等差数列练习题(有答案)

一、等差数列选择题

1．设等差数列an的前n项和为Sn，且2a7a114，则S5（ ） A．15

B．20

C．25

D．30

2．等差数列an中，a22，公差d2，则S10=（ ） A．200

B．100

C．90

D．80

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an22an1an，a54a3，则S7（ ） A．7 4．定义

B．12

C．14

D．21

np1p2pn为n个正数p1,p2,,pn的“均倒数”，若已知数列an的前

1（ ） b9b10D．

n项的“均倒数”为

A．

11a1，又bnn，则bbbb22n1223B．

8 1710 21C．

11 239 195．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ） A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列

B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列

6．等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，若A．

anS212n，则的值为（ ）

T21bn3n1D．

13 15B．

23 35C．

11 174 97．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a12，S315，则a8（ ） A．11

B．12

C．23

D．24

a1a2a98．已知数列an是公差不为零的等差数列，且a1a10a9，则

a10（ ） A．

27 8B．

5 2C．3 D．4

29．已知各项不为0的等差数列an满足a6a7a80，数列bn是等比数列，且

b7a7，则b3b8b10（ )

A．1

B．8

C．4

D．2

10．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A．

4 7B．

16 29C．

8 15D．

4 511．已知等差数列{an}，且3a3a52a7a10a1348，则数列{an}的前13项之和为（ ） A．24

B．39

C．104

D．52 S9（ ） a912．设等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S45a2，则A．9

B．5

C．1

D．

5 913．在等差数列{an}的中，若a11,a35，则a5等于（ ） A．25

B．11

C．10

D．9

14．设等差数列an的前n和为Sn，若ama1am1m1,mNA．Sm0且Sm10 C．Sm0且Sm10

B．Sm0且Sm10 D．Sm0且Sm10

*，则必有（ ）

15．设等差数列an的前n项和为Sn，若a7a1a8，则必定有（ ） A．S70，且S80 C．S70，且S80

16．已知数列an的前n项和SnnA．an2n

2B．S70，且S80 D．S70，且S80

nN，则a的通项公式为（ ）

*nB．an2n1 C．an3n2

1,n1D．an

2n,n2D．4038

17．在等差数列an中，a5a20164，S，是数列an的前n项和，则S2020=（ ） A．2019

B．4040

C．2020

33318．已知数列an中，a11，a22，对nN*都有2an1an2an，则a10等于

（ ） A．10

B．310 C．

D．4

19．已知正项数列{an}满足a11，11114，数列{bn}满足an1anan1an111，记{bn}的前n项和为Tn，则T20的值为（ ） bnan1anA．1

B．2

C．3

D．4

20．设等差数列an的前n项和为Sn，若a2a9a38，则S15（ ） A．60

B．120

C．160

D．240

二、多选题

*21．设数列{an}的前n项和为Sn(nN)，关于数列{an}，下列四个命题中正确的是

（ ）

A．若an1an(nN*)，则{an}既是等差数列又是等比数列

2B．若SnAnBn(A，B为常数，nN*)，则{an}是等差数列

C．若Sn11，则{an}是等比数列

*D．若{an}是等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)也成等差数列22．题目文

n件丢失！

23．已知数列an的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A．an0,n为奇数

2,n为偶数n 2B．an(1)n11 D．ancos(n1)1

C．an2sin12a,0ann3224．若数列an满足an1，a1，则数列an中的项的值可能为

52a1,1a1nn2（ ） A．

1 5B．

2 5C．

4 5D．

6 525．首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn，则下列4个命题中正确的有（ ）

A．若S100，则a50，a60；

B．若S4S12，则使Sn0的最大的n为15； C．若S150，S160，则Sn中S7最大； D．若S8S9，则S7S8.

26．无穷等差数列an的前n项和为Sn，若a1＞0，d＜0，则下列结论正确的是（ ） A．数列an单调递减 C．数列Sn单调递减

B．数列an有最大值 D．数列Sn有最大值

27．(多选题)等差数列an的前n项和为Sn，若a10，公差d0，则下列命题正确的是（ ）

A．若S5S9，则必有S14=0

B．若S5S9，则必有S7是Sn中最大的项 C．若S6S7，则必有S7S8 D．若S6S7，则必有S5S6

28．在下列四个式子确定数列an是等差数列的条件是（ ）

A．anknb（k，b为常数，nN*）； B．an2and（d为常数，

nN*）；

C．an22an1an0nN； （nN*）.

29．已知数列an是递增的等差数列，a5a105，

*2D．an的前n项和Snnn1a6a914．bnanan1an2，数列bn的前n项和为Tn，下列结论正确的是（ ）

A．an3n20

C．当n4时，Tn取最小值

B．an3n25

D．当n6时，Tn取最小值

30．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17S18，则下列各式的值为0的是（ ） A．a17

B．S35

C．a17a19

D．S19S16

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

设出数列an的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到a12d4，然后代入求和公式即可求解 【详解】

设等差数列an的公差为d，则由已知可得2a16da110da12d4， 所以S55a1故选：B 2．C 【分析】

先求得a1，然后求得S10. 【详解】

依题意a1a2d0，所以S1010a145d45290. 故选：C 3．C 【分析】

54d5a12d5420 2判断出an是等差数列，然后结合等差数列的性质求得S7. 【详解】

∵an22an1an，∴an2an1an1an，∴数列{an}为等差数列. ∵a54a3，∴a3a54，∴S7故选：C 4．D 【分析】

由题意结合新定义的概念求得数列的前n项和，然后利用前n项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】

设数列an的前n项和为Sn，由题意可得：当n1时，a1S12，

当n2时，anSnSn14n2， 且a14122，据此可得 an4n2， 故bn7(a1a7)7(a3a5)14. 22n12，则：Sn2n， Sn2n11111an2n1，， bb2n12n122n12n12nn11b9b1011 1719据此有：

11b1b2b2b311111233511.21919故选：D 5．D 【分析】

根据等差数列的性质，可判定A、B正确；当首项与公差均为0时，可判定C正确；当首项为1与公差1时，可判定D错误. 【详解】

由题意，数列an为等差数列，Sn为前n项和，

根据等差数列的性质，可得而S5,S10S5,S15S10，和S2,S4S2,S6S4构成等差数列，所以，所以A，B正确；

当首项与公差均为0时，S5,S10,S15S10是等差数列，所以C正确；

当首项为1与公差1时，此时S22,S4S231,S6S1086，此时S2,S4S2,S6S4不构成等差数列，所以D错误. 故选：D. 6．C 【分析】

利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】

S2121(a1a21)21(b1b21)a1a21a1111211＝＝＝＝＝.

b1b21T21b1131111722故选C 7．C 【分析】

由题设求得等差数列{an}的公差d，即可求得结果. 【详解】

S3153a2，a25， a12，公差da2a13， a8a17d27323，

故选：C. 8．A 【分析】

根据数列an是等差数列，且a1a10a9，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】

因为a1a10a9， 所以2a19da18d， 即a1d， 所以

a1a2a99a59a14d27d27.

a10a10a19d8d8故选：A 9．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出a72，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

2因为各项不为0的等差数列an满足a6a7a80，

2所以2a7a70，解得a72或a70（舍）；

又数列bn是等比数列，且b7a72，

3所以b3b8b10b3b7b11b78.

故选：B. 10．D 【分析】

设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式即可求出结果 【详解】

设该妇子织布每天增加d尺， 由题意知S20204解得d

4． 5

2019d232， 2故该女子织布每天增加故选：D 11．D 【分析】

4尺． 5根据等差数列的性质计算求解． 【详解】

由题意3a3a52a7a10a1332a423a106(a4a10)12a748，

a74，∴S13故选：D． 12．B 【分析】

13(a1a13)13a713452． 2由已知条件，结合等差数列通项公式得a1d，即可求【详解】

S9. a9S4a1a2a3a45a2，即有a1a3a44a2，得a1d，

∴S9∴

9(a1a9)45d，a99d，且d0， 2S9

5. a9

故选：B 13．D 【分析】

利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为a11,a35，故选：D． 14．D

2a3a1a5a59，

【分析】

由等差数列前n项和公式即可得解. 【详解】

由题意，a1am0,a1am10， 所以Sm故选：D. 15．A 【分析】

根据已知条件，结合等差数列前n项和公式，即可容易判断. 【详解】

依题意，有a1a70，a1a80 则S7m(a1am)(m1)(a1am1)0，Sm10. 22a1a770

22S8a1a884a1a80

故选：A. 16．B 【分析】

利用anSnSn1求出n2时an的表达式，然后验证a1的值是否适合，最后写出an的式子即可. 【详解】

Snn2，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，

当n1时，a1S11，上式也成立，

an2n1nN*，

故选：B. 【点睛】

易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即

S,n1an1，算出之后一定要判断n1时对应的式子是否成立，最后求得结

SS,n2n1n果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 17．B 【分析】

由等差数列的性质可得a5a2016a1a20204，则

a1a202020201010a5a2016可得答案. 2【详解】 S2020等差数列an中, a5a2016a1a20204

S2020a1a202020201010a5a2016410104040 2故选：B 18．D 【分析】

33利用等差中项法可知，数列an为等差数列，根据a11，a22可求得数列an的公

差，可求得a10的值，进而可求得a10的值. 【详解】

对nN*都有2an1an2an，由等差中项法可知，数列an为等差数列，

333由于a11，a22，则数列an的公差为da2a17，

33333所以，a10a19d197，因此，a10故选：D. 19．B 【分析】 由题意可得

334.

1an12114，运用等差数列的通项公式可得24n3，求得2anan1bn(4n14n3)，然后利用裂项相消求和法可求得结果

4【详解】

1111114， a14解：由1，，得22aan1nan1anan1an1所以数列2是以4为公差，以1为首项的等差数列，

an1所以214(n1)4n3，

an因为an0，所以an1， 4n31114n14n3， 所以

bnan1an所以bn11(4n14n3)，

4n14n34所以T20b1b2b20

11(5135133977)(91)2， 44故选：B 【点睛】

关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n项和，解题的关键是由已知条件得

1an12an114，从而数列2是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求an2an111(4n14n3)，然后利用裂项相消法，bn4n34n14n34可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．B 【分析】

根据等差数列的性质可知a2a9a3a8，结合题意，可得出a88，最后根据等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，得出S15【详解】

解：由题可知，a2a9a38，

由等差数列的性质可知a2a9a3a8，则a88，

15a1a15215a8，从而可得出结果.

15a1a15152a815a8158120. 22故选：B.

故S15二、多选题

21．BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: an1an(nN*),an1an0得{an}是等差数列，当an0时不是等比数列，故错; 选项B:

SnAn2Bn,anan12A,得{an}是等差数列，故对;

n选项C: Sn11,SnSn1an2(1)n1(n2),当n1时也成立，

an2(1)n1是等比数列，故对;

*选项D: {an}是等差数列，由等差数列性质得Sn，S2nSn，S3nS2n(nN)是等差数

列，故对; 故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n项和公式是解题关键.

22．无

23．BD 【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列an的前4项为2，0，2，0， 选项A：不符合题设；

选项B：a1(1)12,a2(1)10,

01a3(1)212,a4(1)310，符合题设；

选项C：，a12sin22,a22sin0,

a32sin32不符合题设； 2选项D：a1cos012,a2cos10,

a3cos212,a4cos310，符合题设.

故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 24．ABC 【分析】

利用数列an满足的递推关系及a13，依次取n1,2,3,4代入计算a2,a3,a4,a5，能得5到数列an是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

12a,0ann32数列an满足an1，a1，依次取n1,2,3,4,...代入计算得，

52a1,1a1nn2a22a111243，a32a2，a42a3，a52a41a1，因此继续下去会5555循环，数列an是周期为4的周期数列，所有可能取值为：,故选：ABC. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 25．ABD 【分析】

1234,,. 5555利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】

对于A：因为正数，公差不为0，且S100，所以公差d0， 所以S1010(a1a10)0，即a1a100， 2根据等差数列的性质可得a5a6a1a100，又d0， 所以a50，a60，故A正确； 对于B：因为S4S12，则S12S40，

所以a5a6a11a124(a8a9)0，又a10， 所以a80,a90， 所以S1515(a1a15)152a816(a1a16)16(a8a9)15a80，S160， 222215(a1a15)152a815a80，则a80， 22所以使Sn0的最大的n为15，故B正确； 对于C：因为S15S1616(a1a16)16(a8a9)0，则a8a90，即a90， 22所以则Sn中S8最大，故C错误；

对于D：因为S8S9，则a9S9S80，又a10， 所以a8S8S70，即S8S7，故D正确， 故选：ABD 【点睛】

解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 26．ABD 【分析】

由an1and0可判断AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列an先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得an1and0，所以数列an单调递减，A正确； 由数列an单调递减，可知数列an有最大值a1，故B正确；

由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列an先正后负，所以数列Sn先增再减，有最大值，C不正确，D正确. 故选：ABD. 27．ABC

【分析】

根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】

解：对于A.，若S5S9，则a6a7a8a90，所以a7a8a1a140，所以

14a1a14S140，故A选项正确；

2对于B选项，若S5S9，则a7a80，由于a10，公差d0，故d0，故

a70,a80，所以S7是Sn中最大的项；故B选项正确；

C. 若S6S7，则a70，由于a10，公差d0，故d0，故a80，a6的符号不定，故必有S7S8，S5S6无法确定；故C正确，D错误． 故选：ABC． 【点睛】

本题考查数列的前n项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题． 28．AC 【分析】

直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】

A选项中anknb（k，b为常数，nN*），数列an的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，

B选项中an2and（d为常数，nN*），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；

C选项中an22an1an0nN，对于数列an符合等差中项的形式，所以是等差

*数列，故正确；

22D选项an的前n项和Snnn1（nN*），不符合SnAnBn，所以an不

为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】

本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 29．AC 【分析】

由已知求出数列{an}的首项与公差，得到通项公式判断A与B；再求出Tn，由{bn}的项分析Tn的最小值． 【详解】

解：在递增的等差数列{an}中，

由a5a105，得a6a95，

又a6a914，联立解得a62，a97， 则da9a67(2)3，a1a65d25317． 963an173(n1)3n20．

故A正确，B错误；

bnanan1an2(3n20)(3n17)(3n14)

可得数列{bn}的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而b5b610820．

当n4时，Tn取最小值，故C正确，D错误．

故选：AC． 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题． 30．BD 【分析】 由S17S18得a180，利用a17a18dd0可知A不正确；；根据S3535a18可

知 B正确；根据a17a192d0可知C不正确；根据S19S163a180可知D正确. 【详解】

因为S17S18，所以S18S170，所以a180，

因为公差d0，所以a17a18dd0，故A不正确；

S3535(a1a35)352a1835a180，故B正确； 22a17a192d0，故C不正确；

S19S16a17a18a193a180，故D正确.

故选：BD. 【点睛】

本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.