2019学年高中物理第六章万有引力与航天第6节习题课天体运动学案新人教版必修2

[学考报告]

考试要求 知识内容 天体运动 学考 c 1.掌握解决天体运动问题的思路和方法 基本要求 2.理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别 3.会分析卫星(或飞船)的变轨问题 发展要求 掌握双星的运动特点及其问题的分析

选考 c [基 础 梳 理]

1.一种模型

无论自然天体(如地球)还是人造天体(如宇宙飞船)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 2.两条思路

(1)在中心天体表面或附近时，万有引力近似等于重力，即G2＝mg(g表示天体表面的重力加速度)，此式两个用途：①GM＝gR，称为黄金代换法；②求g＝2，从而把万有引力定律与运动学公式相结合解题。

2

Mmv24π2

(2)天体运动的向心力来源于中心天体的万有引力，即G2＝m＝mrω＝m2r＝man。

rrT2

MmRGMR [典 例 精 析]

【例1】 地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则( ) A.卫星速度为

R0g2

B.卫星的角速度为D.卫星周期为2π

g 8R0

2R0

C.卫星的加速度为 2

gg

1

2

GMmv24π22

解析 由＝mω(2R0)＝m2(2R0)及GM＝gR0，可得卫星的向心加速度an2＝man＝m（2R0）2R0T＝，角速度ω＝4确。 答案 B

gg2R0g，线速度v＝，周期T＝2π8R02

8R0

g，所以A、C、D错误，B正

[基 础 梳 理]

1.三个物体

求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间的关系。

比较内容 向心力来源 向心力方向 重力与万有引力的重力略小于万有引力 关系 重力等于万有引力 赤道表面的物体 万有引力的分力 指向地心 近地卫星 同步卫星 万有引力 v1＝ω1R 线速度 v2＝GM Rv3＝ω3(R＋h) ＝GM R＋hv1“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。

2

[典 例 精 析]

【例2】 如图1所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为

a1、a2、a3，则( )

图1

A.v1>v2>v3 C.a1>a2>a3

解析 卫星的速度v＝

B.v1GM，可见卫星距离地心越远，即r越大，则速度越小，所以v3v1＝ωr1，选项

A、B均错误；由G2＝ma，得a＝2，同步卫星q的轨道半径大于近地资源卫星p的轨道半径，可知q的向心加速度a32

MmrGMra1答案 D

[基 础 梳 理]

Mmv2

1.当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，满足G2＝m。

rr2.当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。

3

Mmv2

(1)当卫星的速度突然增加时，G2rrMmv2

(2)当卫星的速度突然减小时，G2>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运

rr动，卫星的发射和回收就是利用这一原理。

3.卫星到达椭圆轨道与圆轨道的公切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同。 4.飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接。

[典 例 精 析]

【例3】 2013年5月2日凌晨0时06分，我国“中星11号”通信卫星发射成功。“中星11号”是一颗地球同步卫星，它主要用于为亚太地区等区域用户提供商业通信服务。如图2为发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )

图2

A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C.卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度 D.卫星在轨道2上经过P点时的速度大于它在轨道3上经过P点时的速度 解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：

Mmv2

G2＝m，v＝rrGMv，因为r1＜r3，所以v1＞v3，由ω＝得ω1＞ω3。在Q点，卫星沿着圆rr轨道1运行与沿着椭圆轨道2运行时所受的万有引力相等，在圆轨道1上引力刚好等于向心

2

mv1

力，即F＝。而在椭圆轨道2上卫星做离心运动，说明引力不足以提供卫星以v2速率运

r2mv2

行时所需的向心力，即F＜，所以v2＞v1。卫星在椭圆轨道2上运行到远地点P时，根据

r机械能守恒可知此时的速率v2′＜v2，在P点卫星沿椭圆轨道2运行与沿着圆轨道3运行时

v2′2所受的地球引力也相等，但是卫星在椭圆轨道2上做近心运动，说明F′＞m，卫星在

r

4

v23

圆轨道3上运行时，引力刚好等于向心力，即F′＝m，所以v2′＜v3。由以上可知，速率

r从大到小排列为：v2＞v1＞v3＞v2′。 答案 B

[即 学 即 练]

探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( ) A.轨道半径变小 C.线速度变小

B.向心加速度变小 D.角速度变小

Mm4π2r解析 由G2＝m2知T＝2π

rTr3Mm，变轨后T减小，则r减小，故选项A正确；由G2＝GMrGM，r减小，v变大，故选项CrMmv2

man知r减小，an变大，故选项B错误；由G2＝m知v＝

rr2π

错误；由ω＝知T减小，ω变大，故选项D错误。

T答案 A

[典 例 精 析]

【例4】 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图3所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和

r2及运行周期T。

图3

解析 双星间的引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m1：对m2：

Gm1m22

2＝m1ωr1， LGm1m22

2＝m2r2ω，且r1＋r2＝L， LLm2Lm1

，r2＝。 m1＋m2m1＋m2

解得r1＝

2

m1m24πLm2

由G2＝m1r12及r1＝得

LTm1＋m2

5

周期T＝4πL G（m1＋m2）

4πL

G（m1＋m2）

23

23

Lm2Lm1

答案 m1＋m2m1＋m2

1.如图4所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法中正确的是( )

图4

A.a、b的线速度大小之比是2∶1 B.a、b的周期之比是1∶22 C.a、b的角速度大小之比是36∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是3∶2

解析 两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，如下表：

选项 A B C D 答案 C

2.地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是( ) A.＝ C.＝ 内容指向、联系分析 结论 3 22 3错误 错误 正确 错误 GMmv2v1由2＝m得＝rrv2r2＝r13R＝2RGMm2π2T1由2＝mr()得＝rTT2GMmω12由2＝mrω得＝rω2r3213＝r23r3362 3＝r14GMma1r292由2＝ma得＝2＝ ra2r14a1ra2Rv1rv2RB.＝() D.＝()

a1a2v1v2

rRRr2

2

解析 设地球质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ω1r，a2＝ω2R，又ω1＝ω2，故＝，

6

2

2

a1ra2R选项A正确，B错误；由万有引力定律和牛顿第

Mm1v2Mm2v2v112

二定律得G2＝m1，G2＝m2，解得＝

rrRRv2

答案 A

R，选项C、D错误。 r3.如图5所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是( )

图5

A.地球对b、c两星的万有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c两星不受重力 B.周期关系为Tc>Tb>Ta C.线速度的大小关系为vaab>ac 答案 C

4.如图6所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )

图6

A.m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2 B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2 2

C.m1做圆周运动的半径为L

52

D.m2做圆周运动的半径为L

5

解析 设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律得

Gm1m222

2＝m1r1ω＝m2r2ω，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2 L7

23

所以可解得r1＝L，r2＝L，

55

m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，

故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，综上所述，选项C正确。 答案 C

1.关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( ) A.都是万有引力等于向心力

B.赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等 C.赤道上的物体和近地卫星的轨道半径相同但线速度、周期不同 D.同步卫星的周期小于近地卫星的周期

解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天

GMmv24π2

体，根据2＝m＝m2r得v＝rrTGM，T＝2πrr3，由于r同>r近，故v同T近，GMD错误；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为T赤＝T同>T近，根据v＝ωr可知v赤2.设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r。下列说法中正确的是( ) A.a与c的线速度大小之比为B.a与c的线速度大小之比为C.b与c的周期之比为D.b与c的周期之比

r RR rr RR rRrRr解析 物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω可得，二者线速度之比为，选项A、B均错误；而b、c均为卫星，由T＝2π

r3

可得，二者周期之比为 GMRrR，选项C错误，D正确。 r答案 D

8

3.有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上做圆周运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图1所示，则有( )

图1

A.a的向心加速度等于重力加速度g B.b在相同时间内转过的弧长最短 π

C.c在4 h内转过的圆心角是 4D.d的运动周期可能是30 h

解析 a受到万有引力和地面支持力，由于支持力等于重力，与万有引力大小接近，所以向心加速度远小于重力加速度，选项A错误；由v＝GM知b的线速度最大，则在相同时间r内b转过的弧长最长，选项B错误；c为同步卫星，周期Tc＝24 h，在4 h内转过的圆心角4 hπ

θ＝·2π＝，选项C错误；由T＝

T3的周期可能是30 h，选项D正确。 答案 D

4.登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远院士透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表信息可知( )

行星 地球 火星 A.火星的公转周期较小 B.火星公转时的向心加速度较小 C.火星公转时的线速度较大 D.火星公转时的角速度较大

半径/m 6.4×10 3.4×10 6πr23

GM知d的周期最大，所以Td>Tc＝24 h，则d质量/kg 6.0×10 6.4×10 2324公转轨道半径/m 1.5×10 2.3×10 1111Mm4π2rv22

解析 由表中信息知r火＞r地，根据牛顿第二定律G2＝m2＝man＝m＝mrω得：T＝

rTr4πr23

GM

，an＝2，v＝

GMrGM，ω＝rGM，轨道半径大，周期大，向心加速度小，线速度r39

小，角速度小，故B正确，A、C、D错误。 答案 B

5.质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( ) A.线速度v＝

Gm RR gB.角速度ω＝gR D.向心加速度a＝2 C.运动周期T＝2π

GmRMmv2

解析 对航天器：G2＝m，v＝

RR2π2

误；由mg＝m()R得T＝2π

GM2

，故A项错误；由mg＝mωR得ω＝Rg，故B项错RTRMmGM，故C项正确；由G2＝man得an＝2，故D项错误。 gRR答案 C

6.冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕O点运动的( ) 1

A.轨道半径约为卡戎的

71

B.角速度大小约为卡戎的 7C.线速度大小约为卡戎的7倍 D.向心力大小约为卡戎的7倍

解析 两星绕连线上某点稳定转动，则转动周期和角速度相同，根据两星做圆周运动所需的

Gm1m24π2m1R1Gm1m2向心力由万有引力提供，两星受到的万有引力为相互作用力，有2＝，2＝

LT2L4πm2R2R1m21v1R11

，解之得＝＝，选项A正确，选项B错误；线速度v＝ωR，＝＝，选项CT2R2m17v2R27错误；因两星向心力均由大小相等的相互作用的万有引力提供，选项D错误。 答案 A

7.一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减小1

为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的( )

2A.向心加速度大小之比为4∶1 B.角速度大小之比为2∶1 C.周期之比为1∶4 D.轨道半径之比为1∶4

10

2

1MmvGM解析 该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减为原来的；根据G2＝m可得：r＝2可知2rrv变轨后，轨道半径变为原来的4倍，选项D正确；根据G2＝man，则an＝2，则变轨后的加1v1

速度变为原来的，选项A错误；根据ω＝可知变轨后角速度变为原来的，选项B错误；

16r82π

根据T＝可知，变轨后周期变为原来的8倍，选项C错误。

ω答案 D

8.如图2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )

2

MmrGMr

图2

A.b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度 B.a加速可能会追上b

C.c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c

D.a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变小 解析 因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又由b、c轨道半径大于a轨道半径，由v＝GM可知，vb＝vcv2c时，a就追上了b，故B正确；当c加速时，c受的万有引力Frcv2b离心运动；当b减速时，b受的万有引力F>m，它将偏离原轨道，做近心运动，所以无论rb如何c也追不上b，b也等不到c，故选项C错；对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v＝答案 B

9.已知近地卫星线速度大小为v1，向心加速度大小为a1，地球同步卫星线速度大小为v2，向心加速度大小为a2，设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍。则以下结论正确的是( )

11

GM可知，r减小时，v逐渐增大，故选项D错误。 rv16

v21a17C.＝ a21

A.＝a149B.＝ a21v17D.＝ v21

解析 卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，

GMmmv2GMv1r26R＋R7

；因为线速度v＝，则＝＝＝，故A、D错误；因为加2＝ma＝rrrv2r1R1

GMa1r26R＋R2492

速度a＝2，所以，＝2＝()＝，故B正确，C错误。

ra2r1R1

答案 B

10.已知甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自对应的第一宇宙速度之比为b，则下列结论不正确的是( )

A.甲、乙两行星的质量之比为ba∶1

B.甲、乙两行星表面的重力加速度之比为b∶a C.甲、乙两行星各自的卫星的最小周期之比为a∶b D.甲、乙两行星各自的卫星的最大角速度之比为a∶b

2

2

mv2v2

解析 根据mg＝，则第一宇宙速度为：v＝gR，则行星表面的重力加速度为：g＝，

RR甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自的第一宇宙速度之比为b，则甲、乙两行星表面的

b2GMmgR2

重力加速度之比为，根据mg＝2，则有：M＝，因为半径之比为a，重力加速度之比为

aRGb22

，所以甲、乙两行星的质量之比为ba∶1，故A、B正确；轨道半径越小，周期越小，根aGMm4π2R据2＝m2得，最小周期T＝2πRTR32

，甲、乙两行星的质量之比为ab∶1，半径之比GMT2π

为a，则最小周期之比为a∶b，故C正确；轨道半径越小，角速度越大，根据ω＝，最小周期之比为a∶b，则最大角速度之比为b∶a，故D错误。 答案 D

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