人教版高中数学必修一函数知识点(精简版)

1.2.1函数的概念

1、函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．

【定义域补充】 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 （1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零； （3）对数式的真数必须大于零;

（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. （6）指数为零底不可以等于零

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法

（1）定义域一致；（2）表达式相同 (两点必须同时具备)

注意：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

1.2.2函数的表示法

4、函数图象知识 （Ⅰ）对称变换 ①将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5

②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如ya与yaxx1 aax③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如ylogax与ylogaxlog1x 6、函数的解析式 A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；

B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法； C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

1.3.1函数单调性与最大（小）值

1、函数的单调性定义

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1【注意】（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1(A) 定义法①任取x1，x2∈D，且x1(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增异减 4、判断函数的单调性常用的结论

⑤函数f(x)、g(x)都是增（减）函数，则f(x)g(x)仍是增（减）函数；

⑥若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则f(x)g(x)也是增（减）函数； 若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则f(x)g(x)也是减（增）函数； 5、函数的最大（小）值定义

（ⅰ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值．

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

1.3.2 函数的奇偶性

1、偶函数定义 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

【注意】 ②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是 即定义域关于原点对称．

3、有奇偶性的函数图象特征 ：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.且f(0)=0 (在原点处有意义时) 4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 ：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；同理则是奇函数． 5、函数奇偶性的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数是怎样的？

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

第二章 基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算

1、根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0=0.

n【注意】 (1)(na)a (2)当 n是奇数时，nana ，当 n是偶数时，nan|a|a,a0

a,a02、分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义，规定：a（2）正数的正分数指数幂的意义：a_mnmnnam(a0,m,nN,且n1)

1amn(a0,m,nN,且n1)

（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3、实数指数幂的运算性质 （1）aaarsrsrsrs(a0,r,sR)

rrr（2）(a)a(a0,r,sR) （3）(ab)ab(a0,b0,rR) 2、指数函数的图象和性质 01 图象 定义域R ,值域（0，+∞） （1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1 性质 (2)在R上是减函数 （3）当x>0时,01

(2)在R上是增函数 （3）当x>0时,y>1; 当x<0时,0x1、对数的概念一般地，如果aN ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：xlogaN （ a—底数 N—真数）

【注意】 （1）注意底数的，a>0且a≠1；（2）真数N>0；

2、两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数, log10N记为lgN ；

（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , logeN记为lnN．e≈2.71

x3、对数式与指数式的互化 xlogaNaN

（1）负数和零没有对数 (2)logaa=1, loga1=0，特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式：a4、如果a > 0，a  1，M > 0，N > 0 有 【有时可逆向运用公式】

logaNN

logaMlogaN （2）loga（1）log（aM•N）MlogaMlogaN Nn（nR）（3）logaMnlogaM （一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍）

5、换底公式 ：logablogcblgba0,a1,c0,c1,b0

logcalga1nn利用换底公式推导下面的结论①logab③logamblogab

logbam2.2.2 对数函数及其性质

1、对数函数的概念 函数ylogax (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____ 2、对数函数的图像与性质 对数函数ylogax(a>0，且a≠1)

图 像

性定义域：_____ 值域：______ 过点( , ) 即当x ＝1时,y＝ 在 (0,+∞)上是增函数 当x>1时，y___ 当x=1时，y___ 当01时，y____ 当x=1时，y____ 当03、如图，底数 a对函数ylogax 的影响. 规律：底大枝头低, 头低尾巴翘 4考点

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小、。

Ⅴ、y=ax (a>0且a ≠1) 与y=logax (a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。

6 比较大小的方法: (1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较（5）比商判断

2.3幂函数

1、幂函数定义

一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

2、幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；

（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

第三章 函数的应用 3.1方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点.（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根.

4、函数零点的求法 求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布 两个根都在（m,n )内 y 两个有且仅有一个在（m,n)内 x1∈(m,n) x2∈(p,q) m

0mbn2af(m)0f(n)0x n m n p q

f(m)0f(n)0f(p)0f(q)0 f(m)f(n)<0 两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大于K y k k

x k 0bk2af(k)0