i,))i1i1(2) 求出使L(θ)达到最大值的. L(θ)是n个乘积的形式，而且L(θ)与ln L(θ)在同一θ处取极值，因此的θ 最大似然估计量可以从dln()d0（对数似然方程）求得。

(3) 用作为θ的估计量。 7.2估计量的评价标准 １. 无偏性 E()=θ ２. 有效性 D(1)≤D(2) ３. 相合性 P

7.3区间估计

设总体X的分布函数F(x; θ)含有一个未知参数θ，对于给定值α(0<α<1)，若 由来自X的样本X1,X2,…,Xn确定的两个统计量(X1,X2,...Xn)和

(X1,X2,...Xn)，对于任意θ满足P{}1，则称随机区

间(,)是的置信水平为的1-α置信区间。 置信水平为的区间越小表示估计的精度越高。1-α置信区间不是唯一的。 7.4正态总体期望与方差的区间估计 待估参数 抽样分布 置信区间 μ ζ2已X知 /n~N(0,1) X nz/2ζ2未X知 S/n~t(n1) XSnt1) /2(nζ2 μ已1nX n知 2(i)2~2(n)X2n2i1i)((i1(Xi)2,i1 2)/2(n)1/2(n)μ未(n1)S22 知 2~(n1)((n1)S2(n1)S2 2,)/2(n1)21/2(n1)μ- 1 21,XY( 212) μ2 22已212~N(0,1)XY12n221nz/22知 n1n221=XY(212)~t(n21n21),XYs1ws11 n1t( 1n22=ζ2，wn1n2n1n22)但ζ2(n22s11)S1(n21)S2w未知 n1n22221 S2/S21212~F(n 11,n21)(S1S2,2221/22F(n11,n21) 2S211S22F(n)111,n21)2

8.1假设检验

拒绝域：当检验统计量落入其中时，则否定原假设。小概率事件原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生，若在一次试验

中发生了，就认为不合理，小概率的值常根据实际问题的要求，规定一个可以接受的充分小的数小概率事件。α(0<α<1)，当一个事件的概率不大于统计推断有两类错误，弃真和存伪，只对犯第一类错误的概率加以控制，而α称为显著性水平。

α时，就认为它是不考虑第二类错误的检验称为显著性检验。的最大允许值。Α就是允许犯第一类错误的概率假设检验的基本步骤；

１２.３. 根据实际问题的要求，提出原假设

给定显著性水平α和样本容量H0和备择假设H1； ４.n； ５. . 确定检验统计量以及拒绝域的形式； 按取样，根据样本观察值做出决策，是接受P{H 0为真拒绝H0}≤α求出拒绝域；

H0还是拒绝H0。 8.2正态总体样本均值与样本方差的假设检验 原假设H0 检验统计量 备择假设H1 拒绝域 μ≤μ0 X0 μ<μ0 z≥zα μ≥μZ0 /nμ>μ0 z≤-zα μ=μ0 μ≠μ0 |z|≥zα/2 (ζ2已知) μ≤μ0 μ≥μtX0 μ<μ0 t≥tα(n-1) 0 S/nμ>μ0 t≤-tα(n-1) μ=μ0 μ≠μ0 |t|≥tα/2(n-1) (ζ2未知) μ1-μ2≤δ μz≥zμZXY1-μ2>δ α 1-μ2≥δ 212μ1-μ2<δ z≤-zα μ1-μ2=δ n21n2μ1-μ2≠δ |z|≥zα/2 (21,22已知) μ1-μ2≤δ μ1-μ2>δ t≥tα(n1+n2-2) μ1-μtXY2≥δ s11μ1-μ2<δ t≤-tα(n1+n2-2) wμ1-μ2=δ n1n2μ1-μ2≠δ |t|≥tα/2(n1+n2-2) (2=22=ζ21，但ζ2未知) 2≤220 2≥21n)2 2>022(n) 20 2(Xii12<20 221(n) 2=20 2≠20 22/2(n1)(μ已知) 或221/2(n) 2≤20 2 2>20 22(n1) 2≥22(n1)S0 22<20 221(n1) 2=220 2≠0 22/2(n1)(μ未知) 或221/2(n1) 21≤22 S2F1 221>2 F≥Fα(n1-1,n2-1) 221≥2 S2221<22 F≤F1-α(n1-1,n2-1) 21=22 221≠2 F≥Fα/2(n1-1,n2-1) (μ1,μ2未知) F≥F1-α/2(n1-1,n2-1)

版本：5.1，日期2009/12/13

如果笔记中有错误或遗漏了重要的考点，欢迎反馈。电子邮件：作者博客：soulmachine@gmail.com 本笔记遵循创作共享协议www.yanjiuyanjiu.com2.0，禁止一切商业用途。 [研究研究

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