初一数学讲义

第一章有理数 1.1正数与负数

一、预习目标

知识与技能：

知道正数和负数是怎样产生的；知道什么是正数和负数；描述数0表示的量的意义。 二、重点、难点、疑点及解决办法

1．重点：会判断正数、负数，运用正负数表示具有相反意义的量。 2．难点：负数的引入。 3．疑点：负数概念的建立。 三、预习过程设计

（一）创设情境，复习导入

提出问题：举例说明小学数学中我们学过哪些数？看谁举得全？

提出问题：小学数学中我们学过的最小的数是谁？有没有比零还小的数呢？ （二）探索新知，讲授新课 为了研究这个问题，我们看两个实例

1.在冬日一天中，一个测量员测了中午12点，晚6点，夜间12点，早6点的气温，如下：10,3，-10，-2.你能读出它们所表示的温度各是多少吗？（单位℃）

2.再看一个例子，中国地形图上，可以看到我国有一座世界最高峰—珠穆朗玛峰，图上标着8848，在西北部有一吐鲁番盆地，地图上标着－155米，这两个数表示的高度是相对海平面说的，你能说说8848米，－155米各表示什么意义吗？

正数的概念：___________________；负数的概念：_______________________。 注意：0既不是正数也不是负数。 （三）尝试反馈，巩固练习

1．所有的正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，把下列各数中的正数和负数分别填在表示正

1173数集合和负数集合的圈里“－11，4.8，＋7.3，0，－2.7，－6，6，12，－8.12，－4

2．自己任意写出6个正数与6个负数分别把它填在相应的大括号里。

正数集合（ ） 负数集合（ ）

1

3．（1）某地一月份某日的平均气温大约是零下3℃，可用_________数表示，记作__________。 （2）地图册上洲西部地中海旁有一个死海湖，图上标有－392，这表明死海湖面与海平面相比怎样？ 4．（1）一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；

（2）2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是： 美国减少6.4%， 德国增长1.3%，法国减少2.4%， 英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增长7.5%。 写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率。 四、随堂练习 1．判断题

（l）0是自然数，也是偶数（ ）。

（2）0可以看成是正数，也可以看成是负数（ ）。 （3）海拔－155米表示比海平面低155米（ ）。

（4）如果盈利1000元，记作＋1000元，那么亏损200元就可记作－200元（ ）。 （5）如果向南走记为正，那么－10米表示向北走－10米（ ）。 （6）温度0℃就是没有温度（ ）。 2．将下列各数填入相应的大括号里

113－9，2，0，－28，2000，＋61，10，－10.8

正数集合﹛ ﹜； 负数集合﹛ ﹜ 3．用正数和负数表示下列各量

（1）零上24摄氏度表示为___________，零下3.5摄氏度表示为______________。 （2）足球比赛，赢2球可记作_________球，输一球应记作____________球。

1.2.1有理数

一、预习目标

1理解有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类,培养分类能力; 2了解分类的标准与分类结果的相关性,初步了解“集合”的含义; 3.体验分类是数学上的常用的处理问题的方法.

2

二、重点、难点、疑点及解决办法

重点:正确理解有理数的概念.难点:正确理解分类的标准和按照定的标准进行分类. 三、预习过程设计

（一）知识回顾和理解

通过两节课的学习,我们已经将数的范围扩大了,那么你能写出3个不同类的数吗?. [问题1]:我们将这三为同学所写的数做一下分类. (如果不全,可以补充).

[问题2]:我们是否可以把上述数分为两类?如果可以,应分为哪两类? （二）明确概念 探究分类

正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数. 整数和分数统称有理数

[问题3]:上面的分类标准是什么?我们还可以按其它标准分类吗?

正整数整数零负整数有理数 分数正分数负分数（三）练一练 熟能生巧

正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数1.任意写出三个数,标出每个数的所属类型,同桌互相验证. 2.把下列各数填入它所属于的集合的圈内:

1215,-9,-5,15,,0.1,-5.32,-80,123,2.333.

正整数集合 负整数集合 正分数集合 负分数集合 [小结]

3

到现在为止我们学过的数是有理数(圆周率π除),有理数可以按不同的标准进行分类,标准不同时,分类的结果也不同. 四、随堂练习

1.把下列给数填在相应的大括号里: -4,0.001,0,-1.7,15,

32.

正数集合｛ …｝, 负数集合｛ …｝, 正整数集合｛ …｝, 分数集合｛ …｝。 2.下列各数,哪些是整数?哪些是分数?哪些是正数?哪些是负数?

121+7, -5, , ,79,0,0.67, ,+5.1 712633.0是整数吗?自然数一定是整数吗?0一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?

4.图中两个圆圈分别表示正整数集合和整数集合,请写并填入两个圆圈的重叠部分.你能说出这个重叠部

分表示什么数的集合吗?

正数集合 整数集合

1.2.2数轴

一、预习目标：

1.知道数轴的三要素，会画数轴；

2.知道有理数与数轴上点的对应关系，能将有理数用数轴上的点表示； 3.会利用数轴比较有理数的大小。

二、预习重点：1.数轴的画法；2.会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上已知点所表示的数。

预习难点：会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上已知点所表示的数。 三、预习过程设计 （一）导入

1.观察一下直尺，直尺上哪边的数大，哪边的数小？那么有理数可以用直线上的点来表示吗？ （二）一起探究

在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3米和7.5米处分别有一棵柳树和一棵杨树，

汽车站牌西3米和4.8米处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境 （三）数轴

4

1．数轴的画法

第一步：画直线，在直线上任取一个点表示数O，这个点叫做_______。

第二步：规定从原点向右的为_______向那么相反的方向（从原点向左）则为负方向 第三步：选择适当的长度为____________

。

总结：规定了______、________________、________________(又称数轴的三要素)的直线叫做数轴 2．尝试反馈，巩固练习

（1）原点表示什么数？__________________

（2）原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？______________

（3）表示＋2的点在什么位置？表示－1的点在什么位置？____________________

（4）分数或者小数可以用数轴表示吗？原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数？原点向左1单位长度的B点表示什么数？______________________ （5）有人说一条直线是一条数轴，对不对？为什么？ （6）下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里？

3.学以致用，展示风采：

例1 画一条数轴，并画出表示下列各数的点：

1，5，0，－2.5，4

例2 指出数轴上 A、B、C、D、E各点分别表示什么数？

1个21． 2

5

[小结]：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的 边，与原点的距离是 个

单位长度；表示数-a的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度。 四．尝试反馈，巩固练习 1．判断题

（1）直线就是数轴（ ）

（2）数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的数是正数，原点表示的数是0。（ ） （3）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示（ ） （4）数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是＋3（ ） 2.说出下面数轴上A、B、C、D、O、M各点表示什么数？

3.数轴上表示-5的点在原点的 侧，与原点的距离是 个长度单位； 4．如图，a、b为有理数，则a 0，b 0，a b

b a 0

5.是不是所有的有理数都能在数轴上表示？画一个数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点：1，-3，-3.5，2.5，0。

6．指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数。

7.在数轴上距原点3个单位长度的点表示的数是_____________。

6.在数轴上表示－6的点在原点的___________侧，距离原点___________个单位长度，表示＋6的点在原点的__________侧，距离原点____________个单位长度。

6

1.2.3 相反数

【预习目标】

知识与技能：1.借助数轴，使学生了解相反数的概念；2.会求一个有理数的相反数；3.激发学生学习数学的兴趣。

情感、态度与价值观：通过师生合作，利用数轴让学生体会数学图形的对称美。 【预习教学重点与难点、疑点】

重点： 理解相反数的意义； 难点： 理解相反数的意义；疑点： 在数轴上表示相反数 【预习方法】

采用数形结合的方式，利用直观演示法，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到数学来源于生活，又应用于生活 【预习过程设计】

一、复习导入：

1、数轴的三要素是_____、_______和________。 2、认真填一填：

数轴上与原点的距离是2的点有___个，这些点表示的数是_______ ；与原点的距离是5的点有_______ 个，这些点表示的数是_______ 。

二、探索新知，讲授新课: 相反数的概念：

在数轴上距离原点的距离相等，且只有_______的两个数，我们称它们互为______。规定：零的相反数是_______。 概念的理解：

（1）互为相反数的两个数分别在原点的______，且到原点的_____相等; （2）一般地，数a的相反数是 ______，_______不一定是负数; （3）在一个数的前面添上“—”号，就表示这个数的相反数，

如：-3是_____的相反数，- a是____的相反数， 因此，当a是负数时，- a是一个_______. -（-3）是_____的相反数，所以-（-3）=______;

（4）互为相反数的两个数之和 是 即如果x与y互为相反数，那么x+y=____;

反之，若x+y=___, 则x与y互为相反数

（5）相反数是指两个数之间的一种特殊的关系，而不是指一个种类。

如：“-3是一个相反数”这句话是不对的。

三、轻松解题

7

例1 求下列各数的相反数：

（1）-5 （2）-2.5 （3）0

（4）-2/11 （5）-2b (6) （a-b） 例2 相信你自己的判断：

（1）-2是相反数 （ ） （2）-3和+3都是相反数 （ ） （3）-3是3的相反数 （ ） （4）-3与+3互为相反数 （ ） （5）+3是-3的相反数 （ ） （6）一个数的相反数不可能是它本身（ ） 例3 化简下列各数中的符号：

（1） -(+0.25) （2）-（+5） （3）-(-a) （4）-〔-(+1)〕

四、变式训练、培养能力 1.仔细想一想:

（1）___是-(-0.5) 的相反数。 （2）如果-a=-9,那么-a的相反数是____ (3) -5.5的相反数是____,____是-6的相反数。 （4）若-x=7,则x=___,x=4，则-x=____ 2. 比一比我能行：

若-（a-5）是负数，则a-5___ 0. 3.看一看、比一比我真棒：

已知a、b在数轴上的位置如图所示。

b a 0

（1）在数轴上作出它们的相反数；

（2）用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来。

4.精心选一选

a、b两数在数轴上的位置如图下列结论正确的是（ ） A. a＞0,b＜0 B.a＜0，b＞0 C.a＜b D以上都不对

b

O a 8

1.2.4绝对值

一、预习目标

知识与技能：1.从几何、代数两个角度正确体会绝对值的意义；2.会求已知数的绝对值；3.会利用绝对值比较两个负数的大小。 二、预习方法

采用引导发现法，辅之以讲授，学生讨论，力求体现“教为主导，学为主体”的预习要求，注意创设问题情境，使学生自得知识，自觅规律。 三、预习重难点

1．重点：给出一个数会求出它的绝对值。2．难点：掌握应用绝对值的概念。 预习过程设计

（一）创设情境，复习导入

1：两辆汽车从同一处0出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处。它们的行驶路线相同嘛？它们行驶路程的远近（线段OA、OB的长度）相同吗？

（二）探索新知，导入新课

（1）－10与10是相反数，它们只有符号不同，它们什么相同呢？

答：它们到原点的距离____________,都等于___________。

概念：绝对值:_________________________________________记作：__________ （2)－10的绝对值是表示－10的点到原点的距离，－10的绝对值是_______；

10的绝对值是表示__________________________，10的绝对值是__________。 （3）－3的绝对值表示_________________,-3的绝对值是__________ （4）2

11的绝对值绝对值表示___________,2的绝对值是__________ 229

（5）a的绝对值表示_____________,记作：__________ （三）尝试反馈，巩固练习

例1：在数轴上画出2

例2： 求8，－8，

总结：观察数轴，在原点右边的点表示的数（正数 例如：2即：一个正数的绝对值是它_______________。

在原点左边的点表示的数（负数例如：－1）的绝对值呢？ 一个负数的绝对值是它的___________________。 0的绝对值是___________________。

字母a可表示任意的数，可以表示正数，也可以表示负数，也可以表示0。a的绝对值分别是多少

1，9，0，－1，观察数轴，指出它们的绝对值各是多少？ 211，的绝对值。由此题目你能想到什么规律？ 441）的绝对值有什么特点？ 2若a0，则a____ 若a0，则a_____ 若a0，则a____ 四、随堂练习

1．化简：0.1________，

3________，0.7________。 100 98________，b________(b0)，

2.一个正数的绝对值是它_________，一个负数的绝对值是它的________，0的绝对值是____ 回顾反馈：

10

3．－3的绝对值是在_____________上表示－3的点到__________的距离，－3的绝对值是____________。

4．绝对值是3的数有____________个，各是___________； 绝对值是2.7的数有__________个，各是___________； 绝对值是0的数有____________个，是____________。 绝对值是－2的数有没有？________________ 猜想：a应该是个什么数？

5．（1）若a0，则a_______； （2）若a2，则a_______。 [小结]（1）一个数的绝对值是在数轴上表示这个数的点到原点的距离；

（2）求一个数的绝对值必须先判断是正数还是负数。

1.2.4绝对值（二）

一、预习目标

1.从几何、代数两个角度正确体会绝对值的意义； 2.会求已知数的绝对值；

3.会利用绝对值比较两个负数的大小。 二、预习重难点

1．重点：利用绝对值比较两个负数的大小。2．难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小。 三、预习过程设计 （一）创设情境，复习提问

1．规律的发现

=给出的4个温度按从低到高排列为________________________ 2.画数轴，填出下列各数的大小关系

11

5____3 -2___3 -1_____-3 3____0 -4________0

总结：数学中规定，在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从___________的顺序，即左边的数___________右边的数。

得出结论：（1）正数大于________，0大于________，正数大于___________；

（2）两个负数，___________________________。

四、随堂练习

1：比较下列各对数的大小

831和7； （3）-(-0.3)和|-3|。 （1）-(-1)和-(+2); （2）-21

2：比较大小：

（1）

3与

8 （2）

233与4 （3）4与－5

（3） 0.9与1.1 （4）－10与0

1.3.1有理数的加法（1）

一、学习目标：

1、了解有理数加法的意义；

2、理解有理数加法法则的合理性；

3、能运用有理数加法法则正确进行有理数加法运算. 二、自主预习：

1、 一只蜗牛在数轴上做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负．假设原点0为运动起点，利

用数轴，写出下列情况时蜗牛两次运动的结果： (1) 先向左运动3cm，再向左运动2cm，蜗牛从起点向 运动了 cm； 算式

(2)先向右运动3cm，再向左运动2cm，蜗牛从起点向 运动了 cm；

算式

12

(3)先向右运动2cm，再向左运动3cm，蜗牛从起点向 运动了 cm；

算式

(4)先向右运动3cm，再向左运动3cm，蜗牛从起点向 运动了 cm； 算式

(5)先向右运动3cm，然后原地不动，蜗牛从起点向 运动了 cm； 算式

2、 总结：有理数的加法法则：

(1)同号两数相加，取 符号，并把绝对值 ；

(2)异号两数相加，绝对值相等时和为 ；绝对值不等时，取 的数的符号， 并用 减去 ；

(3)一个数同0相加，仍得 ． 3、(1)16+（-8）= ； (2)()() ； (3)(3)() ； (4)（+8）+（ ）=5.

注意：在进行有理数加法运算时，一要辨别加数是同号还是异号；二要确定和的符号；三要计算和的绝对

值．即“一辨、二定、三算”． 三、课堂训练：

（一）有理数加法的意义

1、什么是净胜球数?本章引言中，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球。于是红队的净胜球数列式为 ，蓝队的净胜球数列式为 。

2、一潜水艇停在海面以下1000米处，先上浮250米，这时潜水艇在海面以下多少米？ （二）有理数加法法则

1、两个有理数相加有哪些情况？考虑有理数的运算结果时，既要考虑它的 ，又要考虑它的 。 2、加法法则：

（1） ；

(2) ；

(3) ； 例1 计算： （1）（-3）+（-9）； （2）（-4.7）+3.9

例2 足球循环比赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队1：0，蓝队胜红队1：0，计算各队的净胜球数。

3、计算：

（1）（－13）+（－18）； （2）20＋（－14）； （3）1.7 + 2.8 ；

（4）2.3 + （－3.1）； （5）（－

13

12131272121）+（－）； （6）1+（－1.5）； 332

（7）（－3.04）+ 6 ； （8）

12+（－）. 23

四、巩固提高

1、如果（ ）+2=0，那么“（ ）”内应填的有理数是 。 2、绝对值小于4的所有整数的和为 。 3、计算-1+2的值是 （ ）

A.-3 B.-1 C.1 D.3

4、最大的负整数与最小的正整数的和是 。 5、两数相加，其和小于每一个数，那么（ ） A．这两个加数必定有一个为0

B. 这两个加数一正一负，且负数的绝对值较大 C．这两个加数必定都是负数 D．这两个加数的符号不能确定 6、如果a=2，b=11，则

（1）a，b同号时，a+b的值； (2)a,b异号时，a+b的值

1.3.1有理数的加法（2）

一、学习目标：

1、进一步掌握有理数加法的运算法则； 2、能合理运用加法运算律化简运算. 二、自主预习： 1．计算：

（3） （4)

根据计算结果你可发现：

(填“>”、“<”或“=”)

由此可得a+b=_________，这种运算律称为加法_________律． 2．计算：

14

由此可得：(a+b)+c=___________，这种运算律称为加法________律． 3．计算：

总结：（1）加法交换律

有理数的加法中，两个数相加，交换_______的位置，_________不变。用式子表示_______________. （2）加法结合律

有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者_____________,和不变. 用式子表示____________________________________. （3）归纳简便运算的方法：

①同号的加数放在一起相加；②同分母的加数放在一起相加； ③和为0的加数放在一起相加；④和为整数的加数放在一起相加． 三、课堂训练 1、 计算：

（1）(-2)+3+1+(-3)+2+(-4) (2)16+(-25)+24+(-35) (3)3

2、 称得10袋小麦的重量如下： 91 91 91.5 91.2 91.3 88.7 88.8 91.8 91.1 （单位：

千克） 10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？

3、用适当的方法计算：

（1）23+（-17）+6+（-22） （3）1.125+ （3）（）（0.6）

（4）（-2.48）+（+4.33）+（-7.52）+（-4.33）

15

1332111 (4)1 （2）5（8）（）（）452362518

4．（经典题）股民吉姆上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，•下表为本周内每日该股票的涨跌

情况（单位：元）．

星 期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -4 （1）星期三收盘时，每股是多少元？

（2）本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？

(3）已知吉姆买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时还需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税，

如果吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？

1.3.2有理数的减法（1）

一、学习目标：

1、 掌握有理数的减法法则；

2、 熟练地进行有理数的减法运算；

3、 了解加与减两种运算的对立统一关系，掌握数学学习中转化的思想。 二、自主预习:

1、计算：-8-(-3)=______，所以-8-3=_______

回顾：小学里，我们知道减法是加法的逆运算，即已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 解：因为_____+(-3)=-8,所以-8-(-3)=_____

因为_____+3=-8，所以-8+（—3）=_____ 2、（—8）+3= ，－8 +(-3)= 3、观察计算1与计算2 ，你可以发现哪些计算式相等？并完成填空。 -8-(-3)=______， -8-3=_______

4、规律：减去一个数等于加上 ；即a-b=________ 5、下列括号内应填上什么数？

(1)(一2)一(一5)=(一2)+( )； (2)0一(一4)=0+( )； (3)(一6)一3=(一6)+( )； (4)1一(+37)=1+( )． 三、课堂训练：

1、有理数的减法法则是： 用字表示为 2、例：计算： （1）（-3)-(-5) (2)0-7

16

(3)7.2-(-4.8) (4)-311-5 24

4、 注意：在进行有理数减法运算时，要注意两变一不变：“两变”即减号变成加号，减数的符号要改变，

“不变”是指被减数不变． 三、课堂练习：

1、计算（1）6-9 （2）（+4）-（-7） (3)(-5)-(-8)

（4）0-（-5） （5）（-2.5）-5.9 （6）1.9-（-0.6）

2、（1）比2小8的数是多少？ （2）比-3小-6的数是多少？ 3、（1）(一11)一(一9)；

4、-

11的绝对值与-2的相反数的差是 ． 325、现有下面四个算式：2一(一2)=0；(一3)一(+3)=0；(一3)一|-3 |I=0；0一(-1)=1．其中正确的有( )． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、较小的数减去较大的数，所得的差一定是( )． A．零 8．正数 c．负数 D．无法确定

7、哈尔滨市4月份某天的最高气温是5C°,最低气温是-3C°,那么这天的温差是（ ） A、-2C° B、8 C° C、-8 C° D、2C°

8、4-（-7）等于（ ） A、3 B、11 C、-3 D、-11 9、a、b、c在数轴上的位置如图所示：

a-b 0 b-c 0 -b-c 0 a-(-b) 0 (填＞，＜＝)

c

b017

a

1.3.2有理数的减法(2)

一、学习目标：

(2) 掌握有理数的减法法则；熟练进行有理数的减法运算。 (3) 初步掌握数学学习中转化的思想方法；

(4) 了解加与减两种运算的对立统一关系，掌握数学学习中转化的思想。 二、自主预习:

1、 计算：一架飞机做特技表演，起飞后的高度变化如下：上升4.5千米，下降3.2千米，上升1.1千米，

下降1.4千米.此时飞机所飞高度比起飞点高了多少千米？ 列式： ，结果是 2、 计算：

(一8)一(一10)+(一6)一(+4)．

(1)请你把上式写成和的形式：原式= ．（减法化成加法）

(2)为了书写方便，可以省略各式中的括号和加号，把它写成 这个式子读作 ，也可以读作 (3)请你用不同的方法写出该题的解题过程．

方法一： 方法二：

注意：由于加减混合运算是同级运算，按式子的顺序进行运算，也可适当运用加法交换律、结合律，在运用交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 三、课堂训练：

例：计算：(-20)+(+3)-(-5)-（+7）

注意：引入相反数后，加减混合运算可以统一位加法运算，其算式为a+b-c=a+b+(-c) 1、计算：

（1）1-4+3-0.5 （2）-2.4+3.5-4.6+3.5

（3）（-7）-（+5）+（-4）-（-10） （4）

3712-+（-）-（-）-1 4263

2、河里的水位第一天上升了8cm，第二天下降了7cm，第三天下降了9cm，则第三天 河水水位比刚开始的水位高 cm．

3、一l0—3+5—2可以看成 的和。 4、若a=1，b =-2，c=一6，则a一b一c= ． 5、计算

（1）（-8）+10+2+（-1） （2）5+（-6）+3+9+（-4）+（-7）

18

（3）（-0.8）+1.2+(-0.7)+(-2.1)+0.8+3.5 (4)

6、计算

12411+(-)++(-)+(-) 23523(4)2．7+(一8．5)一(+1．5)一(一6．3)．

1．4．1有理数的乘法(l)

一、学习目标

1、了解有理数乘法的实际意义; 2、理解有理数的乘法法则;

3、能熟练的进行有理数乘法运算。 二、自主预习

1．一只蜗牛在数轴上以每分3cm的速度爬行，它现在的位置恰好在原点0处，

请在下列数轴上分别表示出蜗牛的位置，并用数学算式表示你的结果．(设向左为负，向右为正；为区分时间，规定现在前为负，现在后为负). (1)向右爬行2分后它在什么位置? 算式是________________________ (2)向左爬行2分后它在什么位置? 算式是_________________________ (3)向右爬行2分前它在什么位置? 算式是________________________ (4)向左爬行2分前它在什么位置? 算式是_______________________

19

三、课堂训练

1、观察上面的算式，根据你对有理数乘法的思考，填空： 正数乘正数积是____数； 负数乘正数积是____数； 正数乘负数积是___数； 负数乘负数积是___数；

乘积的绝对值等于各乘数绝对值的___. 你能发现什么规律?并总结有理数的乘法法则．

法则l．两数相乘，同号得____，异号得____，并把_______相乘．任何数与0相乘，都得____； 法则2．若两个有理数a、b，满足ab=___，则a、b互为倒数；若a、b互为倒数，则ab=____．

注意：(1)运用乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘；

(2)0没有倒数．

2、例1 计算:

(1) (-3)×9; (2) (-

1)×(-2). 2

例2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为-6°C,攀登3km后，气温有什么变化？

四 巩固练习 1.计算：

(1)6×(-9)； （2）（-4）×6； （3）（-6）×（-1）；

（4）（-6）×0； (5)

2911 ×(-); （6）（-）×. 3434

2.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化?

3.写出下列个数的的倒数: 1, -1,

1122,-,5,-5, ,-. 333320

1．4．1有理数的乘法(2)

一、学习目标

1、体会有理数乘法的实际意义；

2、掌握有理数的乘法法则和符号法则，灵活地运算． 二、自主预习 1．计算：

三、课堂训练

1、根据上题计算，你能发现上面各式积的符号与负因数的个数之间有什么关系吗? 归纳：

(1)几个不是0的数相乘，负因数的个数是_____时，积是正数；负因数的个数是 时，积是负数．乘积的绝对值等于各乘数绝对值的___.

(2)几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于_______. 2、例 计算：

59141(1)(3)()(); (2)(5)6().

6

四、巩固提高.

1.判断下列积的符号(口答)：

①(－2)×3×4×(－1)； ②(－5)×(－6)×3×(－2)；

③(－2)×(－2)×(－2)； ④(－3)×(－3)×(－3)×(－3).

2.判断下列积的符号：

21

3.计算：

(1)(5)8(7)(0.25); (2)(

5812)()； 1215235832511（4）（-3）××(-)×(-). (3)(1)()()0(1)；

415234

4、计算

②1＋0×(－1)－(－1)×(－1)－(－1)×0×(－1).

1.4.1有理数乘法（3）

一、学习目标

1、掌握有理数的乘法法则的基础上，能用乘法交换律、结合率，简化乘法运算； 2、熟练并掌握有理数的加、减乘法混合运算； 二、自主学习：

1、计算：

5×（-18）= 65（-18）×=

6

交换律：两个数相乘， 的位置，积相等，即ab= 。

22

2、 计算：15×（-10）×0.1×

1= 5简便算法：

结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把 相乘，积相等，即(ab)c=a(bc) 3、 计算：-30×（

分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把 ， 即a(b+c)=

注：反用分配律进行计算：

分配律：a(b+c)=ab+ac, 反过来：ab+ac= 计算：

（1）4×（-3）+3×（-3）-2×（-3）+7×（-3）

（2）（-23）×25-6×25+18×25+25

三、课堂训练： 1、例计算： （1）（-7）×（- (3)（

125-+） 235）× (2)（-8）×（-5）×（-0.125） 31475374 - + - ）×36 （4）19×（-10）

9185

四、巩固提高 计算 （1）-30×（

23

1251-+） （2）（-10）×（-）×（-0.1）×（-6） 2363

（3）（-5）×（-8.1）×3.141592×0 （4）（-0.4）×（+25）×（-5）

（3）（ （4）99

15521-+）×（-36） （2）17.4×（-）+（-）×17.4 2963315×（-8） （5）（-10）×（-0.1）×（-8.25） 16

（6）（-15）×（-8）×（-125）

(7)（-5）×（+7

111 ）+（+7）×（-7）-（+12）×7 3331．4．2有理数的除法(1)

一、学习目标

1、理解除法的意义，掌握有理数的除法法则；

2、能熟练进行有理数的除法运算；

3、感受转化、归纳的数学思想。 二、自主预习

1、小明从家到学校，每分钟走50米，走了20分钟，则小明家到学校___________________；（写出算式） 若小明家到学校100米，小明每分钟走50米，则小明从家到学校要走时间_______________________________。（写出算式） 这说明，乘法和除法是______________________运算。

24

2、因为2×( )=一6，所以一6÷2=（ ）；又

所以____________________=_____________________。

3、有理数的除法法则：__________________________________________。 用字母表示：________________________________。 4、—2

1的倒数是_________；—1.5的倒数是_________；_______的倒数是本身。 45、有理数的除法法则另一说法：___________________________________ _______________________________________________________________。 三、课堂训练 例1计算：（1）（-36）÷9=

312（2）（-25 ）÷（-5）=

（3）2．25÷(一1．5)=

注意：在做除法运算时：先定符号，再算绝对值．若算式中有小数、带分数，一般情况下化成真分数和假分数进行计算。

4512例2化简下列分数：（1）3 = （2）12 =

例3计算：（1）（-125

（2）-2.5÷

5）÷（-5）= 751×（-）= 84

注意：乘除混合运算要先__________________，然后_______________,最后____________________。 四 巩固提高

1、 0÷(一6)=_____________；(一0．75)÷0．25=____________． 2、 下列计算正确的是( )．

3、（1）（

）÷（

）； （2）（－6.5）÷0.13；

25

（3）（

）÷（）； （4）÷（－1）．

（5）-1

1333÷×（-0.2）×1÷1.4×（-） 24451、4、2有理数的除法（2）

一、学习目标：

1.掌握有理数的除法法则，能熟练进行有理数的除法运算；

2.借助有理数乘法知识，通过归纳、类比等方法获得有理数的除法法则，会进行乘除法的四则运算. 二、自主预习： 1、 计算：63（-1

2、一天小红和小亮两人利用温度差测量某座山峰的高度，小红在山顶测得温度是-1C,小亮此时在山脚下测得温度是5C，已知该地区高度每增加100m，气温大约下降0.6C，这座山峰的高度大约是多少米？

2、 到目前为止，我们已学习了有理数的加减乘除运算，请结合对上面两个问题的解答，归纳有理数混合

运算的运算顺序：

小结：在做有理数的乘除混合运算时：①先将除法转化为乘法；②确定积（或商）的符号；③适时运用运算律④若出现带分数可化为假分数，小数可化为分数计算；⑤注意运算顺序

三、课堂训练

例1、计算：（1）-8+ 4(-2) (2) (-7)(-5)-90(-15)

26

000419）+（-4）（-） 922

例2、某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元。这个公司去年总的盈亏情况如何？

四、巩固提高 1、计算

（1）6-（-12）（-3） （2）3（-4）+（-28）7

（3）（-48）8-（-25）（-6） （4）42（- （5）[1

23)+(-)(-0.25) 341313-(+-)24]5 248

2、阅读下面的解题过程：

11-1-3）6 3225解：原式=（-15）（-）6 （第一步） 6 =（-15）（-25） （第二步）

3 =- （第三步）

5计算：（-15）（

回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处错误是第

第二处错误是第 步，错误原因是

（2）正确的结果是

27

步，错误原因是

1．5．1乘方

一、学习目标

1、理解有理数乘方的意义；

2、理解乘方运算、幂、底数等概念的意义； 3、正确进行有理数乘方运算． 二、自主预习

1．某种细胞每过30分钟便由l个成2个，经过5小时，这种细胞1个能成多少个? (1)细胞每30分钟一次，则5个小时共_____________次； (2)5个小时后，细胞的个数一共有

=__________个，为了简便可以记作________.

n

2．求n个相同因数a的积的运算叫________，乘方的结果叫______，a叫________,n叫________.乘方a

有双重含义：(1)表示一种运算，这时读作“______________”；(2)表示乘方运算的结果，这时读作“_______________”．

3．正数的任何次幂都是_______数，0的任何正整数次幂都是______；负数的奇次幂是__________数，偶次幂是____________数．

注意：在书写乘方时，若底数为负数、分数时一定要加括号． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、课堂训练 1、乘方的意义

（1）乘方的定义、幂、底数、指数的定义. (2)乘方的读法. （3）(-a)与-a的区别. 2、乘方法则 例1 计算 ①（-4）

3 n

n

②（-2）

4

③（-

23

）33、有理数混合运算的顺序 例2 计算：

22(1)2(3)34(3)15 (2)(2)3(3)(4)2(3)(2) 

28

四 巩固提高

1、读下列各式，说出它的底数和指数，并说出下列各式的意义 （1）（-1）

10

（2）8

3

（3）-5

4

(4)m

n

2、解决下列问题，你能从中发现什么？

（1） 2×32和（2×3）2 有什么区别？各等于什么？ （2）32与23有什么区别？各等于什么？ （3）-34和(-3) 4有什么区别？各等于什么？ 3、计算：

143（4）1 （5）2 （6）1331

23

123（7）3323 （8）425

4

4、计算

22334（1）262321 （2）23102

7

(3)

111135() (4)(10)4[(4)2(332)2] 532114

29

1.5.2科学记数法

一、学习目标

1、会用科学技术法表示大于10的数； 2、知道用科学技术法表示的数的原数； 二、自主学习

阅读下列资料，然后回答问题： 据有关资料统计：

2008年GDP(国内生产总值)为30067000000000元; 2008年我市财政总收支实现30200000000元;

2008年，山东省实现社会消费品零销总额1038120000000元．

以上资料中的数字都很大，书写和阅读都有一定困难，我们可以用比较简便的、科学的方法来阅读和书写．如：

302000000000=3.02×100000000000=3.02×10． 请你仿照上面的写法，书写其他两个数： 3067000000000= =___________________; 1038120000000 =__________________.

像上面这样，把一个大于l0的数用科学记数法可以表示为a×10的形式(其中a是 的数，即

1≤a<10；n等于原整数的位数 1)． 三、课堂训练

1、科学计数法的定义：

2、科学计数法中a和n的确定方法

3、应用用科学技术法表示下列各数：

1000 000， 57 000 000， 123 000 000 000.

四、巩固提高

1．用科学记数法表示下列各数：

(1)70000； (2)868 000； (3)200900； (4)300万． （5）57000000 （6）123000000000

30

n11

2．下列用科学记数法写出的数，原来的数分别是什么数?

(1)1×10； (2)1．5×10； (3)2．008×10； (4)1．52×10

3．用科学记数法表示下列各数： (1)中国森林面积有128 630 000公顷，

(2)2008年临沂市总人口达l022．7万人，

(3)地球到太阳的距离大约是150 000 000千米，

(4)光年是天文学中的距离单位，1光年大约是950 000 000 000千米，

(5)2008年北京奥运会门票预算收人为140000000美元，相当于人民币 元(1美元折合人民币7元)；

(6)一只苍蝇腹内的细菌多达2 800万个，

（在使用科学技术法时要注意单位的转换，如1万=10，1亿=10） 4．若407000=4.07 ×10，则n=__________.

5．已知某种型号的纸100张的厚度约为lcm，那么这种型号的纸13亿张的厚度约为 ( )

6．纳米技术已经开始用于生产生活之中，已知l米等于1 000 000 000纳米，请问216．3米等于多少纳米?(结果用科学记数法表示)

7．已知光的速度为300 000 000米/秒，太阳光到达地球的时间大约是500秒，试计算太阳与地球的距离大约为多少千米．(结果用科学记数法表示)

8．据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为l50000000元，若一年按365天计算，用科学记数法表示我国一年因土地沙漠化造成的经济损失．

n

633348

31

1.5.3近似数

一、学习目标：

1、了解近似数和有效数字的概念； 2、能按要求取近似数和保留有效数字； 3、体会近似数的意义及在生活中的作用. 二、自主预习：

1．在一次体检中，测得甲的身高是1.82m，测得乙的身高大约是l．8m． (1)你能知道甲和乙的确切身高吗?

(2)甲的身高是一个准确的数，乙的身高不是一个准确的数，那么你知道乙的身高是一个什么数吗? 2．数字1．8精确到0．1，也可以说是精确到十分位；数字l．80精确到0．Ol，也可以说是精确到百分位；数字l．805精确到 ，也可以说是精确到 ．

3．近似数2．045有四个有效数字，分别是2，0，4，5；近似数0．0302有三个有效数字，分别是3，0，2；近似数0．0018有 个有效数字，分别是 ．

4．用四舍五人的方法，把8．153 247精确到万分位是 ，把2．36精确到0．1是 ． 注意：(1)对于有效数字，是指一个数按要求取近似值后，从左边第一个非0的数字到精确到的最后一个数字中间(包括两头)的所有数字；(2)精确度一般有两种形式：一是精确到哪一位，二是保留几个有效数字。

三、课堂训练：

1、什么样的数是近似数？近似数与精确数有哪些区别？分别试举出几个例子。

1参加今天会议的有513人；○2约有五百人参加了今天的会议；○3我国有13亿人口；○42、有下列数据：○

5吐鲁番盆地海拔-155米，其中 是准确数， 是近似数。 教室里有66人在做数学作业；○

3、近似数与准确数的接近程度，可以用 表示。按四舍五入法对圆周率取近似数时，有3（精确到个位），3.1（精确到0.1位，或叫做精确到十分位），3.14（精确到0.01位，或叫做精确到百分位），3.142（精确到 位，或叫做精确到 位），3.1416（精确到 位，或叫做精确到 位）

例题1、按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）0.0158（精确到0.001） （2）304.35（精确到个位） （3）1.804（精确到0.1） （4）1.804（精确到0.01） 练习：1、下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？

（1）0.025 （2）0.4040 （3）1.8 （4）1.80（5）103万 （6）1.6010（7）10亿 （8）10 2、下列各数中，是准确数的是（ ） A．小明身高大约165cm

B.天安门广场约44万平方米 C.天空中有8只飞鸟 D.国庆长假到北京旅游的有60万人 3、下列各数中，是近似数的是（ ） A.七(1)班共有65名同学

B.足球比赛每方共有11名球员 C.光速是300 000 000 米秒 D.小王比小华多2元钱

32

4

第二章 整式的加减 2.1整式：单项式

一、学习目标

1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。 2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。

3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。

二、学习重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念。

学习难点：区别单项式的系数和次数 三、导学指导

一．知识链接:

1.列代数式

(1)若边长为a的正方体的表面积为________，体积为 ；

(2)铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，圆珠笔的单价是 元； (3) 一辆汽车的速度是v千米/小时，行驶t小时所走的路程是_______千米； (4) 设n是一个数，则它的相反数是________． 2.请学生说出所列代数式的意义。

3.请学生观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征。 （由小组讨论后，经小组推荐人员回答） 二、自主学习： 1．单项式：

通过上述特征的描述，从而概括单项式的概念，：

单项式：即由_________与______的乘积组成的代数式称为单项式。 补充： 单独_________或___________也是单项式，如a，5。 2．练习：判断下列各代数式哪些是单项式？ (1)

x1222

； (2)abc； (3)b； (4)－5ab； (5)y+x； (6)－xy； (7)－5。 2解：是单项式的有(填序号)：________________________

33

3．单项式系数和次数： 四个单项式

12

ah，2πr，abc，－m中，请说出它们的数字因数和字母因数分别是什么？ 312单项式 ah 2πr abc －m 3 数字因数 字母因数

小结：一个单项式中，单项式中的数字因数称为这个单项式的________一个单项式中，_____________的指数的和叫做这个单项式的次数。 四、课堂练习：

1.判断下列各代数式是否是单项式。如不是,请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。

①x＋1； ②

3212； ③πr； ④－ab。 x22.下面各题的判断是否正确？

①－7xy的系数是7；（ ） ②－xy与x没有系数；（ ） ③－abc的次数是0＋8＋2；（ ） ④－a的系数是－1；（ ） ⑤－32x2y3的次数是7；（ ） ⑥πr2h的系数是。（ ）

注意：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1” 通常省略不写，如x2，－a2b等； ③单项式次数只与字母指数有关 五、拓展训练：

1、先填空,再请说出你所列式子有什么特点。 （1）、边长为x的正方形的周长是 。

(2)、汽车的速度是v千米/小时，行驶t小时所走过的路程为 千米。 (3)、设n表示一个数，则它的相反数是 。 (4) 、每件a元的上衣,降价20%后的售价是________元.

122R是 ；的系数是_____ ，次数是____。 2、(1) y的系数是____次数5932

3

2

23

3

13131.3a３b的 系数是___次数是 ；

23mn5x2y－的系数是 ，次数是 ． 的系数是____次数是 ；

26

34

5xy的系数是 ，次数是 。

3、

3b，x＋1, －2，， 0.72xy，各式中单项式的个数是（ ） a3 A. 2个 B.3个 C.4个 D.5个 4、单项式－xyz的系数、次数分别是（ ）

A. 0，2 B. 0， 4 . C. －1，5 D.1，4

2

2

2.1整式：多项式

一、学习目标: 1．通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。

2．能确定一个多项式的项数及其次数。

二、学习重点：多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念。

学习难点：多项式的次数。 三、导学指导： 一、温故知新：

1．下列说法或书写是否正确：

①1x ②-1x ③a×3 ④a÷2 ⑤ 1xy

⑥b的系数为1，次数为0 ⑦ 2R的系数为2，次数为2 2．列代数式：

(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是 ； (2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生 人； (3)一个数比数x的2倍小3，则这个数为_________；

(4)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头 个，脚 只。 2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别。 （由小组讨论后，经小组推荐人员回答） 二、自主探究： 1．多项式：

上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。像这样，_______________的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的___。其中，不含字母的项，叫做_______。

例1多项式3x2x5有_____项，它们是______________。其中常数项是________。

35

2142

一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里________________________,叫做这个多项式的次数。例2多项式3x2x5是一个____次______项式。 问题：

(1)多项式的次数是所有项的次数之和吗？ (2)多项式的每一项都包括它前面的符号吗？

2、例3用多项式填空，并指出它们的项和次数： （1）温度由t℃下降5℃后 ℃； (2)甲数x的

2r 11与乙数y的的差可以表示为 ； 32（3）某班有男生x人，女生21人，则这个班的学生一共有_________人． （4）①长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是_________；

②图中阴影部分的面积为_________；

例4一条河流的水流速度为2.5千米／时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行

驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、乙两条船在静水中的速度分别为20千米／时和35千米／时，则它们在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？

注：__________与___________统称整式。 四、课堂练习：

1、指出下列多项式是几次几项式：

(1)2x13x2(2)4x32x3y2(4)4x41(3)2x23xyy2

2.判断下列各代数式是否式整式：

(1)1(2)r五、拓展训练：

4(3)r33(4)1x12x1(5)3(6)2x21.下列说法中,正确的是( )

2x2yA、单项式的系数是2,次数是3　　　　　Ｂ、3

单项式a的系数是0,次数是0C、3xy4x1是三次三项式,常数项是1　　D、236

32ab9单项式的次数是2,系数为22

2.下列关于2的次数说法正确的是( )

A. 2次 B. 3次 C. 0次 D. 无法确定 3.－

3

524ab－ab＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项43为 ，写出所有的项 。 4.如果5xym1为四次单项式,则m=____；

2.2 同类项

一、【学习目标】：

1．理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项。 2．初步体会数学与人类生活的密切联系。

二、【学习重点】：理解同类项的概念。

【学习难点】：根据同类项的概念在多项式中找同类项。 三、【导学指导】：

一．知识链接

1．运用有理数的运算律计算： （1）100×2+252×2=__________, （2）100×(-2)+252×(-2)=__________, （3）100t+252t=__________,

思路点拨：根据逆用乘法对加法的分配律可得。 2.请根据上面得到结论的方法探究下面各式的结果: （1）100t—252t=（ ）t （2）3x ＋ 2 x = ( ) x （3）3ab － 4 ab = ( ) ab

2

2

2

2

2

2

上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？ 二．自主学习 同类项的定义：

37

1.观察：3x 和 2 x ; 3ab 与 －4 ab 在结构上有哪些相同点和不同点? 2.归纳：_______________________________________________叫做同类项 ____________________也是同类项。如3和-5是同类项

四、【课堂练习】：

1、判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。

(1)3x与3mx是同类项。 ( ) (2)2ab与－5ab是同类项。 ( ) (3)3xy与－1yx是同类项。 ( ) (4)5ab与－2abc是同类项。 ( )

2

2

2

2

2222

3(5)2与3是同类项。 ( ) 2、下列各组式子中，是同类项的是（ ）

2A、3xy与3xy B、3xy与2yx C、2x与2x D、5xy与5yz

2232

3、在下列各组式子中，不是同类项的一组是（ ） A、 2 ，－5 B、 －0.5xy， 3xy C、 －3t，200πt D、 ab，－ba

4、已知xy与－5yx是同类项，则m= ，n= 。

5、指出下列多项式中的同类项：

(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5； (2)3xy－2xy＋1xy－3yx；

2

2

2

2

m2

n3

2

2

2

2

32

6、游戏：

规则：一学生说出一个单项式后，指定一位同学回答它的两个同类项。要求出题同学尽可能使自己的题目与众不同。请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验，从而揭示同类项的本质特征，透彻理解同类项的概念。 注意:

① 两个相同:字母相同;相同字母的指数相等。 ② 两个无关:与系数无关;与字母顺序无关。

38

③ 所有的常数项都是同类项。

④ 两个项虽然所含字母相同，但相同字母的指数不全相同就不是同类项。 五、【拓展训练】 1、若5xy和9x3mn1y2是同类项，则m=_________,n=___________。

2、若把(s＋t)、(s－t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。

(1)1(s＋t)－1(s－t)－3(s＋t)＋1(s－t)； (2)2(s－t)＋3(s－t)－5(s－t)－8(s－t)＋(s－

2

2

36t)。

3、观察下列一串单项式的特点：

xy ，2x2y ，4x3y ，8x4y ，16x5y ，…

（1）按此规律写出第6个单项式.

（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？

2.2合并同类项

一、【学习目标】：理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则。 二、【重点难点】：正确合并同类项。 三、【导学指导】

一、知识链接

1．下列各组式子中是同类项的是（ ）．

A．-2a与a B．2ab与3ab C．5abc与-bac D．-2、思考

⑴ 6个人+4个人= ⑵ 6只羊+4只羊= ⑶ 6个人+4只羊= 二．自主探究

1.思考：具备什么特点的多项式可以合并呢？

2.因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、•分配律把多项式中的同类项进行合并．例如，

4x+2x+7+3x-8x-2 （找出多项式中的同类项） = （交换律） = (结合律)

39

2

22

2

2

2

2

122

ab和4abc 7

= (分配律) =

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

3. 合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？ 归纳：

（1）合并同类项法则：

在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 （2） 若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，

如-3ab+3ab=（-3+3）ab=0·ab=0。

多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并。 例1．合并下列各式的同类项： （1）xy-解：

22

2

2

2

1222222222

xy； （2）-3xy+2xy+3xy-2xy； （3）4a+3b+2ab-4a-4b 51。 212121 （2）求多项式3a+abc-c-3a+c的值，其中a=-，b=2，c=-3。

336 例2．（1）求多项式2x-5x+x+4x-3x-2的值，其中x=

2

2

2

2

2

2

解：（1）2x-5x+x+4x-3x-2 （仔细观察，标出同类项）解：（2）3a+abcc-3ac

40

132132

四、【课堂练习】

1.下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。

(1)2x＋3x=5x； (2)3x＋2y=5xy； (3)7x－3x=4； (4)9ab－9ba=0。

五、【拓展训练】

1.求多项式3x＋4x－2x－x＋x－3x－1的值，其中x=－3。

2．求多项式ab-6ab-3ab+5ab+2ab的值，其中a=0.1，b=0.01；

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2.2 去括号

一、【学习目标】能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简。 二、【学习重点】去括号法则，准确应用法则将整式化简。

【学习难点】括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误。 三、【导学指导】 一、温故知新：

1．合并同类项：

2222（1）7a3a （2）4x2x （3）5ab13ab （4）9xy9xy

2323二、自主探究

41

1. 利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？

现在我们来看本章引言中的问题（3）：

在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，•那么它通过非冻土地段的时间为（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，•非冻土地段的路程为120（t-0.5）千米，因此，这段铁路全长为 100t+120（t-0.5）千米 ①

冻土地段与非冻土地段相差 100t-120（t-0.5）千米 ② 上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？ 100t+120（t－0.5）=100t+ = 100t－120（t－0.5）=100t =

我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号．上面两式去括号部分变形分别为： +120（t－0.5）= ③ －120（t－0.5）= ④ 比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？ 归纳去括号的法则：

法则1： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 法则2： 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 特别地，+（x-3）与-（x-3）可以分别看作1与-1分别乘（x-3）； 2．范例学习

例4．化简下列各式：

（1）8a+2b+（5a-b）； （2）（5a-3b）-3（a-2b）；

例5．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，•两船在静水中的速度都是50千

米/时，水流速度是a千米/时．

（1）2小时后两船相距多远？ （2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？

42

2

去括号时强调：括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，•括号内每一项都要变号．为了防止出错，可以先用分配律将数字2•与括号内的各项相乘，然后再去括号，熟练后，再省去这一步，直接去括号。 四、【课堂练习】

1. a+(-b+c-d) 2. a-(-b+c-d)

3. (x+y)+(x-y+1) 4. - (x-y)-(x-y-1)

5. 3x+(5y-2x) 6. 8y-(-2x+3y)

7. 8a+2b+4(5a-b) 8. 5a-3c-2(a-c)

2

9. (5a-3b) – 3(a -2b)+7(3b+2a) 10. 3b -2c - [ - 4a+(c+3b)]+c

归纳 去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项． 五、【拓展训练】

1．下列各式化简正确的是（ ）。

A．a-（2a-b+c）=-a-b+c B．（a+b）-（-b+c）=a+2b+c

43

C．3a-[5b-（2c-a）]=2a-5b+2c D．a-（b+c）-d=a-b+c-d 2．下面去括号错误的是（ ）．

A．a-（a-b+c）=a-a+b-c B．5+a-2（3a-5）=5+a-6a+5 C．3a-2

2

12 223232

（3a- 2a）=3a-a+a D．a-[（a-（-b））=a-a-b 332

2

2

2

2

2

3．计算：5xy-[3xy-（4xy-2xy）]+2xy-xy． （一般地，先去小括号，再去中括号。）

2.2整式的加减

一、【学习目标】让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算。 二、【学习重点】正确进行整式的加减。

【学习难点】总结出整式的加减的一般步骤。 三、【导学指导】 一、知识链接

1．多项式中具有什么特点的项可以合并，怎样合并？ 2．如何去括号，它的依据是什么？

去括号、合并同类项是进行整式加减的基础． 二、自主学习

例6．计算：（1）（2x-3y）+（5x+4y） （2）（8a-7b）-（4a-5b）．

例7．一种笔记本的单价是x（元），圆珠笔的单价是y（元），小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2枝；

44

小明买这种笔记本4个，买圆珠笔3枝，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？

例8．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：厘米）． （1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？

（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？ （学生小组学习，讨论解题方法．）

例9．求

长 宽 高 b c 小纸盒 a 大纸盒 1.5a 2b 2c 1123122x-2（x-y）+（-x+y）的值，其中x=-2，y=． 23233 （思路点拨：先去括号，合并同类项化简后，再代入数值进行计算比较简便，去括号时，特别注意符

号问题。）

45

四、【课堂练习】

323

（2） 7（p＋p－p－1）－2（p＋p） 归纳：

1．整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合。 2．整式的加减的一般步骤：

①如果有括号，那么先算括号。②如果有同类项，则合并同类项。 3．求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样使计算简便。

五、【拓展训练】 1．如果a-b=

113(3a2bab2)(ab2a2b);44312(m2nm3)(m2nm3)331，那么-3（b-a）的值是（ ）． 2 A．-

3231 B． C． D． 53262

2．一个多项式与x-2x+1的和是3x-2，则这个多项式为（ ）．

A．x-5x+3 B．-x+x-1 C．-x+5x-3 D．x-5x-13 3．先化简再求值:

4xy-[6xy-3（4xy-2）-xy]+1，其中x=2，y=-

46

2

2

2

2

2

2

1； 2

第三章 一元一次方程 3.1.1一元一次方程

一、预习目标: 1．知识与技能：

知道什么是方程，什么是一元一次方程；

体会字母表示数的好处，画示意图有利于分析问题、找相等关系是列方程的重要一步，从算式到方程（从算式到代数）是数学的一大进步。

二、预习重点、预习难点： 会根据实际问题列出一元一次方程。 三、预习过程： （一） 引入

一辆汽车匀速行驶的全过程。看图，问王家庄到翠湖的路程多远？

X千米

分析：设王家庄到翠湖的路程为x千米，则，王家庄距青山_________千米，王家庄距秀水______千米，看表可知王家庄到青山行车_____小时，王家庄到秀水行车______小时，根据汽车匀速行驶可以列等式为_______________________________

方程的概念：

_____________________________________________________________

（二）新授

例1 根据下列问题，设未知数并列出方程：

（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长应是多少？

（知识准备：24cm是正方形的（周长还是面积）正方形的面积公式____正方形的周长公式_______）

设正方形的边为xcm，列方程

（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？

解：（1）设x月后这台计算机的使用时间达到2450小时，那么x月里这台计算机使用了__________小时。

列方程

47

地点 王家庄 青山 秀水 时间 10：00 13：00 15：00

（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 设这个学校的学生数为x，那么女生数为_____，男生为 _________。 列方程

一元一次方程的概念：______________________________________________________ 归纳：上面的分析过程可以表示如下：

分析实际问题的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。 方程的解与解方程

从方程170+15x=245，你能估算出x的值吗？ 如果x=1，170+15x的值是： 170+15×1=185。

如果x=2，170+15x的值是： 170+15×2=200。

类似的，填表可以得到上面的问题。

总结：解方程就是_______________这个值就是方程的解。 （三）练习 1．3x-1是方程嘛？

2．列式表示a与3的差等于-2。

3．上题中列出的式子是方程嘛？如果是，未知数是什么？方程的解是什么？如果不是，说明原因。

4.x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-(1-0.52)x=80的解？

48

3.1.2等式的性质

一、预习目标：

1、举出等式的例子；用语言叙述等式变形的两条性质。 2、会用等式的两条性质将等式变形；能对变形说明理由。 二、预习重点：等式概念的认识理解，等式性质的归纳。

预习难点：利用等式的两条性质变形等式。 三、预习过程： （一）引入

直接看出方程的解：4x=24, x+3=6 。x+17=26. x-3=5

简单的方程我们可以通过观察来解，但是有些题目比较复杂，如：5x=4x+7等等，因此，我们要讨论怎样解方程，方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来看看等式与什么性质。 （二）新课

观看上图：由它能发现什么规律？

等式的性质1：___________________________________________ 可以用字母表示为：如果a=b,那么a±c=______

等式的性质2：___________________________________________

可以用字母表示为：如果a=b,那么ac=______ 如果a=b(c≠0),那么 =______

49

例：利用等式的性质解下列方程：

（1）x+7=26 (2)-5x=20 (3)  练习：

1x-5=4 3xy1、(1)从x=y能否得到x+5=y+5?为什么?(2)从x=y能否得到99?为什么?

(3)从a+2=b+2能不是得到a=b?为什么?(4)从-3a=-3b能否得到a=b?为什么?

2、(1)怎样从等式5x=4x+3得到等式x=3? (2)怎样从等式4x=12得到等式x=3?

ab(3)怎样从等式100100得到等式a=b? (4)怎样从等式2πR=2πr得到等式R=r?

3、若x=y，下列等式，哪些是成立的?

(1)2x=2y； (2)x=y； (3)2x-3=2y-3； (4)(x-y)x=y(x-y)；

2

2

50

4、根据等式性质， 把下列等式变成左边只剩下字母x，右边只是一个数的等式

1(1)x+3=-10 (2)3x=-9； (3)2x+7=15； (4)4-2x=5

3.2解一元一次方程的（一）合并同类项与移项（1）

一、预习目标：

知识与技能： 1.找相等关系列一元一次方程；用移项解一元一次方程；

2.会通过移项、合并解决一元一次方程； 3.知道用一元一次方程解决实际问题的基本过程。

二、预习重点： 用合并同类项和移项的方法解一元一次方程。

预习难点： 列一元一次方程解应用题。 三、预习过程：

（一）引入 中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁

译本为《对消与还原》。“对消”与“还原”是什么意思呢？ （二）新课讲授

问题1 (数学书88页) 某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是

去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？

知识准备：问题中的相等关系在那一句___________________________：

设前年购买计算机x台，则去年购买计算机____台，今年购买计算机_______台，列方程为：____________________________________________

思考一下，这个方程如何计算呢？下面的框图就表示了这个方程的具体过程：

x+2x+4x=140

合并

7x=140

解方程中“合并”起了什么作用？

解方程中的“合并”是利用分配律将含有未知数的项和常数项分别合并为一项。 练习：解下列方程

51

系数化为1 x=20

1.7x-205x+3x-1.5x=-15×4-6×3 2. 5x-3x=9 3. -3x+4x=12

3.3解一元一次方程（二）去括号和去分母（4）

一、预习目标： 知识与技能：

1.会从实际问题中抽象出数学模型；会用一元一次方程解决一些实际问题。

2..经历 “把工程问题抽象为方程”的过程，提高用方程方法分析问题、解决问题的能力 。

3.在积极参与教学活动过程中，体验一元一次方程的使用价值，形成实事求是地态度和思考的习惯。 情感态度、价值观：

通过具体情境引入新问题，激发学生的探究欲望； 二、预习重点：弄清题意，用列方程的方法解决工程问题。

预习难点：寻找实际问题中的等量关系，建立数学模型。 三、预习过程：

（一）创设情境，提出问题： （工程问题，只列不解）

1、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？ 思考：（1）两人合作32小时完成对吗？为什么？

（2）甲每小时完成全部工作的 _________________

乙每小时完成全部工作的 ___________________ 甲x小时完成全部工作的 ___________________ 乙x小时完成全部工作的 ； 那么两人合作_________小时完成.

2、整理一块地，由一个人做要80小时完成。那么4个人需要多少小时完成？ 分析：一个人做1小时完成的工作量是 ；

一个人做x小时完成的工作量是 ； 4个人做x小时完成的工作量是 。

3、一项工作，12个人4个小时才能完成。若这项工作由8个人来做，要多少小时才能完成呢？ 分析;（1）人均效率（一个人做一小时的工作量）是 。

（2）这项工作由8人来做，x小时完成的工作量是 。

总结：一个工作由m个人n小时完成，那么人均效率是 。

52

（二）探索新知： 典型例题

例5.整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相 同,具体应先安排多少人工作? 分析:这里可以把工作总量看作 1， 请填空:

人均效率(一个人做1小时完成的工作量)为______,

由x人先做4小时,完成的工作量为 _______，再增加2人和前一部分人一起做8小时,完成任务的工作量为____________ .这项工作分两段完成任务,两段完成任务的工作量之和为____________或_____

解:设先安排x人工作4小时,根据相等关系: 两段完成的工作量之和应是总工作量

列出方程得:

聪明的你是否可以找出我们数学的方法美与变化美！ 你能为工程问题进行小结吗？ 温馨提示:

1、在工程问题中，通常把全部工作量简单的表示为1。如果一件工作需要n小时完成，那么平均每小时完成的工作量就是 。 2、工作量=人均效率×人数×时间

3、各阶段完成的工作量之和=完成的工作总量 各人完成的工作量之和=完成的工作总量

（三）课堂反馈、巩固练习：

1、一项工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要12小时完成。现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作。剩下的部分需要多少小时完成？

53

2、一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要15天完成，现在由甲、乙合做12天完成，如果甲中途休息4天，则

3.4 实际问题与一元一次方程

一、预习目标： （一）知识技能：

1.探索实际问题中的数量关系，能根据等量关系列出方程。

2.理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润用利润率等概念。 3.能利用一元一次方程解决商品销售中的一些实际问题。 二、预习重点：会用一元一次方程解决实际问题.

预习难点：将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题。 三、预习过程：

前面我们结合实际问题,讨论了如何分析数量关系,利用相等关系列方程以及如何解方程,可以看出方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具,也是解决实际问题的一种很重要的数学模型。 （一）创设情境，展示问题

因为本节课的主要内容是销售中的盈亏问题，所以在设计中从始至终以带领学生逛商城为主线，来解决“逛”的过程中遇到的一系列实际问题， 思考题：

1.一款手机的利润是72元，进价是920元，则售价是____元.

2.一个数码智能皮皮熊玩具的售价是135元，获利35元，成本价是 元。 3.一款新式天平表的成本价是40元，获利50%，则这块手表的利润是 元。 4.一双名牌耐克运动鞋的进价为500元，亏损10%，则商品利润是_____元。 5.一件茄克衫的标价￥200 元，打8折后现售价多少元？打x折的售价是多少元。 归纳出商品的进价、售价、标价、利润、利润率以及它们之间的数量关系 商品“打折”的基本含义

(二)师生互动，探索研究 1.分解难点，降低坡度

思维启动：设置以下问题：“一件商品售价为60元，求进价为多少元时该商品可获利20%？” 2.探索引路，尝试比较

卖出两件衣服售价均为60元,其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?

要想知道究竟是盈利还是亏损，首先必须要分别求出这两件服装的进价，来比较总的进价与售价的大小关系，从而来判断究竟是盈利还是亏损。 首先根据前面归纳出的公式： （1） （2） （3） （4） （5）

3.解决促销问题

两款“日式最新全铝合金1.8寸HEDY彩屏高品质MP4”和“纽曼彩屏影音王NO1 512M MP3 ”分别售价480元，其中一个盈利 60%，另一个亏本20%。那么本次交易中的盈亏情况如何？ 4.问题引申，拓展训练

（1）在商城的某处发现一款“日式最新全铝合金1.8寸HEDY彩屏高品质MP4”赔钱甩卖，只卖50元，

这是怎么回事呢？

（2）来到进货部发现小李正在办公室的发愁，原来粗心的小李不小心把墨水瓶打翻，将一个订货单

上的进价遮住了，出现了这种情况，即：“一款笔记本电脑标价为5850元，打八折后仍盈利20%，则进价为多少元？”

55

（3）新品上市：“（最具创意）日本EEM—300BK手指鼠标”按高于进价的80%标价为180元/个，如

果你是一个消费者，想购买此商品，以高于进价30%的价格来购买此商品，最低可付多少钱？

（4）拓展讨论：“有一款电脑显示器的进价是1000元，标价为1550元，为促销，商家打折销售并

送35元打的费，要使利润不低于5%出售，最低可以打几折？”

第四章 几何图形初步

4.1 几何图形

一、预习目标 1．知识与技能

（1）能从现实物体中抽象得出几何图形，正确区分立体图形与平面图形；

（2）了解几何体、平面和曲面的意义，•能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面；

（3）了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体及其关系，•能正确判定由点、线、面、体经过运

动变化形成的简单的几何图形． 2．过程与方法

经历探索平面图形与立体图形之间的关系，探索点、线、面、体的关系的数学活动过程，发展空间观念，提高空间想像能力和抽象思维能力，发展运动变化的观念． 3．情感态度与价值观

经历本节课的数学活动过程，养成主动探索、求知的学习态度，激发学生对数学的好奇心和求知欲，

体验数学活动中小组合作的重要性． 二、重、难点与关键

1．重点：正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面，探索点、线、面、•体之间的关系是重点 2．难点：探索点、线、面、体运动变化后形成的图形是难点．

3．关键：让学生在现实情境中，进行探究学习是本节课的关键． 三、预习过程

（一）引入新课 回忆并写出:你所学过或熟悉的几何图形。

56

（二）合作探究

（1）我们把从__________中抽象出的各种图形统称为几何图形。举例：_______________ （2）有些几何图形的各部分不都在________，它们是立体图形。如：______________ 常见的立体图形

长方体 正方体 圆柱 圆锥 球

棱柱和棱锥也是常见的立体图形

三棱柱 六棱柱 三棱锥 常见立体图形的归类

圆柱

柱体

棱柱 三棱柱 、 四棱柱 、五棱柱 、六棱柱

立体图形 球体

圆锥

锥体

棱锥 三棱锥 、 四棱锥 、五棱锥 、六棱锥

（3）有些几何图形的各部分都在_________，它们是平面图形。如：_______

常见的平面图形

三角形 长方形 正方形 圆形 五边形 六边形

57

4.1.1立体图形与平面图形

一、预习目标 1、知识与技能

(1)能把一些立体图形的问题，转化为平面图形进行研究和处理，•探索平面图形与立体图形之间的关系． (2)学会简单几何体（如棱柱，正方体等）的平面展开图，知道按不同的方式展开会得到不同的展开图。 2、过程与方法

（1）培养提高观察、分析、抽象、概括的能力，培养动手操作能力． （2）经历问题解决的过程，提高解决问题的能力． 3、情感态度与价值观

积极参与教学活动过程，形成自觉、认真的学习态度，•培养敢于面对学习困难的精神，感受几何图形的美感； 二、 重、难点

1．重点：从现实物体中抽象出几何图形，•把立体图形转化为平面图形是重点． 2．难点：立体图形与平面图形之间的转化是难点． 三、 预习过程 （一）引入新课

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”这句诗的意思是什么？它所蕴含的意义在数学中是如何体现的呢？

（二）新授

1、分别从正面、上面、左面观察下面几何体，各能得到什么平面图形？

从上面看 从上面看 从上面看 从上面看

从左面看 从左面看 从左面看

从正面看 从正面看 从正面看 从正面看

2、画出下列几何体从正面、上面、左面三个方向看到的图形。

58

从左面看

3、认真阅读教材120页，完成下面内容： 活动1：

1、说出下列立体图形的平面展开图是什么？ 2、练习

上面的图形分别是下面哪个立体图形展开的形状？把它们用线连起来。 活动2：

1、 用剪刀正方体纸盒按任意方式沿棱展开，你能得到哪些不同的 展开图？比比哪一小组的展开图更与众不同。 2、归纳：

第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。

59

第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。 第四类，两排各三个，只有一种

注意：立体图形的平面展开图具有多样性（不唯一性） 三、练习巩固：

1、下边的4个图形中，哪一个是由左边的盒子展开而成的。

2、下面六个正方形连在一起的图形，经折叠后能围成正方体的图形有哪几个？(动手试试） 、

60

A

B

C D E F

G

3、下列图形能折叠成什么立体图形？

强调：由平面展开图得出多面体的唯一性

4．如下图所示，每个图片都是由6个大小相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是（ ）．

A B C D 5．如下图所示，经过折叠能围成一个棱柱的是（ ）．

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

6．桌上放着一个圆柱和一个长方体[如下图（1）]，请说出下列三幅图[如下图（2）]分别是从哪个方向看到的．

7．如下图，用4个小正方体搭成一个几何体，分别画出从正面、•左面和上面看该几何体所得的平面图形．

61

4.1.2 点、线、面、体

（1）、______ 、_____ 、______ 、_____ 、_____棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称____ ，包围

着体的是 ____。

（2）、多姿多彩的图形是由____、____、____、___组成。____是构成图形的基本元素。 （3）、点无大小，线有____和____，面有_____的面和____的面。 （4）、____动成线，线动成____，面动成体。

（5）、体由___围成，面与面相交成___，线与线相交成____。 三、练习巩固

1、练习：围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？

2、练习：把下面第一行的平面图形绕线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，请用线连一连：

62

4.2 直线、射线、线段（1）

一、预习目标

1.理解两点确定一条直线的事实。 2.掌握直线、射线、线段的表示方法。 3.理解直线、射线、线段的联系与区别。 二、预习重难点

重点：理解并掌握直线的性质，会用字母表示图形和根据语言描述画出图形。 难点：根据语言描述画出图形，建立图形和语言之间的联系。 三、预习内容

1.直线的基本性质是 。 2.点一般用 表示。

3.直线的表示方法有两种：（1）用 表示；（2）用 表示。 4.射线的表示方法有两种：（1）用 表示；（2）用 表示。 5.线段的表示方法有两种：（1）用 表示；（2）用 表示。 6.点与直线的位置关系有两种情况：分别是 和 。 7. 叫做两条直线相交。 探究一 直线的基本性质

1.操作：如果你想将一根木条固定在墙上，至少需要几个钉子？动手试试看。 （1）请你先用一个钉子，是否可以转动木条？这说明了什么？

（2）请你再用两个钉子，是否可以转动木条？这又说明了什么？

（3）猜想：如果将木条抽象成直线，将钉子抽象成点，你可以得出什么结论？

2.直线的基本性质有两层含义：（1） （2） 。

3.思考：你还能从生活中举出应用直线基本性质的例子吗？试试看。

63

探究二 直线、射线、线段的区别与联系

请同学们先自己画出一条直线，一条射线，一条线段，然后小组合作讨论它们的区别与联系，并将讨论的结果填入下表。

比较的 项目 图形 线的 类型 直线 射线 线段

探究三 直线、射线、线段的画法与表示方法

例1.如图所示，已知三点A、B、C 按下列语句画出图形。 （1） 画出直线AB （2） 画出射线AC （3） 画出线段BC

例2.如图所示，回答下列问题。 （1）图中有几条直线？用字母表示出来

（2）图中有几条射线？用字母表示出来

（3）图中有几条线段？用字母表示出来

例3 请同学们讨论下面的问题：

（1） 当平面上有一个点时，过该点可以画出直线的条数

区别 端点个数 能否度量 联系 · B

A ·

· C

A B C D

（2） 当平面上有两个点时，过两点可以画出直线的条数

（3） 当平面上有三个点时，过每两个点可以画出直线的条数

（4） 当平面上有四个点时，过每两个点可以画出直线的条数。

四、巩固练习 1.按下列语句画出图形

（1）直线EF经过点C （2）点A在直线l外

（2）经过点O的三条线段a、b、c (4)线段AB、CD相交于点B

2.下列说法正确的是（ ） A.一条直线上有两条射线

B.以B为端点的射线有射线AB和BA C.延长线段AB相当于反向延长线段BA D.一条直线只能经过两个点

3.下列作图语句正确的是（ ）

A.画直线AB=2cm B.画射线OM=5 cm

C.延长射线OC到D使OC=CD D.延长线段MN到P，使PN=MN

4.平面上有不在同一直线上的三个点，过其中任意两点画直线，共可以画（A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

65

）

5.下图中，表示射线BA和射线BC是同一射线的是（ ） B

6.经过一点有 条直线，经过两点有 条直线。 7.三条直线两两相交，一共有 个交点。

8.在同一平面内有4个点，经过每两个点画直线，可以画直线的条数是 。 9.用适当的语句表示如图所示的点A、B、C及直线m、n、l的各种关系（至少写出3种）

10.有4条直线，它们如何摆放才能把平面分成9部分。

66

A

·

· C

· B

· A

· C

· A

· B

· C

· C

· B

· A

C A m B n l

4.2 直线、射线、线段 （2）

一、【学习目标】

1.掌握比较线段长短的方法 2.掌握线段中点的形与数量的关系 3.掌握线段的性质及理解两点的距离的概念 二、【学习重难点】

重点：1.线段中点的意义及表示 2.线段的性质及线段长度的比较 难点：利用线段的和差倍分求线段的长度 三、【自主学习】

知识点1：线段长短的比较方法 方法1 知识点2：线段的和、差、倍、分

例1.如图，如何利用线段的和差表示线段AC。

解：AC=AB+BC或AC=AD-CD

思考：借助上图，利用线段的和差关系表示线段BD；AC-AB表示哪条线段？AC+CD表示哪条线段？

知识链接：如图， A

点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。 结合图形，写出中点的三种表示方法 （1） （2） （3）

解：∵M是AC的中点

∴MC=

M

B

A

B

C

D

方法2 。

例2.如图，已知点C在线段AB上， 线段AC=6cm、BC=4cm,点M、N 分别是AC、BC的中点。

11 =× = 2211 =× = 2267

∵N是BC的中点 ∴NC=

∵MN= +

∴MN=

求线段MN的长度。 A M

C

N

B 知识延伸：类似地，线段的三等分点、四等分点如何表示？画出图形并写出它们的表示方法。

知识点3：作一条线段等于已知线段(用直尺和圆规作为画图工具) 例3.如图，已知线段a和b,画一条线段，使它等于2a-b.

a

解：作法：

b 1.用直尺画一条射线OA

2.以O为圆心，在射线OA上截取OB=a, 再以B为圆心，在射线BA上截取BC=a 3.在线段OC上截取CD= b

则线段 就是所求作的线段，且 =2a-b.

知识点4：线段的基本事实

1.线段的基本事实是： 2. 叫做两点的距离

提示：距离是线段的长度，而不是线段本身。距离是数量，线段是图形。 思考：

1.如果把原来弯曲的河道改直，那么河道长度的变化是 ， 数学原理是

2.如图所示，直线l是一条平直的公路，A、B是某公司的两个仓库，位于公路两旁，请在公路上找一点建造货物中转站C，使A、B到C的距离和最小，请找出C的位置并说明理由。

68

A ·

l

B ·

四、巩固练习 一.选择题

1.下列说法中正确的是（ ） A.若AP=

1AB，则P是AB的中点 B.若AB=2PB，则P是AB的中点 21AB，则P是AB的中点 2C.若AP=PB，则P是AB的中点 D.若AP=BP=

2.如下图所示，如果延长线段AB到C，使BC=A.5cm B.3 cm C.13 cm D.4 cm

二.填空题

1AB，D为AC的中点，DC=2.5cm,则线段AB的长度是 4A

D

B

C

1.如下图，已知A、B、C、D四点在同一条直线上，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a,BC=b,则线段AD= .（用含a,b的式子表示）

A M

B C

N

D

2.如图，已知A、B、C三点在同一条直线上， 则（1）AB+BC= （2）AC-BC=

A

（3）AC-AB= 三.解答题

1.已知线段AB=5cm,

（1）在线段AB上画线段BC=3 cm，并求线段AC的长

（2）在直线AB上画线段BC=3 cm，并求线段AC的长

69

B C

2.在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知AB=5cm,点O是线段AC的中点，且OB=1.5cm,求线段AC的长度？

3.如图，在平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定水池M点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。

·C

B·

A·

·D

70

4.3.1 角

一、学习目标

1. 理解角的概念，学会角的表示方法（重点）

2. 认识角的度量单位，能够进行简单的换算和角度计算（难点） 3. 积极发表自己的观点，尊重理解他人的见解，在交流中提升自己 二、学习过程 1. 角的概念

（1）静态：有公共端点的 组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的 ，这两条 是角的两条边。

（2）动态：角是由 绕着 旋转而成的图形，旋转开始时的射线叫做 ，旋转终止时的射线叫做 ， 叫做角的顶点。 2.角的表示

已知下图的三个角，请你用自学的知识把角的三种表示方法写出来：

方法1： 方法2： 方法3： 方法4： 3.角的度量

（1）常用的角的度量单位有 、 、 （ 进制）；我们把一个周角 等分，每一份就是一度的角，记作 ；把一度的角 等分，每一份就是一分的角，记作 ；把一分的角 等分，每一份叫做1秒的角，记作 。

71

（2）1周角= °，1平角= °； 1°= ′， 1′= ″。

（3）其他度量角的单位制： ，度量角的仪器： 探究点一 角的定义

根据角的定义判断下列说法中正确的是 （ ）

A. 两条射线组成的图形叫角 B. 相交的两条射线组成的图形叫做角

C. 角是一条线段绕它的一个端点旋转而成的图形 D. 一条直线是一个平角 E. 两边在同一直线上的角是平角 F. 角的两边越长，角的度数越大

G. 角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形 H. 具有公共端点的两条射线组成的图形叫角

规律总结：角的两要素—— 探究点二 角的表示

图有多少个角？能用一个英文字母表示的角有几个？把它们表示出来。以B为顶点的角有几个？把它们表示出来。

A D B C

规律总结： 用三个字母表示时应注意：

用一个字母表示时应注意： 用数字或希腊字母表示时应注意：

探究点三 角的度量与换算

72

范例模仿：

把下面角度化成度、分、的形式 18.4°= 18°24′ 18.4°-18°= 0.4° 0.4°×60′=24′

计算：（1）121．3°= ° ′； （2）23°36′ = °.

（1） 把26.29°转化为用度、分、秒表示的形式

（2） 把33°24′36″转化为用度表示的形式

（3） 63°32′+37°48′= °

规律方法：度→度、分、秒： ； 度、分、秒→度： 综合应用

钟表的时针每小时转多少度？分针每小时转多少度？ 它们每分钟各转多少度？

12时15分时，时针与分针的夹角是多少度？ 课堂练习

1. 判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×” （1）平角的两边在同一条直线上 （ ）

（2）角的大小与角的两边张开的程度有关，与边长无关 （ ） （3）直线AB和CD相交于点O，可以用三个大写字母表示的角共有四个（小于平角）（ ）

A把下面度、分 、秒的形式化成度

25°38′ = 25.63° (精确到0.01)

38′÷60 =0.633333°

73

01B

（4）如图，∠1可以用∠AOB和∠O表示 （ ） （5）一条射线就是一个周角 （ ） 2、如图，以O为顶点的角有 个， 分别是

OBAC3、计算：（1）10.26°= ° ′ ″；（2）50°40′30″= °。

4、6时整，钟表的时针和分针构成的角是 度？ 8时 ？8时30分 ？ 5、如图，以B为顶点的角有 个，分别是 ，

A以D为顶点的角有 个，它们分别是 。 6、将图中的角用不同的方法表示出来，并填写在下表里：

∠1 ∠BCE ∠ACB ∠BAC ∠B βBEDCB∠BAD 2αC1EDA 2. 计算：

（1）22°16′×5= （2）51°37′－32°53′1″=

4.3.2角的比较与运算

一、学习目标：

1、运用类比的方法，学会比较两个角的大小； 2、认识角的平分线，会画角的平分线； 3、角的计算。

二、重点难点:•认识角平分线及画角平分线，角的计算 一、角的比较

1、与线段长短的比较相类似，比较两个角的大小有2种方法：

方法一为：_________________________；方法二为：____________________________

74

2、思考：如图，（1）图有几个角？怎么数的？在图中表示出来。

（2）图中角之间的关系

填空：∠AOB=_________+____________；∠BOC=________________-__________ 二、角的平分线

3、如图，如果∠AOC=∠BOC，那么射线OC是∠AOB的角平分线。

角平分线的定义：_______________________________________________

关键词是：___________________________

符号语言：∵OC平分∠AOB

∴∠AOC=∠BOC

(∠AOB=2∠ 或∠AOB =2∠ ;或∠AOC=

11∠ ，∠BOC =∠_____ ) 224、请画出下面两个角的角平分线，

75

OBO BAA

5、如图⑴：⑴∠DAB =∠DAC+ ⑵∠ACB =∠DCB – 如图⑵若∠AOB =∠BOC =∠COD，则OB 是 的平分线， =

1∠AOC， 2DCB∠BOC =

111 = = = 2236、O是直线AB上一点，∠AOC=53°，OD平分∠BOC,求∠BOD

的度数？

7、如下图，用“＝”或“>”或“<”填空： （1）∠AOC_______∠AOB+∠BOC； （2）∠AOC_______∠AOB； （3）∠BOD-∠BOC______∠DOC；

（4）∠AOD______∠AOC+∠BOD．

AOBDAOC8、如图，OB是平角∠AOC的角平分线，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数。

76

9、如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线。 ⑴如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？ ⑵如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？

10、如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC， ⑴求∠MON的度数，

⑵若∠AOB=∠α，若∠BOC=∠β（∠β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数。（用含α、β的式子表示）

4.3.3余角和补角

一、学习目标

1、在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。认识理解方位角，能确定具体物体的方位。

2、进一步提高抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。

二、学习重点：认识角的互余、互补关系及其性质。认识方位角，找准方位。

学习难点：归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。

探究一：余角和补角

1、互为余角的定义：

12如果两个角的和是 ( )，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。 几何语言表示为：

如果∠1+∠2= ，那么∠1与∠2互为余角，即:∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。

77

2、些

25理解应用⑴：图中给出的各角，哪互为余角？

1044

3、互为补角的定义：

46580463如果两个角的和是 ( )，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。 几何语言表示为：

如果∠3+∠4= °，那么∠3与∠4互为补角，即:∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角 4、理解应用⑵：（1）图中给出的各角，哪些互为补角？

（2）填下列表：

∠a 5° 32° ∠a的余角 ∠a的补角 10015017030106080120 78

45° 77° 62°23′ x° 结论：同一个锐角的补角比它的余角大 （3）填空：

①70°的余角是 ，补角是 。

②∠（∠ <90°）的余角是 ，它的补角是 。 如何判断两个角是互余还是互补呢？

5、探究补角(余角)的性质：

如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？归纳结论。

21

补角性质： 根据补角的性质你能否归纳出余角的性质？

43例1:若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。

79

探究二：方位角

1、学习下面的内容：

在日常生活中，常常要描述物体所处的方向，有一个表示方向的成语----四面八方，“四面”指的是东、南、西、北，“八方”指东、南、西、北和西北、东北、东南、西南，如图1，其实八个方向是不够用的，如果要准确的表示方向，需要借助角的表示方式方位角，尤其在航行、测绘等工作中经常用到它，规定：以正北或正南方向作为角的始边开始旋转，角的范围是0°到90°，如果方向线（表示方向的射线）在东西线以北的话，则称方向线指的方向为北偏东（或西）╳╳°如果方向线在东西线以南的话，则称方向线指的方向为南偏东（或西）╳╳°如图2中，射线AB表示的方向是北偏东70°，射线AC表示的方向是南偏西15°

北

西北东北北B70西东A西南南东南东图2 C15图1

2、例2:如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.

北 40西 O 60° 南 三、自我检测

1、如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？则∠1与∠2是什么关系？

DAB 东 A

80

B4E321OC

2、按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线；（1）北偏西30°；（2）南偏东60°；（3）北偏东15°；（4）西南方向

角的检测

一、填空

1、若∠α=50º，则它的余角是 ，它的补角是 。

2、若∠β=110º，则它的补角是 ，它的补角的余角是 。 3、32º28’的余角为 ，137º45’的补角是 。 4、∠1与∠2互余，∠1=（6x+8）º,∠2=(4x-8)º,则∠∠2= 。

DC5、如图，O是直线AB一点，∠BOD=∠COE=90º， E3则（1）如果∠1=30º，那么∠2= ，∠3= 。 A421BO（2）和∠1互为余角的有 。 和∠1相等的角有 。 A6、如图，O是直线BD上一点，∠BOC=36º，∠AOB=108º， C则与∠AOB互补的角有 。

DOB7、已知互余两个角的差是30º，则这两个角的度数分别________________。 二、解答题

C1、如图，∠AOC=∠BOD=90º，∠AOD=130º，求∠BOC的度数。 DB

AO

81

1= ，

2、已知一个角的余角比它的补角的4/9还少6º，求这个角。

3.如图，O是直线AB上一点，AOEFOD90，OB平分COD，图中与DOE互余的角有哪些？与DOE互补的角有哪些？

*4、如图所示，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=70 º， OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3，求EOD的

82

D

A

O

C

E

B

度数。