高考数学(命题热点突破)专题08 三角函数的图像与性质 文(2021年最新整理)

2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文

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2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文

专题08 三角函数的图像与性质 文

【考向解读】

1。三角函数y＝Asin （ωx＋φ)(A〉0,ω>0）的图象变换，周期及单调性是2016年高考热点．

2.备考时应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin （ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．

3。以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性。

4。考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.

【命题热点突破一】 三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式

3例1、【2016高考新课标2理数】若cos()，则sin2（ ）

457117（A） （B） （C) （D）

255525【答案】D

【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数,那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．

【变式探究】 当x＝错误!时，函数f(x）＝Asin(x＋φ)（A〉0)取得最小值,则函数y＝f错误!是( ）

A．奇函数且图像关于点错误!对称

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B．偶函数且图像关于点(π,0)对称 C．奇函数且图像关于直线x＝错误!对称 D．偶函数且图像关于点错误!对称

【答案】C

【解析】当x＝错误!时,函数f(x)＝Asin（x＋φ）（A〉0）取得最小值，即错误!＋φ＝－

错误!＋2kπ，k∈Z，即φ＝－错误!＋2kπ，k∈Z，所以f(x）＝Asin（x－错误!）(A〉0），所

以y＝f（错误!－x）＝Asin（错误!－x－错误!）＝－Asin x，所以函数y＝f（错误!π－x）为奇函数,且其图像关于直线x＝错误!对称。

【命题热点突破二】 函数y＝Asin（ωx＋φ)的图像与解析式 例2、设函数f（x)＝sin ωx＋sin错误!,x∈R。

（1)若ω＝错误!，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合;

（2)若x＝错误!是f（x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f（x)的最小正周期．

【感悟提升】三角函数最值的求法：(1)形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数可转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k（A〉0，ω>0）的形式，利用有界性处理;(2)形如y＝asinx＋bsin x＋c

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的函数可利用换元法转化为二次函数，通过配方法和三角函数的有界性求解；（3）形如y＝错误!的函数，一般看成直线的斜率，利用数形结合求解．

【变式探究】【2016年高考四川理数】为了得到函数ysin(2x)的图象，只需把函数

ysin2x的图象上所有的点（ ） π3ππ33ππ（C）向左平行移动个单位长度 （D)向右平行移动个单位长度

66（A）向左平行移动个单位长度 （B)向右平行移动个单位长度

【答案】D

【解析】由题意,为了得到函数ysin(2x)sin[2(x)]，只需把函数ysin2x的图像

36上所有点向右移个单位,故选D.

6【命题热点突破三】三角函数的性质

例3、某同学用“五点法”画函数f（x)＝Asin（ωx＋φ）错误!在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ x Asin(ωx＋0 φ）

0 错误! π 错误! 2π π 3错误! 5 －5 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式； （2）将y＝f（x)图像上所有点向左平行移动θ（θ>0）个单位长度，得到y＝g（x）的图像，若y＝g(x)图像的一个对称中心为错误!，求θ的最小值．

【解析】(1）根据表中已知数据，解得A＝5,ω＝2，φ＝－错误!.数据补全如下表：

ωx＋φ

0 错误!π 错误! 2π 4

2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文 x Asin（ωx＋错误! 错误!错误! 错误! 错误!π 0 φ) 且函数解析式为f（x)＝5sin错误!.

5 0 －5 0 【感悟提升】函数图像的平移变换规则是“左加右减\并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，那么就要提取这个系数后再确定变换的单位长度和方向．

【变式探究】函数f（x）＝sin（2x＋φ)错误!的图像向左平移错误!个单位长度后所得图像关于原点对称，则函数f(x）在错误!上的最小值为（ )

A．－错误! B．－错误! C.错误! D。错误! 【答案】A 【解析】

【命

题热点突破四】 三角函数图像与性质的综合应用

例4、（2016·高考全国甲卷）函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( ）

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A．y＝2sin错误! B．y＝2sin错误! C．y＝2sin错误! D．y＝2sin错误! 【答案】:A

【解析】：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．

由图象知错误!＝错误!－错误!＝错误!,故T＝π，因此ω＝错误!＝2.又图象的一个最高点坐标为错误!，所以A＝2，且2×错误!＋φ＝2kπ＋错误!（k∈Z),故φ＝2kπ－错误!(k∈Z),结合选项可知y＝2sin错误!。

【变式探究】已知函数f（x)＝2cosx＋2 错误!sin xcos x＋a，当x∈错误!时,f（x）的最小值为2。

（1)求a的值，并求f（x)的单调递增区间；

(2)先将函数f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原来的错误!，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移错误!个单位长度，得到函数g(x）的图像，求方程g(x)＝4在区间错误!上所有根之和．

2

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【感

悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式,再结合题目要求,利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质解决问题．

【命题热点突破五】三角函数图像、性质、正余弦定理、不等式等的综合

例5、 已知向量a＝（sin x,2cos x)，b＝(2 3cos x，－cos x)，函数f(x）＝a·b。 (1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（2)在△ABC中，若角A满足f错误!＝1，且△ABC的面积为8，求△ABC周长的最小值． 【解析】(1）∵f(x）＝2 错误!sin xcos x－2cosx＝错误!sin 2x－cos 2x－1＝2sin错误!－1,

∴函数f（x）的最小正周期为π.

由－错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z,得 －错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z,

∴函数f(x）的单调递增区间为错误!，k∈Z。

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2

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（2）设a，b,c分别是内角A， B，C对的边， 由f错误!＝1，得2sin错误!－1＝1，

即sin错误!＝1，又∵A为三角形的内角,∴A＝错误!, ∴错误!bc＝8，∴bc＝16，

∴b＋c≥2 错误!＝8，a＝错误!≥错误!＝4 错误!，当且仅当b＝c＝4时等号成立. 故△ABC周长的最小值为8＋4 错误!。

【失分分析】三角函数综合性问题最容易犯的错误是求错三角函数的解析式．解题时要注意各种限制条件的应用,如指定的角的范围、三角形内角的范围等．在使用基本不等式时注意等号成立的条件．

【变式探究】

在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y＝2 错误!x(x≥0）． (1）求cos错误!的值；

(2)若点P,Q分别是角α始边、终边上的动点,且|PQ｜＝6，求三角形POQ面积最大时点P，Q的坐标．

【高考真题解读】

1.【2016高考新课标3理数】在△ABC中,B

π1，BC边上的高等于BC,则cosA（ ） 438

2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文 3101010310（A） （B） （C） (D） 10101010【答案】C

【解析】设BC边上的高为AD，则BC3AD，所以ACAD2DC25AD，

AB2AC2BC22AD25AD29AD210AB2AD．由余弦定理，知cosA，故选C． 2ABAC1022AD5AD32.【2016高考新课标2理数】若cos()，则sin2（ )

457117（A） （B) (C） (D）

255525【答案】D

3。【2016高考新课标3理数】若tan(A)

3 ,则cos22sin2（ ） 4644816 (B) (C) 1 （D) 252525【答案】A 【解析】

33434,得sin,cos或sin,cos，所以45555161264cos22sin24，故选A．

252525ππ4.【2016年高考四川理数】cos2sin2= 。

88由tan【答案】

2 2【解析】由二倍角公式得cos28sin28cos42. 2π35。【2016年高考四川理数】为了得到函数ysin(2x)的图象,只需把函数ysin2x的图象上所有的点( ）

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ππ33ππ（C）向左平行移动个单位长度 (D）向右平行移动个单位长度

66（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度

【答案】D

【解析】由题意，为了得到函数ysin(2x)sin[2(x)]，只需把函数ysin2x的图像

36上所有点向右移个单位,故选D。

66.【2016高考新课标2理数】若将函数y2sin2x的图像向左平移个单位长度,则平移

12后图象的对称轴为( ）

kk(kZ) （B）x(kZ) 2626kk(kZ) （D）x(kZ) （C）x212212（A）x【答案】B 【解析】

7。

【2016年高考北京理数】将函数ysin(2x)图象上的点P(,t)向左平移s（s0） 个单位

34长度得到点P'，若P'位于函数ysin2x的图象上,则( )

31A.t，s的最小值为B.t ，s的最小值为

226631C.t，s的最小值为D.t，s的最小值为

2233【答案】A

ππ1π1【解析】由题意得，tsin(2)，当s最小时，P'所对应的点为(,)，此时

432122πππ-，故选A. 41268。【2016高考新课标3理数】函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的

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smin

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图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

【答案】

 3【解析】因为ysinx3cosx2sin(x)，ysinx3cosx2sin(x)＝

332sin[(x)]，所以函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的图像至少向

33右平移

个单位长度得到． 39。【2016高考浙江理数】设函数f(x)sin2xbsinxc,则f(x)的最小正周期（ ） A．与b有关，且与c有关 B．与b有关,但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 【答案】B

【解析】f(x)sin2xbsinxcb0时，f(x)1cos2xcos2x1bsinxcbsinxc，其中当222cos2x1c，此时周期是;当b0时，周期为2,而c不影响周期．故选22B．

10.【2016高考山东理数】函数f(x）=（3sin x+cos x)(3cos x –sin x）的最小正周期是（ ）

(A） 【答案】B

π2 (B)π （C)

3π 2（D）2π

11。

【2016年高考四川理数】为了得到函数ysin(2x)的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点（ ) (A）向左平行移动个单位长度 (B）向右平行移动个单位长度 （C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度

11

π3π3π3π6π62017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文

【答案】D

【解析】由题意,为了得到函数ysin(2x)sin[2(x)]，只需把函数ysin2x的图像

36上所有点向右移个单位，故选D.

612。【2016高考新课标2理数】若将函数y2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平

12移后图象的对称轴为（ ）

kk(kZ) （B)x(kZ) 2626kk(kZ) （D)x(kZ) （C）x212212(A）x【答案】B

【解析】由题意，将函数y2sin2x的图像向左平移

y2sin2(xx12个单位得

)2sin(2x)，则平移后函数的对称轴为2xk,kZ,即126626k,kZ，故选B。 213。【2016年高考北京理数】将函数ysin(2x)图象上的点P(,t)向左平移s（s0) 个

34单位长度得到点P'，若P'位于函数ysin2x的图象上，则( ）

31A。t，s的最小值为B.t ,s的最小值为

226631C.t,s的最小值为D。t，s的最小值为

2233【答案】A

ππ1π1【解析】由题意得,tsin(2)，当s最小时，P'所对应的点为(,)，此时

432122πππ-，故选A. 412614.【2016高考新课标3理数】函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的

smin图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

【答案】【解析】

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 32017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文

15.

【2016高考新课标3理数】在△ABC中，Bπ，BC边上的高等于1BC,则cosA（ )

43(A）310 （101031010B)10 (C）10 （D）10 【答案】C

【解析】设BC边上的高为AD,则BC3AD，ACAD2DC25AD,AB2AD．由余

弦定

理

cosAAB2AC2BC22AD25AD29AD2102ABAC22AD5AD10,故选C． 16.【2016高考新课标2理数】若cos(34)5，则sin2（ ）

（A）711725 (B)5 （C)5 (D）25

【答案】D

2【解析】cos242cos24123751 ，

25且cos24cos22sin2,故选D。

17.【2016高考新课标3理数】若tan34 ,则cos22sin2( ） （A)

6425 （B) 481625 （C） 1 (D)25 【答案】A 【解析】

所以,

知

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oooo1。【2015高考新课标1，理2】sin20cos10cos160sin10 =（ )

（A）

33112 （B）2 （C）2 (D）2

【答案】D

1ooooo【解析】原式=sin20cos10cos20sin10 =sin30=2，故选D。

tan17,则tan的值为_______.

2.【2015江苏高考，8】已知tan2,【答案】3

12tan()tan7tantan()3.1tan()tan127【解析】

3。【2015高考福建，理19】已知函数f(x)的图像是由函数g(x)cosx的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变），再将所得到的图像向右

平移2个单位长度.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程；

（Ⅱ)已知关于x的方程f(x)g(x)m在[0,2)内有两个不同的解,． （1)求实数m的取值范围；

cos()2m21.5

xk(kZ).(2)证明：

【答案】（Ⅰ) f(x)2sinx，【解析】

2；(Ⅱ）(1）(5,5)；（2）详见解析．

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f(x)g(x)2sinxcosx5(（2)1)

5sin(x)（其中

2sinx51,cos51cosx)5

25）

sin

sin(x)=依题意，范围是(5,5).

mm||15在区间[0,2)内有两个不同的解,当且仅当5，故m的取值

2）因为,是方程5sin(xsin()=msin(5，+=2()=m在区间[0,2)内有两个不同的解，

)=所以

当1m<5时，m5。

2();

232),当

5+=2(),32();

cos()cos2()2sin(2所以

解法二：（1）同解法一. (2)1) 同解法一.

m22m2)12()11.55

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fxsinxcosxcos2x4. 4。【2015高考山东，理16】设

（Ⅰ）求

fx的单调区间；

Af0,a1（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2,求ABC面积的最

大值.

k,kkZ44【答案】(I）单调递增区间是;

3k,kkZ44单调递减区间是 23(II）ABC 面积的最大值为4

【解析】

1cos2xsin2x2fx22（I）由题意知

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2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文

sin2x21sin2x2sin2x12 由22k2x22k,kZ 可得4kx4k,kZ

由22k2x322k,kZ 可得4kx34k,kZ

所以函数fx 的单调递增区间是4k,4kkZ ;

k,3k单调递减区间是44kZ

cos(310)5.【2015高考重庆，理9】若

tan2tan5，则sin(5)（A、1 B、2 C、3 D【答案】C 【解析】由已知，

、4 ） 17

2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文

cos(3333333)coscossinsincos2tansincostansin101010105101010sin()sincoscossin2tancossintancossin555555 55cos5cos332sinsin10510sin5cos5155(coscos)(coscos)3cos21010101010312sincos2510＝，选C。

ysin4x3的图象，只需要将函数ysin4x的图6。【2015高考山东,理3】要得到函数

象（ )

(A）向左平移12个单位 （B）向右平移12个单位

(C）向左平移3个单位 （D)向右平移3个单位 【答案】B 【解析】

7。

【2015高考新课标1，理8】函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( ）

1313(k,k),kZ(2k,2k),kZ4444（A) (B） 1313(k,k),kZ(2k,2k),kZ4444（C） （D)

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2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文

【答案】D

1+425+3=f(x)cos(x)424,所以4，令【解析】由五点作图知，，解得=，

2kx42k,kZ,解得

2k1312k2k4＜x＜4，kZ，故单调减区间为（4，

2k34），kZ,故选D。

8。 【2014高考湖南卷第9题】已知函数f(x)sin(x),且图象的一条对称轴是（ )

x230f(x)dx0,则函数f(x)的

A。

57xxx

6 B.12 C。3 D。6

【答案】A

9。 【2014高考江苏卷第5题】已知函数ycosx与函数ysin(2x)(0),它们的

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2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题08 三角函数的图像与性质 文

图像有一个横坐标为3的交点，则的值是 。

【答案】6

cos3【解析】由题意因为0，所以

sin(23)，即

sin(212)k(1)k32，36，(kZ)，

6．

y3sin(2x)3的图象向右平移2个单位长度，所10。 【2014辽宁高考理第9题】将函数得图象对应的函数（ ）

77[,][,]A．在区间1212上单调递减 B．在区间1212上单调递增

[C．在区间

,][,]63上单调递减 D．在区间63上单调递增

【答案】B 【解析】

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