福建省南安市国光中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题

（范围：直线、圆、圆锥曲线）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线x3y10的倾斜角为

A．150 B．120 C．60 D．30 2．过圆(x1)(y2)4的圆心，且斜率为1的直线方程为

A．xy10 B．xy30 C．xy30 D．xy30 3．抛物线y2212x的准线方程是 4

B．x1 C．y1 D．x1

A．y1

x24．焦点为且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是 （0，6）2x2y2y2x2y2x2x2y2A．1 B．1 C．1 D．1

24122412122412245．已知点(m,1)（m0）到直线l:xy20的距离为1，则m等于

A．2+1 B．21 C．22 D．2 6．设m0，则直线2x2ym10与圆x2y2m的位置关系为

A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离 7．两圆x2y22x0与x2y24y0的公共弦长

A．2545 B． C．1 D．2 55x2y28．已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，且PF2的

1620中点M在以O为圆心，OF1为半径的圆上，则PF2 A．6

B．4 C．2

D．1

4x2y29．已知F是椭圆C:1的左焦点，P为C上一点，A(1,)，则PAPF的最小

395 - 1 -

值为

A．

10 3

2 B．

1311 C．4 D．

3310．已知抛物线y4x，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为

A．x2y10 B．2xy30 C．2xy10 D．x2y30

x2y21的一个焦点，直线xmy0与E交于A,B两点，则11．已知F是椭圆E:4△ABF的周长的取值范围为

A．(2,4) B．[2,4) C．(6,8) D．[6,8)

12．已知点E是抛物线C:y22px(p0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上．在EFP中，若sinEFPtsinFEP，则t的最大值为

A．2 B．3 C．2 D．3 22二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．椭圆C:x2y4的两个焦点与短轴一个端点构成的三角形的面积等于__________．

22x2y214．以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．

16915．设直线xmy10与圆(x1)(y2)4相交于A,B两点，AB23，则实数

22m的值是__________．

16．已知双曲线E的中心是坐标原点O，以E的焦点F为圆心，OF为半径的圆与E的一条渐近线交于O,A两点．若劣弧OA所对的圆心角等于

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，应写出证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点坐标为A(2,4),B(1,2),C(2,3)． （1）求直线BC的方程；

（2）求边BC上高AD所在的直线方程．

- 2 -

2π，则E的离心率为__________． 3

18．（本小题12分）

已知椭圆C的焦点为F1(0,2)和F2(0,2)，长轴长为25，设直线yx2交椭圆C于A,B两点．

（1）求椭圆C的标准方程； （2）求弦A,B的中点坐标及AB．

19．（本小题12分）

在直角坐标系xOy中，已知圆C:xy4x8y160． （1）求圆C的圆心坐标，及半径；

（2）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，且PMPO，求使得PM取得最小值时的点P的坐标．

20．（本小题12分）

已知抛物线y2px(p0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4． （1）求t，p的值；

（2）设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且OAOB5，其中O为坐标原点．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

21．（本小题12分）

222 - 3 -

x2y23椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为，过焦点F2且

2ab垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点M(0,1)，直线l经过点N(2,1)且与椭圆 C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，证明：k1+k2为定值．

22．（本小题12分）

坐标平面xOy内，y轴的右侧动点P到点(1,0)的距离比它到y轴的距离大1，记P的轨迹为C1．

（1）求C1的标准方程；

x2y21的左右焦点分别是F1，F2，（2）曲线C2:过F2的直线l分别与曲线C1,C2交43于点A,B和M,N，若F1AB与F1MN面积分别是S1,S2，求

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分． 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 B 8 B 9 D 10 C 11 D 12 A S1的取值范围． S2二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

13． 2 14．y16x 15．2233 16．

33x2y21的另一个焦点为F'，则四边形AFBF'为平行四边形（如11． 解析：记椭圆E:4图所示），△ABF的周长等于ABAFBFABAFAF'AB2a，又

- 4 -

AB[2b,2a)，故△ABF的周长取值范围AB2a[2a2b,4a)[6,8)．

12．解析：由题意得，准线l:xppp，E,0，F,0， 222过P作PHl，垂足为H，则由抛物线定义可知PHPF， 于是sinEFPPEPE11， sinFEPPFPHcosEPHcosPEFycosx在(0,)上为减函数，

当PEF取到最大值时（此时直线PE与抛物线相切），计算可得

直线PE的斜率为1，从而PEF45，max1222．

x2y2b16．解析：如图，设双曲线的方程为221(a0,b0)，则其渐近线方程为yx，

abab3cb223由题意，可知AOx30，故tan30，所以e12．

a3aa3

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

解析：（1）由两点式直线方程得BC的方程为

y3x2， 23125x3y10．……………………………………………………………………………5分

（说明：其他解法参照给分，答案对就给5分）

（2）BC直线的斜率为，…………………………………………………………………7分

53 - 5 -

∴AD直线斜率为k3．……………………………………………………………………8分 53x2， 整理得3x5y140．…………………10分 5由点斜式得AD方程为 y418．（本小题满分12分）

y2x2解析：（1）依题意，椭圆的焦点在y轴上，设其方程为221．…………………1分

ab已知c2,a5，……………………………………………………………………………3分 又abc…………………………………………………………………………………4分 得b1，…………………………………………………………………………………………5分

222y2x21．…………………………………………………………6分 故椭圆的标准方程C:5（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)， A,B的中点为M(x0,y0)

yx22消去y得6x4x10．…………………………………………………8分 225xy521，x1x2， ……………………………………………………………10分 3615则x0，y0x02，

3315弦AB的中点坐标为(,)．………………………………………………………………11分

33故x1x2AB24225．…………………………………………………………………6分 93319．（本小题满分12分）

解析：（1）依题意，(x+2)(y4)4…………………………………………………2分 故圆心坐标为(2,4)……………………………………………………………………………4分 半径r2．………………………………………………………………………………………6分 （2）依题意，设P(x0,y0)，有(x02)(y04)42222x02y02，………………8分

变形可得x02y040，则P在直线l:x2y40上，……………………………9分 分析可得，若PM最小，只需过点O向l作垂线l':y2x，…………………………11分

- 6 -

x2y40， l与l'的交点即为要求的点，联立可得y2x4x485解可得，即P的坐标为（,)．………………………………………………12分

55y8520．（本小题满分12分） 解析：（1）由抛物线的定义得，32p4，解得p2，………………………………3分 2所以抛物线的方程为y4x，代入点T(3,t)，可解得t23．………………………6分

22yy12（2）设直线AB的方程为xmyn，A(,y1)，B(,y2)，………………………8分

44y24x2联立，消元得y4my4n0，则y1y24n，………………………10分

xmyn(y1y2)2由OAOB5，可得， y1y25，所以y1y220或y1y24（舍去）

16即4n20，解得n5，所以直线AB的方程为xmy5，

所以直线AB过定点(5,0)．…………………………………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 解析：（1）将x＝c代入方程

中，由a﹣c＝b可得

2

2

2

，

所以弦长为．………………………………………………………………………………2分

所以………………………………………………………………………………4分

解得．………………………………………………………………………………………5分

．…………………………………………………………6分

所以椭圆C的方程为：

- 7 -

（2）若直线l的斜率不存在，则直线的方程为x＝2，

直线与椭圆只有一个交点，不符合题意；…………………………………………………7分 设直线l的斜率为k，若k＝0，则直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0； 所以直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+1，．……………………………8分

直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：

消去y得（1+4k）x﹣8k（2k﹣1）x+16k﹣16k＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则

，．………………………………………9分

222

∵

∴k1+k2＝+＝

＝

＝＝2k﹣，……………………10分

把代入上式，

得

22．（本小题满分12分）

．……………………………………………………12分

解析：（1） 依题意， y轴的右侧动点P到点(1,0)的距离与到定直线的距离相等，…1分 故C1的方程为y4x．………………………………………………………………………3分 （2）依题意

2ABS1，……………………………………………………………………4分 S2MN①当l不垂直于x轴时，设l的方程是ykx1k0，

- 8 -

联立{ykx1y24x ，得k2x22k24xk20， 12k244k40，…5分

24k212k24设Ax1,y1， Bx2,y2，则x1x2， ABx1x22；…6分 22kkykx1联立2 得： 34k2x28k2x4k2120， 23x4y120264k4434k2 4k2121441k20，…………………………………7分

设Mx3,y3， Nx4,y4，

8k24k212则x3x4， x3x4，…………………………………………………8分

34k234k2MN2，……………………………………9分 1k2x3x44x3x4234k121k2（或MN2aex3x4121k234k2）

AB34k2414S1则,，……………………………………………10分 S2MN3k23k23AB2b2S43，此时1②当l垂直于x轴时，易知AB4， MN………11分 aS2MN3综上有

S14的取值范围是,．………………………………………………………12分 S23（设l:xmy1相应给分；用其他方法的相应给分）

- 9 -