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人教版高中数学必修一函数知识点(精简版)

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函数常考知识点汇总

1.2.1函数的概念

1、函数的概念

设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.

【定义域补充】 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 (1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法

(1)定义域一致;(2)表达式相同 (两点必须同时具备)

注意:两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。

1.2.2函数的表示法

4、函数图象知识 (Ⅰ)对称变换 ①将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5

②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如ya与yaxx1 aax③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如ylogax与ylogaxlog1x 6、函数的解析式 A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;

B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法; C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)

1.3.1函数单调性与最大(小)值

1、函数的单调性定义

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1【注意】(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;

(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1(A) 定义法①任取x1,x2∈D,且x1(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:同增异减 4、判断函数的单调性常用的结论

⑤函数f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)仍是增(减)函数;

⑥若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)也是增(减)函数; 若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)也是减(增)函数; 5、函数的最大(小)值定义

(ⅰ)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;

(2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值.

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 6、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 ○

2 利用图象求函数的最大(小)值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

1.3.2 函数的奇偶性

1、偶函数定义 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

【注意】 ②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

③由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是 即定义域关于原点对称.

3、有奇偶性的函数图象特征 :偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.且f(0)=0 (在原点处有意义时) 4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 :①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;

②确定f(-x)与f(x)的关系; ③作出结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;同理则是奇函数. 5、函数奇偶性的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数是怎样的?

⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.

第二章 基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算

1、根式的概念: 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0=0.

n【注意】 (1)(na)a (2)当 n是奇数时,nana ,当 n是偶数时,nan|a|a,a0

a,a02、分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂的意义,规定:a(2)正数的正分数指数幂的意义:a_mnmnnam(a0,m,nN,且n1)

1amn(a0,m,nN,且n1)

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

3、实数指数幂的运算性质 (1)aaarsrsrsrs(a0,r,sR)

rrr(2)(a)a(a0,r,sR) (3)(ab)ab(a0,b0,rR) 2、指数函数的图象和性质 01 图象 定义域R ,值域(0,+∞) (1)过定点(0,1),即x=0时,y=1 性质 (2)在R上是减函数 (3)当x>0时,01

(2)在R上是增函数 (3)当x>0时,y>1; 当x<0时,0x1、对数的概念一般地,如果aN ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作:xlogaN ( a—底数 N—真数)

【注意】 (1)注意底数的,a>0且a≠1;(2)真数N>0;

2、两个重要对数(1)常用对数:以10为底的对数, log10N记为lgN ;

(2)自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 , logeN记为lnN.e≈2.71

x3、对数式与指数式的互化 xlogaNaN

(1)负数和零没有对数 (2)logaa=1, loga1=0,特别地,lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3)对数恒等式:a4、如果a > 0,a  1,M > 0,N > 0 有 【有时可逆向运用公式】

logaNN

logaMlogaN (2)loga(1)log(aM•N)MlogaMlogaN Nn(nR)(3)logaMnlogaM (一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍)

5、换底公式 :logablogcblgba0,a1,c0,c1,b0

logcalga1nn利用换底公式推导下面的结论①logab③logamblogab

logbam2.2.2 对数函数及其性质

1、对数函数的概念 函数ylogax (a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是____ 2、对数函数的图像与性质 对数函数ylogax(a>0,且a≠1)

图 像

性定义域:_____ 值域:______ 过点( , ) 即当x =1时,y= 在 (0,+∞)上是增函数 当x>1时,y___ 当x=1时,y___ 当01时,y____ 当x=1时,y____ 当03、如图,底数 a对函数ylogax 的影响. 规律:底大枝头低, 头低尾巴翘 4考点

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小、。

Ⅴ、y=ax (a>0且a ≠1) 与y=logax (a>0且a ≠1) 互为反函数,图象关于y=x对称。

6 比较大小的方法: (1)利用函数单调性(同底数);(2)利用中间值(如:0,1.);(3)变形后比较;(4)作差比较(5)比商判断

2.3幂函数

1、幂函数定义

一般地,形如yx的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.

2、幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α>0 时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+ ∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸;

(3)α<0 时,幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

第三章 函数的应用 3.1方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点.(实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标) 2、函数零点的意义:方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

3、零点定理:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)至少有一个零点c,使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根.

4、函数零点的求法 求函数y=f(x)的零点: (1)(代数法)求方程f(x)=0 的实数根;

(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布 两个根都在(m,n )内 y 两个有且仅有一个在(m,n)内 x1∈(m,n) x2∈(p,q) m

0mbn2af(m)0f(n)0x n m n p q

f(m)0f(n)0f(p)0f(q)0 f(m)f(n)<0 两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K,一个根大于K y k k

x k 0bk2af(k)0

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