1.2.1函数的概念
1、函数的概念
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.
【定义域补充】 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法
(1)定义域一致;(2)表达式相同 (两点必须同时具备)
注意:两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
1.2.2函数的表示法
4、函数图象知识 (Ⅰ)对称变换 ①将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5
②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如ya与yaxx1 aax③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如ylogax与ylogaxlog1x 6、函数的解析式 A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法; C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
1.3.1函数单调性与最大(小)值
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 (2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1 ⑤函数f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)仍是增(减)函数; ⑥若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)也是增(减)函数; 若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)也是减(增)函数; 5、函数的最大(小)值定义 (ⅰ)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 6、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○ 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 1.3.2 函数的奇偶性 1、偶函数定义 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 【注意】 ②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 ③由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是 即定义域关于原点对称. 3、有奇偶性的函数图象特征 :偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.且f(0)=0 (在原点处有意义时) 4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 :①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定f(-x)与f(x)的关系; ③作出结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;同理则是奇函数. 5、函数奇偶性的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数是怎样的? ⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 1、根式的概念: 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0=0. n【注意】 (1)(na)a (2)当 n是奇数时,nana ,当 n是偶数时,nan|a|a,a0 a,a02、分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂的意义,规定:a(2)正数的正分数指数幂的意义:a_mnmnnam(a0,m,nN,且n1) 1amn(a0,m,nN,且n1) (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3、实数指数幂的运算性质 (1)aaarsrsrsrs(a0,r,sR)
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