指数函数习题(经典含答案及详细解析)

一、选择题

的图象大致为(　　)

2．函数f(x)＝x2－bx＋c知足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，那么f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)

A．f(bx)≤f(cx)

B．f(bx)≥f(cx)

C．f(bx)>f(cx)

D．大小关系随x的不同而不同

3．函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，那么k的取值范围是(　　)

A．(－1，＋∞) B．(－∞，1)

C．(－1,1) D．(0,2)

4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的概念域是A，函数g(x)＝lg(68eadf364a67974e8e9475c75211f9a2.png－1)的概念域是B，假设A⊆B，那么正数a的取值范围(　　)

A．a>3 B．a≥3

C．a>a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png D．a≥a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png

5．已知函数

，假设数列{an}知足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，那么实数a的取值范围是(　　)

A．[35a31b705b246b7ad7b441f074f1d9cf.png，3) B．(35a31b705b246b7ad7b441f074f1d9cf.png，3)

C．(2,3) D．(1,3)

6．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<59faca5ab5b04cd1bc89ee3399948327.png，那么实数a的取值范围是(　　)

A．(0，df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png]∪[2，＋∞) B．[70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，1)∪(1,4]

C．[df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，1)∪(1,2] D．(0，70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png)∪[4，＋∞)

二、填空题

7．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大d7e39a215894b6a3340daae36225c468.png，那么a的值是________．

8．假设曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，那么b的取值范围是________．

9．(2020·滨州模拟)概念：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的概念域为[a，b]，值域为[1,2]，那么区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．

三、解答题

10．求函数y＝9edec128835ff3451f2bff6666e42373.png的概念域、值域和单调区间．

11．(2020·银川模拟)假设函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．

12．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的概念域为[0,1]．

(1)求a的值；

(2)假设函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

指数函数答案

1.解析：由a⊗b＝f1a570aed4434add2df60183fa7a2184.png得f(x)＝1⊗2x＝bf89e09efbe0d6831f2f36ce399770f8.png

答案：A

2. 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.

又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．

若x≥0，那么3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．

若x<0，那么3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．

∴f(3x)≥f(2x)．

答案：A

3.解析：由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，因此有k－1<0

答案：C

4. 解析：由题意得：A＝(1,2)，ax－2x>1且a>2，由A⊆B知ax－2x>1在(1,2)上恒成立，即ax－2x－1>0在(1,2)上恒成立，令u(x)＝ax－2x－1，那么u′(x)＝axlna－2xln2>0，因此函数u(x)在(1,2)上单调递增，那么u(x)>u(1)＝a－3，即a≥3.

答案：B

5. 解析：数列{an}知足an＝f(n)(n∈N*)，那么函数f(n)为增函数，

注意a8－6>(3－a)×7－3，因此8946d3a78ae1437d8bddb35383384cc5.png，解得2

答案：C

6. 解析：f(x)<df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png⇔x2－ax<66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png⇔x2－66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png<ax，考查函数y＝ax与y＝x2－66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png的图象，

当a>1时，必有a－1≥66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png，即1<a≤2，

当0<a<1时，必有a≥df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，即df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png≤a<1，

综上，df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png≤a<1或1<a≤2.

答案：C

7. 解析：当a>1时，y＝ax在[1,2]上单调递增，故a2－a＝9f5e9e19156cbddc8a56446b1df1d9dd.png，得a＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png.当0<a<1时，y＝ax在[1,2]上单调递减，故a－a2＝9f5e9e19156cbddc8a56446b1df1d9dd.png，得a＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.故a＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png或003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png.

答案：df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png或003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png

8. 解析：别离作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判定参数的取值范围．

曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如下图，由图象可得：若是|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，那么b应知足的条件是b∈[－1,1]．

答案：[－1,1]

9. 解析：如图知足条件的区间[a，b]，当a＝－1，b＝0或a＝0，b＝1时区间长度最小，最小值为1，当a＝－1，b＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1.

答案：1

10. 解：要使函数成心义，那么只需－x2－3x＋4≥0，即x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1.

∴函数的概念域为{x|－4≤x≤1}．

令t＝－x2－3x＋4，那么t＝－x2－3x＋4＝－(x＋1150311474bc2bd04d631eb254edd20f.png)2＋3189bac7157a4d9844ef2202a24efe7d.png，

∴当－4≤x≤1时，tmax＝509d313aed3b0e37933c160dbe463123.png，现在x＝－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，tmin＝0，现在x＝－4或x＝1.

∴0≤t≤cc55c205c2c6636ef72b7c1ff194c4f9.png.∴0≤f050e9e05bf4aa6847d082d6de00b69e.png≤33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.png.

∴函数y＝

的值域为[2ffde07a9c450d176d37da84369181f9.png，1]．

由t＝－x2－3x＋4＝－(x＋1150311474bc2bd04d631eb254edd20f.png)2＋3189bac7157a4d9844ef2202a24efe7d.png(－4≤x≤1)可知，

当－4≤x≤－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png时，t是增函数，

当－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png≤x≤1时，t是减函数．

依照复合函数的单调性知：

y＝

在[－4，－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png]上是减函数，在[－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，1]上是增函数．

∴函数的单调增区间是[－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，1]，单调减区间是[－4，－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png]．

11. 解：令ax＝t，∴t>0，那么y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，其对称轴为t＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．

①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈[2681188127b696fc7396996ca27867e6.png，a]，故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．

②假设0<a<1，∵x∈[－1,1]，

∴t＝ax∈[a，2681188127b696fc7396996ca27867e6.png]，故当t＝65a34d93d618b92bfc42fa50262bbb01.png，即x＝－1时，

ymax＝(4954e6acfe125f961a331ceb6a90a3fe.png＋1)2－2＝14.

∴a＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png或－126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png(舍去)．

综上可得a＝3或7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

12. 解：法一：(1)由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.

(2)现在g(x)＝λ·2x－4x，

设0≤x1<x2≤1，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

因此g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．

由于2x2＋2x1>20＋20＝2，

因此实数λ的取值范围是λ≤2.

法二：(1)同法一．

(2)现在g(x)＝λ·2x－4x，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

因此有g′(x)＝λln2·2x－ln4·4x＝ln2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．

设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．

因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，

因此实数λ的取值范围是λ≤2.