2021-2022学年安徽省合肥市庐江县九年级(上)期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分。请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内）

1．（4分）关于x的方程(a1)x23x20是一元二次方程，则( ) A．a0

B．a0

C．a1

D．a1

2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是( ) A．购买一张彩票，中奖

B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇 C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．实心铅球投入水中，下沉

3．（4分）已知关于x的一元二次方程x25xm0的一个根是2，则另一个根是( ) A．7

B．7

C．3

D．3

4．（4分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是( )

A． B．

C． D．

5．（4分）在平面直角坐标系中，若将抛物线yx22x1先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( ) A．(2,2)

B．(4,2)

C．(2,2)

D．(4,2)

6．（4分）如图，O的半径为5，弦AB6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是( )

A．3.1

B．4.2

C．5.3

D．6.4

7．（4分）函数yax1与yax2bx1(a0)的图象可能是( )

A． B．

C． D．

8．（4分）如图，在ABC中，BAC65，C20，将ABC绕点A逆时针旋转n度(0n180)得到ADE，若DE//AB，则n的值为( )

A．65

B．75

C．85

D．130

9．（4分）O半径为4，以O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是( ) A．2 B．3 C．22 D．23 10．（4分）如图①，在ABCD中，动点P从点B出发，沿折线BCDB运动，设点P经过的路程为x，ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于( )

A．315

B．46 C．14

D．18

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）若点A(2x1,5)和点B(3,y3)关于原点对称，则xy的值为 ．

12．（5分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是 ．

13．（5分）如图，四边形ABCD内接于O，AD//BC，BD平分ABC，A126，则BDC的度数为 ．

14．（5分）如图，在RtABC中，C90，AC6，B30，点F在边AC上，并且CF2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边

AB距离的最小值是 ．

三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）解方程：x22x30．

16．（8分）如图，矩形ABCD中，BC4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形ABCD．当点B恰好落在边AD上时，旋转角为，连接BB．若ABB75，求旋转

角及AB的长．

四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．

18．（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中ABAC，ADBC．将

扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角BAC的大小．

（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留)

五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B(4,4)，C(2,1)． （1）把ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把ABC绕原点O旋转180后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点( ， )中心对称．

20．（10分）已知一抛物线的顶点为(2,4)，图象过点(1,3)． （1）求抛物线的解析式；

（2）动点P(x,5)能否在抛物线上？请说明理由；

（3）若点A(a,y1)，B(b,y2)都在抛物线上，且ab0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 六、（本题满分12分）

21．（12分）为了科学精准地做好校园常态化疫情防控工作，某校通过新生培训、主题班会、专题教育、知识竞赛等方式，指导学生科学防疫．在该校九年级疫情防控知识竞赛中，若干名参赛选手的成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将竞赛成绩绘制如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； （2）请将条形统计图补充完整；

（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加县级知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．

七、（本题满分12分）

22．（12分）如图，在ABC中，ACB90，ACBC，O点在ABC内部，O经过B、C两点且交AB于点D，连接CO并延长交线段AB于点G，以GD、GC为邻边作平行四

边形GDEC．

（1）求证：直线DE是O的切线； （2）若DE7，CE5，求O的半径．

八、（本题满分14分）

23．（14分）某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 销售量y（千克） 50 40 30 20 25 30 35 40 商品B的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品A，免费送1千克的商品B．

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）设这两种商品的每天销售总利润为w元，求出w（元)与x的函数关系式；

（3）若商品A的售价不低于成本，不高于成本的180%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润两种商品的销售总额两种商品的成本）

参与解析

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分。请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内）

1．（4分）关于x的方程(a1)x23x20是一元二次方程，则( ) A．a0

B．a0

C．a1

D．a1

【分析】根据“关于x的方程(a1)x23x20是一元二次方程”，得到二次项系数a10，解之即可．

【解答】解：关于x的方程(a1)x23x20是一元二次方程， a10， a1，

故选：C．

2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是( ) A．购买一张彩票，中奖

B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇 C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．实心铅球投入水中，下沉

【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点判断即可．

【解答】解：A．购买一张彩票，中奖，这是随机事件，故A不符合题意；

B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇，这是不可能事件，故B不符合题意；

C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中，这是随机事件，故C不符合题意；

D．实心铅球投入水中，下沉，这是必然事件，故D符合题意；

故选：D．

3．（4分）已知关于x的一元二次方程x25xm0的一个根是2，则另一个根是( ) A．7

B．7

C．3

D．3

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设另一个根为x，则 x25，

解得x7．

故选：A．

4．（4分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是( )

A． B．

C． D．

【分析】一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；

选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形； 故选：B．

5．（4分）在平面直角坐标系中，若将抛物线yx22x1先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( ) A．(2,2)

B．(4,2)

C．(2,2)

D．(4,2)

【分析】根据：抛物线yx22x1(x1)2的顶点坐标为(1,0)，即可求得平移后的抛物线的顶点坐标．

【解答】解：抛物线yx22x1

(x1)2

所以抛物线的顶点坐标为(1,0)，

先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，

则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是(4,2)． 故选：B．

6．（4分）如图，O的半径为5，弦AB6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是( )

A．3.1

B．4.2

C．5.3

D．6.4

【分析】过O点作OHAB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AHBH3，再利用勾股定理计算出OH4，从而得到OP的范围为4OP5，然后对各选项进行判断． 【解答】解：过O点作OHAB于H，连接OA，如图，则AHBH在RtOAH中，OHOA2?AH252?324， 所以OP的范围为4OP5． 故选：B．

1AB3， 2

7．（4分）函数yax1与yax2bx1(a0)的图象可能是( )

A． B．

C． D．

【分析】根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于(0,1)，逐一排除；

【解答】解：当a0时，函数yax2bx1(a0)的图象开口向上，函数yax1的图象

应在一、二、三象限，故可排除D；

当a0时，函数yax2bx1(a0)的图象开口向下，函数yax1的图象应在一二四象限，故可排除B；

当x0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于(0,1)，可排除A． 正确的只有C． 故选：C．

8．（4分）如图，在ABC中，BAC65，C20，将ABC绕点A逆时针旋转n度(0n180)得到ADE，若DE//AB，则n的值为( )

A．65

B．75

C．85

D．130

【分析】根据三角形内角和定理求出ABC，根据旋转得出EDAABC95，根据平行四边形的性质求出DAB即可．

【解答】解：在ABC中，BAC65，C20， ABC180BACC180652095，

将ABC绕点A逆时针旋转n角度(0n180)得到ADE， ADEABC95， DE//AB，

ADEDAB180， DAB180ADE85，

旋转角n的度数是85，

故选：C．

9．（4分）O半径为4，以O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是( ) A．2 B．3 C．22 D．23 【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构建的

三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积．

【解答】解：如图1，ABC为O的内接正三角形，作OMBC于M，连接OB， 1OBCABC30，

21OMOB2；

2如图2，四边形ABCD为O的内接正方形，作ONDC于N，连接OD， 1ODCADC45，

2ONDN2OD22； 2如图3，六边形ABCDEF为O的内接正六边形，作OHDE于H，连接OE， 1OEDFED60，

21EHOE2，OH3EH23，

2半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，22，23，

22(22)2(23)2，

以三条边心距所作的三角形为直角三角形， 该三角形的面积122222． 2故选：C．

10．（4分）如图①，在ABCD中，动点P从点B出发，沿折线BCDB运动，设点P经过的路程为x，ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于( )

A．315

B．46 C．14

D．18

【分析】由图②知，BC6，CD1468，BD18144，再通过解直角三角形，求出CBD高，进而求解．

【解答】解：由图②知，BC6，CD1468，BD18144， 过点B作BHDC于点H，

设CHx，则DH8x，

则BH2BC2CH2BD2DH2，即：BH242(8x)262x2， 解得：BH315， 411315则aySABPDCHB8315，

224故选：A．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）若点A(2x1,5)和点B(3,y3)关于原点对称，则xy的值为 1 ．

【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出x，y的值，进而得出答案．

【解答】解：点A(2x1,5)和点B(3,y3)关于原点对称， 2x130，y350，

解得：x1，y8， 则xy(1)81． 故答案为：1．

12．（5分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是

2 ． 3

【分析】由摘取的顺序有ACB，CAB，CBA三种等可能的结果，即可求解． 【解答】解：由摘取的顺序有ACB，CAB，CBA三种等可能的结果，

最后一只摘到B的概率是2， 3故答案为：

2． 313．（5分）如图，四边形ABCD内接于O，AD//BC，BD平分ABC，A126，则BDC的度数为 99 ．

【分析】根据圆内接四边形的性质得出C的度数，进而利用平行线的性质得出ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可． 【解答】解：四边形ABCD内接于O，A126， C180130， AD//BC，

ABC180A，

BD平分ABC，

DBC27，

BDC1802799，

故答案为：99．

14．（5分）如图，在RtABC中，C90，AC6，B30，点F在边AC上，并且CF2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边

AB距离的最小值是 232 ．

【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PFFC，故此点P在以以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FPAB时，点P到AB的距离最短，F为圆心，

然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：以F为圆心，CF为半径作

F，过点F作FHAB于点H交

F于点G，

则点P到AB的距离的最小值FHFPFHFG． 由翻折的性质可知，PFCF2，

点P在

F上，

AC6，BC63，

AB12，

由AHF∽ACB， AFFH， ABBC4FH， 1263

FH23，

点P到AB的距离的最小值FHFG232．

故答案为：232．

三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）解方程：x22x30．

【分析】观察方程x22x30，可因式分解法求得方程的解． 【解答】解：x22x30 (x3)(x1)0

x11，x23．

16．（8分）如图，矩形ABCD中，BC4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形ABCD．当点B恰好落在边AD上时，旋转角为，连接BB．若ABB75，求旋转

角及AB的长．

【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质得出CBBCBB75，由三角形内角和定理得出BCB30，即旋转角为30；作BEBC于E，由含30角的直角三角形的性质即可得出答案．

【解答】解：四边形ABCD是矩形， AD//BC，

CBBABB75，

由旋转的性质得：CBCB， CBBCBB75， BCB180757530，

即旋转角为30；

作BEBC于E，如图所示：

1则ABBECB2．

2四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．

【分析】根据增长后的产量增长前的产量(1增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．

【解答】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x． 根据题意，得10(12x)2000(1x)60000． 解得：x10.5，x22（不合题意，舍去）． 答：南瓜亩产量的增长率为50%．

18．（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中ABAC，ADBC．将

扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角BAC的大小．

（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留)

【分析】（1）设BACn．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论． （2）根据S阴1BCADS扇形AEF求解即可． 2【解答】解：（1）设BACn． 由题意得DEn90， BAC90．

nAD，AD2DE， 180 （2）

AD2DE10(cm)，

1190102S阴BCADS扇形AEF102010025cm2．

22360五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B(4,4)，C(2,1)．

（1）把ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把ABC绕原点O旋转180后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点( 2 ， )中心对称．

【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据ABC绕原点O旋转180，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点(2,0)中心对称． 故答案为：2，0．

20．（10分）已知一抛物线的顶点为(2,4)，图象过点(1,3)． （1）求抛物线的解析式；

（2）动点P(x,5)能否在抛物线上？请说明理由；

（3）若点A(a,y1)，B(b,y2)都在抛物线上，且ab0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 【分析】（1）设抛物线顶点式，将(1,3)代入解析式求解． （2）根据函数最大值为4可判断点P不在图象上．

（3）根据二次函数开口向下可得x0时，y随x增大而增大，进而求解． 【解答】解：抛物线顶点为(2,4)，

设ya(x2)24，

将(1,3)代入ya(x2)24得3a4， 解得a1，

y(x2)24． （2）不能，理由如下：

y(x2)244，

点P(x,5)不能在抛物线上．

（3）抛物线开口向下，对称轴为直线x2， x0时，y随x增大而增大，

ab0， y1y2．

六、（本题满分12分）

21．（12分）为了科学精准地做好校园常态化疫情防控工作，某校通过新生培训、主题班会、专题教育、知识竞赛等方式，指导学生科学防疫．在该校九年级疫情防控知识竞赛中，若干名参赛选手的成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将竞赛成绩绘制如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）该校九年级共有 500 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； （2）请将条形统计图补充完整；

（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加县级知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．

【分析】（1）由A等级的人数除以所占百分比求出该校九年级共有的学生，即可解决问题； （2）求出B等级的人数，将条形统计图补充完整即可；

（3）画树状图，两个数字之和为奇数的结果有8种，两个数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，比较大小即可． 【解答】解：（1）该校九年级共有学生：15030%500（名)， 则“D”等级所占圆心角的度数为360故答案为：500，36；

（2）B等级的人数为：50015010050200（名)， 将条形统计图补充完整如下：

5036， 500

（3）选取规则不合理，理由如下： 画树状图如下：

共有12种等可能的结果，两个数字之和为奇数的结果有8种，两个数字之和为偶数的结果有4种，

选甲乙的概率为

8241，选丙丁的概率为， 12312321， 33此规则不合理．

七、（本题满分12分）

22．（12分）如图，在ABC中，ACB90，ACBC，O点在ABC内部，O经过B、C两点且交AB于点D，连接CO并延长交线段AB于点G，以GD、GC为邻边作平行四

边形GDEC．

（1）求证：直线DE是O的切线； （2）若DE7，CE5，求O的半径．

【分析】（1）连接OD，根据题意和平行四边形的性质可得DE//CG，可得ODDE，即可求解；

（2）设O的半径为r，因为GOD90，根据勾股定理可求解r，当r2时，OG5，此时点G在O外，不合题意，舍去，可求解． 【解答】（1）证明：连接OD，

ACB90，ACBC， ABC45，

COD2ABC90，

四边形GDEC是平行四边形， DE//CG，

ODECOD180， ODE90，即ODDE， OD是半径，

直线DE是

O的切线；

（2）解：设O的半径为r， 四边形GDEC是平行四边形， CGDE7，DGCE5， GOD90，

OD2OG2DG2，即r2(7r)252，

解得：r12，r25，

当r2时，OG52，此时点G在O外，不合题意，舍去， r5，即O的半径为5．

八、（本题满分14分）

23．（14分）某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 销售量y（千克） 50 40 30 20 25 30 35 40 商品B的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品A，免费送1千克的商品B．

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）设这两种商品的每天销售总利润为w元，求出w（元)与x的函数关系式；

（3）若商品A的售价不低于成本，不高于成本的180%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润两种商品的销售总额两种商品的成本）

【分析】（1）利用待定系数法可求出一次函数的解析式；

（2）利用每件的利润销售量免费送的成本总利润，即可求出w（元)与x的函数关系式；

（3）先根据已知求出x的取值范围，再将（2）的解析式化为配方式，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为ykxb(k0)，将表中数据(30,40)、(40,20)代入得： 30kb40， 40kb20k2解得：，

b100y与x之间的函数表达式为y2x100；

（2）由y60，得x20， 由y0，得x50，

20x50．

w(x20)(2x100)6(2x100)(106)[60(2x100)]

2x2160x2760(20x50)； （3）20180%36， 由题意知20x36，

w2x2160x27602(x40)2440， 20，

x40时，w随x的增大而增大，

x36时，w的最大值2(3640)2440408，

答：当销售单价定为36元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是408元．