关于FFT

摘自21IC

只要是理工科毕业的朋友，都学过傅立叶级数与傅立叶变换，但真正要与实际应用联系起来，用它来阐述应用中的各类问题，我们总会感觉概念模糊，似懂非懂，不知从何说起。是的，作者和你一样，常常有这样的体会。现在，让我与你一起重新学习傅立叶的基本理论和应用，最后还给出一份FFT（快速傅立叶变换）的源码（基于C）。希望对你有所帮助。Let’s go！

1． 历史回顾

谈傅立叶变换，不能不说三角函数。三角函数起源于18世纪，主要是与简谐振动的研究有关。当时的科学家傅立叶对三角函数作了深入研究，并用三角级数解决了很多热传导的问题。三角函数的展开式如下：

f(t) = (1/2a0) + (a1·cos(x)+b1·sin(x)) + (a2·cos(2x)+b2·sin(2x)) + …

其中，系数a和b表示不同频率阶数下的幅度。

成立条件：

n 周期性条件，也就是说f(x)描述的波形必须每隔一段时间周期T就会重复出现；

n Dirichlet条件，周期T内，有限的最大最小值，有限的不连续点；

任何区间内绝对可积；

研究目的：

把一个基于时间变量t的函数展开成傅立叶级数的目的是分解为不同的频率分量,以便进行各种滤波算法。这些基本的组成部分是正弦函数SIN（nt）和余弦函数COS(nt)。

应用领域：

l 信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等；

l 研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时，把f(t)展开为三角级数最为关键。

l 概率与统计，量子力学等学科。

2． 傅立叶变换

H(w) = ∫h(t)·e^jwt·dt, （区间：-∽～+∽，w = 2πf）

讨论：这里为什么会选择复指数的形式而没有用正弦余弦表示？

答案：欧拉公式的引入使得这条经典的数学公式变得更简单，即e^jx = cos(x) + jsin(x)

3． 快速傅立叶变换（FFT）

常规的傅立叶变换算法并不适用于嵌入式控制系统，原因是运算量太大（涉及到复数运算），比如离散的傅立叶变换等同于用序列Y(n×1列矢量)乘以n×n矩阵Fn，需要n×n

次乘法。若n=1024,则是104，8576次乘法运算。哇，这么多呀！什么概念呢？如果你选用的CPU单周期指令为25ns, 单周期也可以完成一次乘法运算，那么要计算1024点的傅立叶变换则需要26.2144ms,这还不包括加法或其它运算，对于大多数实时系统，这个处理时间实在太长。于是寻找一个快速的傅立叶变换算法是人们所期望的。

本来我想把FFT的整个数学推导过程列完出来，但当自己硬着头皮看完后，发现对我没有任何用处，我又不是专门研究数学算法的，哪有那么多时间跟着书本的公式去慢慢推导。我想，这些推导问题还是让数学家想去吧。我需要的不过是理解它，然后学会应用它就行。有兴趣的读者可以参考相关的资料，这方面的资料实在太多了。

虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原因是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算，想想这是多么繁琐的事情。可能会有些初学者认为，有这么复杂吗？我在PC上使用C++一样可以对复数直接进行加、减、乘、除运算。你说得不错，可以这么做，但那是C++封装了对复数处理的类，直接调用就行。在PC上运算这种类型的算法一般不考虑时间和空间，多一两秒的运行时间不会有什么灾难性的结果。

所以我们要衡量一个处理器有没有足够的能力来运行FFT算法，根据以上的简单介绍可以得出以下两点：

l 处理器要在一个指令周期能完成乘和累加的工作，因为复数运算要多次查表相乘才能实现。其二就是间接寻址，可以实现增/减1个变址量，方便各种查表方法。

l FFT要对原始序列进行反序排列，处理器要有反序间接寻址的能力。

所以，在数字信号的分析处理应用中，DSP比其它的处理器有绝对的优势，因为DSP完全具备以上条件。这就是单片机（51系列，AVR，PIC等等）或ARM处理器很少用来进行数字信号分析的原因。

4． FFT的C实现方法

// 函数名: 快速傅立叶变换（来源《C常用算法集》）

// 本函数测试OK,可以在TC2.0,VC++6.0,Keil C51测试通过。

// 如果你的MCS51系统有足够的RAM时,可以验证一下用单片机处理FFT有多么的慢。

//

// 入口参数：

// l: l = 0, 傅立叶变换; l = 1, 逆傅立叶变换

// il: il = 0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il = 1,计算模和幅角

// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，，128，...,1024等

// k: 满足n=2^k(k>0),实质上k是n个采样数据可以分解为偶次幂和奇次幂的次数

// pr[]: l=\"0时\"，存放N点采样数据的实部

// l=\"1时\存放傅立叶变换的N个实部

// pi[]: l=\"0时\"，存放N点采样数据的虚部

// l=\"1时\存放傅立叶变换的N个虚部

//

// 出口参数：

// fr[]: l=\"0\返回傅立叶变换的实部

// l=\"1\返回逆傅立叶变换的实部

// fi[]: l=\"0\返回傅立叶变换的虚部

// l=\"1\返回逆傅立叶变换的虚部

// pr[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的模

// il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的模

// pi[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的辐角

// il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的辐角

// data: 2005.8.15,Mend Xin Dong

kkfft(double pr[], double pi[], int n, int k, double fr[], double fi[], int l, int il)

{

int it,m,is,i,j,nv,l0;

double p,q,s,vr,vi,poddr,poddi;

for (it=0; it<=n-1; it++)

{

m = it;

is = 0;

for(i=0; i<=k-1; i++)

{

j = m/2;

is = 2*is+(m-2*j);

m = j;

}

fr[it] = pr[is];

fi[it] = pi[is];

}

//----------------------------

pr[0] = 1.0;

pi[0] = 0.0;

p = 6.283185306/(1.0*n);

pr[1] = cos(p);

pi[1] = -sin(p);

if (l!=0)

pi[1]=-pi[1];

for (i=2; i<=n-1; i++)

{

p = pr[i-1]*pr[1];

q = pi[i-1]*pi[1];

s = (pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);

pr[i] = p-q;

pi[i] = s-p-q;

}

for (it=0; it<=n-2; it=\"it\"+2)

{

vr = fr[it];

vi = fi[it];

fr[it] = vr+fr[it+1];

fi[it] = vi+fi[it+1];

fr[it+1] = vr-fr[it+1];

fi[it+1] = vi-fi[it+1];

}

m = n/2;

nv = 2;

for (l0=k-2; l0>=0; l0--)

{

m = m/2;

nv = 2*nv;

for(it=0; it<=(m-1)*nv; it=\"it\"+nv)

for (j=0; j<=(nv/2)-1; j++)

{

p = pr[m*j]*fr[it+j+nv/2];

q = pi[m*j]*fi[it+j+nv/2];

s = pr[m*j]+pi[m*j];

s = s*(fr[it+j+nv/2]+fi[it+j+nv/2]);

poddr = p-q;

poddi = s-p-q;

fr[it+j+nv/2] = fr[it+j]-poddr;

fi[it+j+nv/2] = fi[it+j]-poddi;

fr[it+j] = fr[it+j]+poddr;

fi[it+j] = fi[it+j]+poddi;

}

}

if(l!=0)

{

for(i=0; i<=n-1; i++)

{

fr[i] = fr[i]/(1.0*n);

fi[i] = fi[i]/(1.0*n);

}

}

if(il!=0)

{

for(i=0; i<=n-1; i++)

{

pr[i] = sqrt(fr[i]*fr[i]+fi[i]*fi[i]);

if(fabs(fr[i])<0.000001*fabs(fi[i]))

{

if ((fi[i]*fr[i])>0)

pi[i] = 90.0;

else

pi[i] = -90.0;

}

else

pi[i] = atan(fi[i]/fr[i])*360.0/6.283185306;

}

}

return;

}

5． 傅立叶变换的几个重要应用

l 卷积

卷积是滤波网络对信号响应的术语，即用卷积积分来描述滤波网络对冲击函数信号的反应。若x(t)为信号，h(t)为响应，则卷积积分表示如下：

h(t)·x(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ, 区间：-∽～+∽

每一个卷积点是信号函数与反转和平移后的网络函数的乘积中的区域。

相关

相关是用于小信号噪声检测的一种方法。如果有已知信号与一个噪声波形相关，用这个方法可以检测出来，有非零的结果表示发现了相关性，结果越明显，相关性越大。

其在形式上与卷积积分相似，如下：

z(t) = ∫x(τ)h(t+τ)dt, 区间：-∽～+∽

自相关是用来描述一个信号与它自己的相关程度，其值为信号的PSD,即功率谱密度。

1、滤波

这可能是FFT最广泛的应用了，它使对波形的频率分量滤波变得十分简单。比如对采样信号进行FFT后，干掉不需要的频率分量，再进行FFT反变换，就得到滤波后的期望信号。

2、信号分析

比如电力监控系统的谐波分析，就需要对采样数据进行FFT运算，然后通过液晶屏或其它人机界面重新绘画出来，以方便技术人员掌握电力的质量。

小结：

傅立叶变换在目前的相关电子产品中用得非常广泛，可以说，它是描述函数的另一种语言。掌握傅立叶变换，学会在空域和频域中同时思考问题，很多时候可以让我们使用简单的方法来解决复杂的问题。

傅立叶变换的物理意义

1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？

傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。\"任意\"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;４. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

2、图像傅立叶变换的物理意义

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来

处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数

傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰

另外我还想说明以下几点：

1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：

若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。

2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）

应用

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。

概要介绍

* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。

* 傅里叶变换属于谐波分析。

* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;

* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).

基本性质

线性性质

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f \\left( x\\right )和g \\left(x \\right)的傅里叶变换\\mathcal[f]和\\mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则\\mathcal[\\alpha f+\\beta g]=\\alpha\\mathcal[f]+\\beta\\mathcal[g]；傅里叶变换算符\\mathcal可经归一化成为么正算符；

频移性质

若函数f \\left( x\\right )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i \\omega_ x}也存在傅里叶变换，且有\\mathcal[f(x)e^{i \\omega_ x}]=F(\\omega + \\omega _0 ) 。式中花体\\mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自

然对数的底，i 为虚数单位\\sqrt；

微分关系

若函数f \\left( x\\right )当|x|\\rightarrow\\infty时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有\\mathcal[f'(x)]=-i \\omega \\mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 − iω 。更一般地，若f(\\pm\\infty)=f'(\\pm\\infty)=\\ldots=f^{(k-1)}(\\pm\\infty)=0，且\\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则\\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \\omega)^ \\mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k。

卷积特性

若函数f \\left( x\\right )及g \\left( x\\right )都在(-\\infty,+\\infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x-\\xi)g(\\xi)d\\xi的傅里叶变换存在，且\\mathcal[f*g]=\\mathcal[f]\\cdot\\mathcal[g]

。卷积性质的逆形式为

\\mathcal^[F(\\omega)G(\\omega)]=\\mathcal^[F(\\omega)]*\\mathcal^[G(\\omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。

Parseval定理

若函数f \\left( x\\right )可积且平方可积，则\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f^2 (x)dx = \\frac{2\\pi}\\int_{-\\infty}^{+\\infty} |F(\\omega)|^d\\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。

傅里叶变换的不同变种

连续傅里叶变换

主条目：连续傅立叶变换

一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。

f(t) = \\mathcal^[F(\\omega)] = \\frac{\\sqrt{2\\pi}} \\int\\limits_{-\\infty}^\\infty F(\\omega) e^{i\\omega t}\\,d\\omega.

上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。

当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).

另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立.

傅里叶级数

主条目：傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：

f(x) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} F_n \\,e^ ,

其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

f(x) = \\fraca_0 + \\sum_{n=1}^\\infty\\left[a_n\\cos(nx)+b_n\\sin(nx)\\right],

其中an和bn是实频率分量的振幅。

离散时间傅里叶变换

主条目：离散时间傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。

离散傅里叶变换

主条目：离散傅里叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里

叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式：

x_n = \\frac1 \\sum_{k=0}^ X_k e^{i\\frac{2\\pi} kn} \\qquad n = 0,\\dots,N-1

其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为\\mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为\\mathcal(n \\log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

在阿贝尔群上的统一描述

以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。

时频分析变换

主条目：时频分析变换

小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的。

傅里叶变换家族

下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.

变换 时间 频率

连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性

傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性

离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性

离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性

傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅立叶变换属于调和分析的内容。\"分析\"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，\"分析\"二字，实际就是\"条分缕析\"而已。它通过对函数的\"条分缕析\"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，\"分析主义\"和\"还原主义\"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。

在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。\"任意\"的函数通过一定的分解，都

能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:

1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;

2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;

3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。