2019年浙江省高考数学试卷

2019年浙江省高考数学试卷

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则（∁UA）∩B=（ ） A. B. C. 2，

y=0的双曲线的离心率是（ ） 2. 渐进线方程为x±

A.

D. 0，1， D. 2

B. 1 C. 3. 若实数x，y满足约束条件

，则z=3x+2y的最大值是（ ）

A. B. 1 C. 10 D. 12

4. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂

势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底

h是柱体的高．面积，若某柱体的三视图如图所示（单

3

位：cm），则该柱体的体积（单位：cm）是（ ）

A. 158 B. 162 C. 182 D. 324

5. 若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

y=1og（6. 在同一直角坐标系中，函数y= ，（a＞0且a≠1）的图象可能是（ ） ax+）

A.

B.

C.

D.

7. 设0＜a＜1．随机变量X的分布列是

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X P 0 a 1 则当a在（0，1）内增大时，（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大

8. 设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端

点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则（ ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

， ＜ ，9. 设a，b∈R，函数f（x）= y=f（x）-ax-b恰若函数

， ． 有3个零点，则（ ）

A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，n∈N*，则（ ）

A. 当 时， C. 当 时，

二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）

B. 当 时， D. 当 时，

11. 复数z= （i为虚数单位），则|z|=______．

12. 已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r．若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A

（-2，-1），则m=______，r=______．

9

13. 在二项式（ +x）展开式中，常数项是______，系数为有理数的项的个数是______． 14. 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若∠BDC=45°，则

BD=______，cos∠ABD=______． 15. 已知椭圆+=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点

在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是______．

16. 已知a∈R，函数f（x）=ax3-x．若存在t∈R，使得|f（t+2）-f（t）|≤ ，则实数a的最大值是______．

17. 已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1时，

+λ2 +λ3 +λ4 +λ5 +λ6 |的最小值是______，最大值是______． |λ1

三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 设函数f（x）=sinx，x∈R．

（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；

22

（Ⅱ）求函数y=[f（x+ ）]+[f（x+ ）]的值域．

第2页，共20页

19. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，

A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．

（Ⅰ）证明：EF⊥BC；

（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．

*

20. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3．Sn+bn，数列{bn}满足：对每个n∈N，

Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

**

（Ⅱ）记cn= ，n∈N，证明：c1+c2+…+cn＜2 ，n∈N．

21. 如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线

于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2． （Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；

（Ⅱ）求 的最小值及此时点G点坐标．

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22. 已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ ，x＞0．

（Ⅰ）当a=- 时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）对任意x∈[ ，+∞）均有f（x）≤ ，求a的取值范围．

注意：e=2.71828……为自然对数的底数．

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

解：∵∁UA={-1，3}， ∴（∁UA）∩B ={-1，3}∩{-1，0，l} ={-1} 故选：A．

由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果． 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2.【答案】C

【解析】

y=0的双曲线，可得a=b，所以c=解：根据渐进线方程为x±则该双曲线的离心率为e==故选：C．

由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可． 本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 3.【答案】C

【解析】

，

【分析】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】

解：由实数x，y满足约束条件

作出可行域如图，

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联立，解得A（2，2），

化目标函数z=3x+2y为y=-x+z，

由图可知，当直线y=-x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大， z有最大值：10． 故选：C．

4.【答案】B

【解析】

解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即

=27，

6=162． 高为6，则该柱体的体积是V=27×故选：B．

由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．

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充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果. 【解答】

解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，

，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4， ∴2≥

若a=4，b=，则ab=1≤4， 但a+b=4+＞4，

即ab≤4推不出a+b≤4，

∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件 故选A． 6.【答案】D

【解析】

解：由函数y=

，y=1oga（x+），

是递减函数，图象恒过（0，1）点，

当a＞1时，可得y=

函数y=1oga（x+），是递增函数，图象恒过（，0）； 当1＞a＞0时，可得y=

是递增函数，图象恒过（0，1）点，

函数y=1oga（x+），是递减函数，图象恒过（，0）； ∴满足要求的图象为：D 故选：D．

对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；

本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题． 7.【答案】D

【解析】

解：E（X）=0×+a×+1×=D（X）=（=

2

）×+（a-

，

2

）×+（1-2

）×

[（a+1）2+（2a-1）2+（a-2）2]=（a2-a+1）=（a-）2+

∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大 故选：D．

方差公式结合二次函数的单调性可得结果

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本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题． 8.【答案】B

【解析】

解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在

线段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC于F，

过D作DH∥AC，交BG于H， 则α=∠BPF，β=∠PBD，γ=∠PED， 则cosα=tanγ=

＞=

=

＜

=cosβ，可得β＜α；

=tanβ，可得β＜γ，

方法二、由最小值定理可得β＜α，记V-AC-B的平面角为γ'（显然γ'=γ）， 由最大角定理可得β＜γ'=γ；

方法三、（特殊图形法）设三棱锥V-ABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点， 易得cosα=故选：B．

本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，

本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法． 9.【答案】C

【解析】

=，可得sinα=，sinβ==，sinγ==，

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解：当x＜0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b=0，得x=个零点；

3

当x≥0时，y=f（x）-ax-b=x-（a+1）

；y=f（x）-ax-b最多一

x2+ax-ax-b=x3-（a+1）x2-b， y′=x2-（a+1）x，

当a+1≤0，即a≤-1时，y′≥0，y=f（x）-ax-b在[0，+∞）上递增，y=f（x）-ax-b最多一个零点．不合题意；

当a+1＞0，即a＞-1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点⇔函数y=f（x）-ax-b在（-∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如右图： ∴

＜0且

3

，

解得b＜0，1-a＞0，b＞-（a+1）．

3

∴-（a+1）＜b＜0，-1＜a＜1

故选：C．

当x＜0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b最多一个零点；当x≥0时，y=f（x）-ax-b=x3-（a+1）x2+ax-ax-b=x3-（a+1）x2-b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 本题考查了函数与方程的综合运用，属难题． 10.【答案】A

【解析】

解：对于B，令取

，∴

=0，得λ=，

，

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∴当b=时，a10＜10，故B错误； 对于C，令x2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1， 取a1=2，∴a2=2，…，an=2＜10， ∴当b=-2时，a10＜10，故C错误； 对于D，令x2-λ-4=0，得取

，∴

， ，…，

＜10，

∴当b=-4时，a10＜10，故D错误； 对于A，

≥

an+1-an＞0，{an}递增， 当n≥4时，

=an+

＞1+=， ，

，

，

∴，∴

＞（），∴a10＞

6

＞10．故A正确．

故选：A． 对于B，令

=0，得λ=，取

，得到当b=时，a10＜10；对于C，

2

令x-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，取a1=2，得到当b=-2时，a10＜10；对于D，令

x2-λ-4=0，得

，

，取

，=an+

，得到当b=-4时，a10＜10；对于A，

≥

＞1+=，由此推导出

＞（），

6

，当n≥4时，

从而a10＞

＞10．

本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题．

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11.【答案】

【解析】

解：∵z=∴|z|=故答案为：

=

．

．

．

利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模． 本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题． 12.【答案】-2 【解析】

解：如图，

由圆心与切点的连线与切线垂直，得∴圆心为（0，-2），则半径r=故答案为：-2，

．

，解得m=-2．

．

由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得m，再由两点间的距离公式求半径．

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．

13.【答案】16 5

【解析】

解：二项式由r=0，得常数项是

的展开式的通项为

；

=．

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当r=1，3，5，7，9时，系数为有理数， ∴系数为有理数的项的个数是5个． 故答案为：

，5．

写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．

本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．

14.【答案】

【解析】

解：在直角三角形ABC中，AB=4，BC=3，AC=5，sinC=，

在△BCD中，可得

=

，可得BD=

； （cosC+sinC）

-C，sin∠CBD=sin（135°-C）=∠CBD=135°=

×（+）=

，

-∠CBD）=sin∠CBD=即有cos∠ABD=cos（90°故答案为：

，

，

，

解直角三角形ABC，可得sinC，cosC，在三角形BCD中，运用正弦定理可得BD；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值． 本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题． 15.【答案】

【解析】

解：椭圆e=，

=1的a=3，b=，c=2，

设椭圆的右焦点为F'，连接PF'， 线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，

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连接AO，可得|PF'|=2|AO|=4，

设P的坐标为（m，n），可得3-m=4，可得m=-，n=由F（-2，0），可得直线PF的斜率为

=

故答案为：

． ．

，

求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值． 本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 16.【答案】 【解析】

解：存在t∈R，使得|f（t+2）-f（t）|≤，

33

即有|a（t+2）-（t+2）-at+t|≤， 2

化为|2a（3t+6t+4）-2|≤， 2

可得-≤2a（3t+6t+4）-2≤， 2

即≤a（3t+6t+4）≤， 22

由3t+6t+4=3（t+1）+1≥1，

可得0＜a≤，可得a的最大值为． 故答案为：．

332

由题意可得|a（t+2）-（t+2）-at+t|≤，化为|2a（3t+6t+4）-2|≤，去绝对值化简，

结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得a的范围，进而得到所求最大值．

本题考查不等式成立问题解法，注意运用去绝对值和分离参数法，考查化简变形能力，属于基础题．

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17.【答案】0 2 【解析】

解：正方形ABCD的边长为1，可得

-•|λ1=|λ1

， =0， +λ2+λ2

+λ3-λ3

+λ4-λ4

+λ5+λ5

+λ6+λ5

+=，=

| +λ6

-λ6

|

=|（λ1-λ3+λ5-λ6）=

+（λ2-λ4+λ5+λ6）

| ，

1， 由于λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±

可得λ1-λ3+λ5-λ6=0，λ2-λ4+λ5+λ6=0，可取λ5=λ6=1，λ1=λ3=1，λ2=-1，λ4=1， 可得所求最小值为0；

由λ1-λ3+λ5-λ6，λ2-λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2=1，λ4=-1，λ5=λ6=1，λ1=1，λ3=-1，

可得所求最大值为2故答案为：0，2由题意可得+λ3=

由完全平方数的最值，可得所求最值．

本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（1）由f（x）=sinx，得

f（x+ ）=sin（x+ ），

∵f（x+ ）为偶函数，∴ = （k∈Z）， ∵θ∈[0，2π），∴ 或

．

． ++λ5

=+λ6

，|

1，，由于λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±

=

-，

•

=0，化简|λ1

+λ2

+λ4

，

22

（2）y=[f（x+ ）]+[f（x+ ）]

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=sin2（x+ ）+sin2（x+ ） =

=1- =

= ，

∵x∈R，∴ ∈ ， ，

∴ ∈ ， ，

22

∴函数y=[f（x+ ）]+[f（x+ ）]的值域为： ， ．

【解析】

（1）函数f（x+θ）是偶函数，则=（2）化简函数得y=

（k∈Z），根据的范围可得结果； ，然后根据x的范围求值域即可．

本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题． 19.【答案】方法一：

证明：（Ⅰ）连结A1E，∵A1A=A1C，E是AC的中点，

∴A1E⊥AC，

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

∴A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥BC，

∵A1F∥AB，∠ABC=90°，∴BC⊥A1F， ∴BC⊥平面A1EF，∴EF⊥BC．

解：（Ⅱ）取BC中点G，连结EG、GF，则EGFA1是平行四边形， 由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG， ∴平行四边形EGFA1是矩形， 由（Ⅰ）得BC⊥平面EGFA1， 则平面A1BC⊥平面EGFA1，

∴EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上，

连结A1G，交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成角（或其补角）， 不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= ，

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∵O是A1G的中点，故EO=OG=∴cos∠EOG=

=，

=，

∴直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为 ．

方法二：

证明：（Ⅰ）连结A1E，∵A1A=A1C，E是AC的中点， ∴A1E⊥AC，

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC， ∴A1E⊥平面ABC，

如图，以E为原点，EC，EA1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，

0，2 ）BB（FC2，0） 设AC=4，则A（，（ ， ， ），，（ ，， ），（0，，10，1 ， ， ）

=（ ， ， ）， =（- ， ， ），

由 =0，得EF⊥BC．

解：（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成角为θ， 由（Ⅰ）得 =（- ， ， ）， =（0，2，-2 ），

=（x，y，z）， 设平面A1BC的法向量

=（1， ， ）， 则，取x=1，得 =， ∴sinθ=

∴直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为 ． 【解析】

法一：

（Ⅰ）连结A1E，则A1E⊥AC，从而A1E⊥平面ABC，A1E⊥BC，推导出BC⊥A1F，从而BC⊥平面A1EF由此能证明EF⊥BC．

（Ⅱ）取BC中点G，连结EG、GF，则EGFA1是平行四边形，推导出A1E⊥EG，从而平行四边形EGFA1是矩形，推导出BC⊥平面EGFA1，连结A1G，交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成角（或其补角），由此能求出直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 法二：

（Ⅰ）连结A1E，推导出A1E⊥平面ABC，以E为原点，EC，EA1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF与平面A1BC所

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成角的余弦值．

本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算．要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明．求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面．

20.【答案】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，

由题意得 ，

解得a1=0，d=2，

*

∴an=2n-2，n∈N．

2*

∴Sn=n-n，n∈N，

*

∵数列{bn}满足：对每个n∈N，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列．

2

∴（Sn+1+bn）=（Sn+bn）（Sn+2+bn），

， 解得

2*

解得bn=n+n，n∈N．

*

= = 证明：（Ⅱ） ，n∈N，

用数学归纳法证明：

①当n=1时，c1=0＜2，不等式成立；

②假设n=k，（k∈N*）时不等式成立，即c1+c2+…+ck＜2 ， 则当n=k+1时， c1+c2+…+ck+ck+1＜2 +

＜2

＜2 + =2 =2 ， 即n=k+1时，不等式也成立． *

由①②得c1+c2+…+cn＜2 ，n∈N． 【解析】

（Ⅰ）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出a1=0，d=2，从

*2*2

而an=2n-2，n∈N．Sn=n-n，n∈N，利用（Sn+1+bn）=（Sn+bn）（Sn+2+bn），能求

出bn． （Ⅱ）

=

=

*

，n∈N．

*

，n∈N，用数学归纳法证明，得到

c1+c2+…+cn＜2

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本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力．

21.【答案】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得： =1，

∴p=2，

∴抛物线的准线方程为x=-1；

（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG）， 令yA=2t，t≠0，则 ，

由于直线AB过F，故直线AB的方程为x=

2

代入y=4x，得：

，

，

∴2tyB=-4，即yB=- ，∴B（ ，- ），

又xG= （xA+xB+xC），yG= （yA+yB+yC），重心在x轴上， ∴ =0，

∴C（（ ），2（ ）），G（

2

，0），

22

∴直线AC的方程为y-2t=2t（x-t），得Q（t-1，0），

2

∵Q在焦点F的右侧，∴t＞2，

∴ =

=

=

=2-

，

2

令m=t-2，则m＞0，

=2- =2- ≥2- =1+ ，

∴当m= 时， 取得最小值为1+ ，此时G（2，0）．

【解析】

（Ⅰ）由抛物线的性质可得：=1，由此能求出抛物线的准线方程；

（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG），令yA=2t，t≠0，则

，从而直线AB的方程为x=

，求出B（

从而C（（

2

），2（

2

，代入y=4x，得：

，-），由重心在x轴上，得到

，0），进崦直线AC的方程为

=0，

）），G（

y-2t=2t（x-t2），得Q（t2-1，0），由此结合已知条件能求出结果．

本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小

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值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22.【答案】解：（1）当a=- 时，f（x）=- ，x＞0，

f′（x）=-

= ，

∴函数f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．

（2）由f（x）≤ ，得0＜a≤ ，

当0＜a≤ 时，f（x）≤ ，等价于 -

-2lnx≥0，

令t= ，则t ，

2

设g（t）=t -2t -2lnx，t ，

2

则g（t）= （t- ）- -2lnx，

（i）当x∈[ ，+∞）时， ，

则g（x）≥g（2 ）= ， 记p（x）=4 -2 -lnx，x ， 则p′（x）==

-=

，

列表讨论： x p′（x） P（x） （ ， ） - 1 0 （1，+∞） + p（） ↓ 极小值p（1） ↑ ∴p（x）≥p（1）=0， ∴g（t）≥g（2 =2p（x）≥0．

（ii）当x∈[ ， ）时，g（t）≥g（ ）=

，

令q（x）=2 lnx+（x+1），x∈[ ， ]， 则q′（x）=

+1＞0，

故q（x）在[ ， ]上单调递增，∴q（x）≤q（ ），

由（i）得q（ ）=- p（ ）＜- p（1）=0，

∴q（x）＜0，∴g（t）≥g（ ）=- ＞0，

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由（i）（ii）知对任意x∈[ ，+∞），t∈[2 ，+∞），g（t）≥0，

即对任意x∈[ ，+∞），均有f（x）≤ ，

综上所述，所求的a的取值范围是（0， ]．

【解析】

（1）当a=-时，f′（x）=-质能求出函数f（x）的单调区间． （2）由f（x）≤

，得0＜a≤

，当0＜a≤

时，f（x）≤

-2t

，等价于

-2lnx，t

-，

=

，利用导数性

-2lnx≥0，令t=，则t

则g（t）=

（t-2）-

2

，设g（t）=t

-2lnx，由此利用分类讨论思想和导导数性质能

求出a的取值范围．

本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力．

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