人教版高中数学必修一复习提纲

数学必修一复习提纲

第一章 集合及其运算

一．集合的概念、分类（如有限集），常用数集的记法。 二．集合中元素的特征：

⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法：

⑴ 列举法 ⑵ 描述法（格式） ⑶ venn图示法 ⑷ 区间法（概念和分类） （5）自然语言法

Ü四．两种关系：（1）从属关系：对象 、 集合；（2）包含关系：集合 、 集合 五．三种运算：（数轴表示法）

交集：AB{x|xA且xB} 并集：AB{x|xA或xB} 补集：六．运算性质：

⑴ AA，A．

⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． ⑶ 若A ⑷ ⑸

ðUA{x|xU且xA}

B，则ABA，ABB．

A（ðUA），A（ðUA）U，痧（A． UUA）（痧（UB）ð（痧A）（UB）ð（（UA）UAB）UAB），U．

{a1,a2,a3,,an}的所有子集的个数为2n，所有真子集的个数为2n1，所有非空真子集的个

n(n1)． 2 ⑹ 集合

n数为22，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为应用：（真）子集，如：点金训练p7例3。

第二章 基本初等函数

（一）指数与对数运算 一．分数指数幂与根式：

n次方根的概念。若a0，则当n为奇数时，a的n次方根有1个，记做na；当n为偶数时，负数没有n次方根，正数a的n次方根有2个，其中正的n次方根记做na．负的n次方根记做na． 1．0的n次方根为0，负数没有偶次方根；

an为奇数nann(a)a|a|n为偶数 2．两个关系式：；

nnmaa；3、正数的正分数指数幂的意义：（根式与分数指数幂的互化）

mna 正数的负分数指数幂的意义：

mn1nam．

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 4、分数指数幂的运算性质： ⑴ aaarsrs； ⑵aaarsrs； ⑶arsars； ⑷abasbs；

s0a1，其中r、s均为有理数，a，b均为正整数 ⑸

二．对数及其运算

bblogaN．(指数式与对数式的互化)

1．定义：若aN(a0，且a1，N0)，则

2．两个对数：

⑴ 常用对数：a10，3．三条性质： ⑴ 1的对数是0，即4．四条运算法则：

blog10NlgN；⑵ 自然对数：ae2.71828，blogeNlnN．

loga10； ⑵ 底数的对数是1，即logaa1；⑶ 负数和零没有对数．

MlogaMlogaNN；

1logaMn．

⑴

loga(MN)logaMlogaN； ⑵

loga ⑶

logaMnlogaM； ⑷

nloganM5．其他运算性质：

⑴ 对数恒等式：logaabb(bR),alogaNN(N0)

logab ⑵ 换底公式： ⑶

logcanlogambnlogablogcb；m

logablogbclogac；logablogba1；

y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应

（二）函数的概念

一．函数：在某种变化过程中的两个变量x、法则，都有唯一确定的值和它对应，则称范围叫做函数的定义域，和x对应的

yy是x的函数，记做yf(x)，其中x称为自变量，x变化的

y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域．

应用：（1）函数的判定；（2）相同函数的判定（定义域相同，对应关系相同）。 二．函数yf(x)是由非空数集A到非空数集B的映射． 三．函数的三要素：对应关系；定义域；值域．

四、分段函数概念。应用：点金训练：p24.6题 （三）函数的解析式

一．换元法(配凑法)，求解析式；

例如：已知f(x1)x2x，求函数f(x)的解析式． 二．待定系数法，求解析式；

例如：已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，函数f(x)的解析式． 三．消去法。用-x替换恒等式中x，联立构造方程组。

例如:已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)-g(x)xx2,求f(x)、g(x) （四）函数的定义域

一．根据给出函数的解析式求定义域： ⑴ 整式：xR，几个式子之和取交集。 ⑵ 分式：分母不等于0

⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 指数（含0次幂、负指数幂）：底数不等于0 ⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0

2

二．根据对应法则的意义求函数的定义域：

例如：已知yf(x)定义域为[2,5]，求yf(3x2)定义域； 已知yf(3x2)定义域为[2,5]，求yf(x2)定义域； 三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域． （五）函数的值域（最值） 一．基本函数的值域问题：

名称 一次函数 解析式 定义域 R R 二次函数 值域 ykxb R yaxbxc kx 2a4acb2[,)0时，4a 4acb2(,]a0时，4a（配方法） 反比例函数 指数函数 对数函数 yxR x0 {y|yR，且y0} yax ylogax ysinx {y|y0} xR x0 R 三角函数 ycosx {y|1y1} xxk,kz 2ytanx R 二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法

往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等． 补充：二次函数在给定区间上的最值（定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间） （六）反函数

一．反函数的定义：

y二．函数f(x)存在反函数的条件是：x、一一对应．

三．求函数f(x)的反函数的方法： ⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域

1yxf(y) x ⑵ 反解，用表示，得1yyf(x) x ⑶ 交换、，得

⑷ 结论，表明定义域

1yf(x)yf(x)的关系： 四．函数与其反函数1yf(x)yf(x)的定义域与值域互换． ⑴ 函数与

1 ⑵ 若yf(x)图像上存在点(a,b)，则yf(x)的图像上必有点(b,a)，即若f(a)b，则

f1(b)a．

1yf(x)yf(x)的图像关于直线yx对称． ⑶ 函数与

（七）函数的单调性（局部性质）

xx一．定义：一般的，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值1，2，

当

x1x2时满足：(这里区间称为函数的单调区间)

f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是增函数； f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是减函数．

⑴

⑵

注意：如果已知函数单调性，能根据其性质判断自变量或者函数值的大小。如：判断大小，解不等式。

二．判断函数单调性（单调区间）的常用方法： 1．定义法：

⑴ 取值； ⑵ 作差； ⑶变形（乘/积）； ⑷判断； （5）定论： 2．复合函数的单调性：

对于复合函数yf[g(x)]，设tg(x)，则yf(t)，可根据它们的单调性确定复合函数

yf[g(x)]，具体判断满足“同增异减”。

注意：函数的单调区间是定义域的子集，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。 4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同． 5．利用函数单调性求函数最值。

如果函数f(x)在[a,b]上单调递增，在[b,c]单调递减，则函数在x=b上有最大值f（b）；如果函数f(x)在[a,b]上单调递减，在[b,c]单调递增，则函数在x=b上有最小值f（b）； （八）函数的奇偶性（整体性质）：

一．定义：对于函数f(x)定义域中的任意一个x，如果满足f(x)f(x)，则称函数f(x)为奇函数；如果满足f(x)f(x)，则称函数f(x)为偶函数． 二．判断函数f(x)奇偶性的步骤：

1．（前提）判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，否则非奇非偶； 2．验证f(x)与f(x)的关系，若满足f(x)f(x)，则为奇函数，若满足f(x)f(x)，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．

二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． 三．若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0．

四．一次函数ykxb(k0)是奇函数的充要条件是b0；

2yaxbxc(a0)是偶函数的充要条件是b0． 二次函数

应用：利用奇偶性求函数解析式。如：点金训练p33，例2.

注意：函数单调性、奇偶性勿混淆，有时候也有两者的综合运用，如：点金训练p34，例3. （九）函数的周期性：

1．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(xT)f(x)，则f(x)为周期函数，T为这个函数的一个周期．

2．如果函数f(x)所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．如果函数f(x)的最小正周期为T，则函数f则函数af(x)b的最小正周期为T。

（十）指数函数

1、概念及图象与性质（a0和0a1）课本p56.各指数函数在第一象限的图象满足“底大图高（底数越大向上越靠近y轴）”。 （十一）对数函数

1、概念及图象与性质（a0和0a1）课本p71.各对数函数在第一象限的图象满足“底大图右（底数越大向右越靠近x轴）”。 （十二）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0时，幂函数的图象通过（0，0），并且在区间[0,)上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸； （3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

综上，各幂数函数在第一象限的图象自下而上底数越大。随着底数增大，幂函数图像向上越靠近直线y=1，随着底数减小，图像越向右靠近x轴”。

T(ax)的最小正周期为|a|．如果函数

f(x)的最小正周期为T，

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数

yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联○

系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点：

二次函数yaxbxc(a0)．

（1）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程axbxc0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

补充：二次函数的零点分布（二次方程的根分布）：点金训练页。 5、利用二分法求函数零点的近似值（求方程的近似解）的步骤。 补充：函数的图像 一．基本函数的图像． 对于一个函数y=f(x)，把自变量x视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x取何值，都同时确定了一个点（x，y），这些点构成的集合C是此函数的图象。C上每一点的坐标（x，y）都满足函数关系式y=f(x)，反过来，凡是满足y=f(x) 的有序实数对（x，y）均在函数图象上。画法：描点三步法、图像变换法 二．图像变换：

2222

将yf(x)图像上每一点向上(k0)或向下(k0)平移|k|个yf(x)  yf(x)k 单位，可得yf(x)k的图像 将yf(x)图像上每一点向左(h0)或向右(h0)平移|h|个yf(x)  yf(xh) 单位，可得yf(xh)的图像 将yf(x)图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(a1)yf(x)  yaf(x) 或压缩(0a1)为原来的a倍，可得yaf(x)的图像 将yf(x)图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩yf(x)  yf(ax) (ayf(x)  yf(x) yf(x)  yf(x) 11)或拉伸(0a1)为原来的a，可得yf(ax)的图像 关于y轴对称（看点对称） 关于x轴对称（看点对称） yyy将yf(x)位于轴左侧的图像去掉，再将轴右侧的图像沿yf(x)  yf(|x|) 轴对称到左侧，可得yf(|x|)的图像 将yf(x)位于x轴下方的部分沿x轴对称到上方，可得yf(x)  y|f(x)| 三．函数图像自身的对称 关系 y|f(x)|的图像 图像特征 关于f(x)f(x) f(x)f(x) f(ax)f(xa) f(ax)f(ax) f(x)f(ax) f(ax)f(bx) f(x)f(xa)

y轴对称 关于原点对称 关于y轴对称 关于直线xa对称 xa2轴对称 关于直线关于直线xab2对称 周期函数，周期为a