第七章 - 阜阳师范学院信息工程学院

[教学目标] 理解数学教育实践的实质；熟悉数学课堂教学设计的方法，了解数学教学模式的发展；理解数学教学测试与评价的基本内容；领会如何做一名反思型数学教师。

[学时] 2-4

[教学方法] 课堂讲解；课例观摩，实践性教学

[重点、难点] 数学教育实践的实质；数学教学测试与评价的基本理念 [教学过程]

§8.1 数学课堂教学的设计

设计课堂教学通常有三个阶段。首先是要做大量的案头准备工作，如研读课程标准和教学指导书籍，明确教学的具体目标，把握教学的重点和难点，与同行探讨交流经验，广泛涉猎数学教育的杂志和网站。然后针对实际教学对象和教学条件，构思和酝酿适合自己班级的教学方案。最后，准备所需教具或计算机课件等辅助教学材料，逐步完善并形成课堂设计方案。

一、课堂教学设计前的准备

这是课堂教学设计过程的第一阶段，主要任务是明确教学设计的指导思想，确定教学具体目标，把握教学的重点和难点，了解其他教师如何教授同样内容。 1．研读课程标准，明确当前我国数学课程的目标要求

在过去的几十年中，指导中小学数学教育的纲领性文件一直是教育部制定的《数学教学大纲》，2001年，小学和初中的数学教学大纲被义务教育阶段的国家数学课程标准取代，2003年又出台了高中数学课程标准。与我国以往的数学教学大纲相比，这份义务教育阶段的国家数学课程标准在形式上已经不再以规定教学内容和教学要求为主，而是囊括了课程设计理念、课程教育目标、内容选取标准、课程实施建议等方面的综合性指导文件，因此，将会给教师的日常工作带来更为详细而具体的指导；另外，由于课程设计理念的重大变化，新课程标准在内容上较以往明显地发生了全面的变化，导致了教材、教学以及评价等一系列环节的相应的重大变化。认真学习课程标准，对我们在课堂教学实践中贯彻好国家的改革意图至关重要。

义务教育阶段国家数学课程标准指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发

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点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”

众所周知，虽然在国际数学奥林匹克竞赛中，我国学生屡屡夺金，在国际数学测试中的成绩也很好，但是，在我们的学校里还有相当多的学生害怕甚至厌恶数学，究其原因，恐怕与我们以往的教学大纲、教材以及教师注重数学基础知识与基本能力的培养，忽视学生对数学情感、态度等的发展不无关系。在已经出版的教案示例或教案集中，我们发现，这些教案的作者全都明确地写上了该堂课在知识与技能上要完成的具体目标，一部分还明确写上了在培养学生思维能力上要发展哪些宏观目标，但很少有人将体现数学的价值与培养学生良好的个性品质等目标写入教案。当然，不写不等于没考虑过，但是这至少反映出教学实践中忽视学生情感与态度的倾向，这种倾向在评价学生数学学习时更为突出。新的课程标准正是希望今后能够纠正这一倾向，希望教师在知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度，这四个方面提出明确的教学和教育目标。

虽然新的课程标准是针对九年义务教育阶段的，但是由于教育的连续性，义务教育之后的高中和大学教育也必然要顺应这样的重大变化，并在课程上作出相应改革，所以，它对包括高中和大学在内的每一位数学教师都是重要的，应该认真学习、熟悉。 2．研究教科书和教学参考书，领会编写意图

从目前国家对基础教育制定的看，国家负责数学课程标准的制定，从总体上规定各个学段数学课程要达到的要求，并提出相应的实施建议，但不包揽编写教科书等任务。然后，根据这些要求和建议，由各出版社组织编写教科书及其教学参考书，将课程标准中各个学段(每一学段包含3个年级)的任务再细分落实到每一年级、每一章节和每一堂课。这样，一般会有几套教材同时在全国范围内使用。由于不同教科书编写者有不同的编写意图，所以，根据同样一份课程标准编写的教材，其内容的呈现顺序、形式等等都可以存在较大差异。

教材表达的明显意图容易被察觉，比如，根据新课程标准编写的初中一年级实验教科书中的统计与概率部分，编写者在教学和课外习题中，都安排有学生合作探索活动，意在使内容的学习通过学生活动的方式进行。这符合课程标准的要求：“应注重

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使学生从事数据处理的全过程，„„应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习”。但是，为什么要花费那么多的时间开展学生活动呢?可不可以从中只挑选一两个，组织学生活动而其他的全部改由教师讲授为主的教学方式呢?教材中没有说明，这就需要查阅教学参考书。在教学参考书中，作者明确指出了不宜削弱学生活动的两个主要原因，一是因为新课程标准倡导从事数学活动，而概率和统计涉及数据收集、分析等全过程，特别适合开展学生合作探索的活动；二是因为学生虽然在日常生活中已经接触过一些不确定的现象，对随机性有一定的认识，但是，他们对不确定现象的观察往往是零星的、短暂的，因此，常常无法观察到不确定现象背后存在的规律，从而对不确定现象产生种种错误认识，研究表明，教师讲解对克服这些错误认识效果非常有限，有效的教学途径应该是组织学生积极参与探究活动，用学生自己收集到的真实数据检验和否定他们的错误认识。了解到教材编写者的这些用意，教师就会积极地为学生创造系统地、重复地关注某一不确定现象的机会，当教材提供的问题不贴近学生的生活实际时，还会主动地用更适合当地情境的问题取代。

另外，教科书及教学参考书对教学的重点和难点等也会作详细分析，对设计课堂教学很有用。

3．广泛涉猎课程资源，借鉴宝贵经验

教学是一项极富创造性的工作。虽然面对的总是某一年龄段的学生，教的也是差不多的数学内容，但是很多教师开始教学设计前，还是喜爱广泛涉猎各种参考资料，如数学专著、数学普及读物、以数学教师为读者对象的杂志和网站等，希望能够吸取别人的宝贵经验丰富自己的设计。同时，也有很多教师将自己的心得体会或得意之作贡献出来与同行交流，实现资源共享。比如，有的教师发现教材某个公式来得突然，证明抽象，或者某个例题安排不当，难度跳跃过大，建议采取某些措施做好铺垫；有的教师发现了和教科书上不同的公式、定理的证明方法或不同的钳题解法，展示出来供大家探讨：有的教师针对某个课题设计·了一些来自现实世界的问题或训练学生灵活变通地思维的变式题，供大家参考；还有的教师对几何画板等数学教学新技术有兴趣，将精心设计的演示图像运动变化的课件等放在网上供大家随意选用，等等。一个人的想法和能力毕竟有限，广泛涉猎，开放交流，将极大地促进和丰富课堂教学的设计。

明确了国家课程标准对数学教育提出的任务与要求，领会了教科书编写者的编写

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意图，受到了其他同行相关经验的启发，那么，有了这些积累，下一阶段构思和酝酿教学方案心里就有底了。

二、课堂教学方案的酝酿

经过课堂教学设计前的案头准备，可以进入酝酿课堂教学方案阶段了。这一最能体现教师课堂教学设计个性化的阶段主要包括以下任务：估计学生现有的数学水平，设计精彩的情境，摸清教材中所有例题和习题的根底，决定教学的大致过程。 1．分析估计学生的现在发展水平

我们一贯提倡教学要符合“严谨性与量力性相结合”、“抽象与具体相结合”、“理论与实际相结合”这些原则，其实，这三条教学原则都围绕着同一个中心——使学习有意义，即让学生明白，他们在学什么以及所学内容与他们有什么关系。因为教学内容的选择都是经过仔细考虑的，所以一般来说，如果学生没能到达知识的彼岸，那不是因为那个目标太远，超出了他们力所能及的范围，而是我们在教学设计时没有在学生的现有水平和学习目标之间架好适合学生通过的桥梁。弗赖登塔尔和维果茨基都非常强调教学要建立在了解学生现有水平的基础上。

弗赖登塔尔提倡现实的数学教育思想，他提出数学教育要联系学生的两个现实，即学生的客观现实(学生熟悉的日常生活中的具体事物和从其他学科学习得到的经验)和学生的数学现实(学生已有的反映客观世界的各种数学概念、运算方法、规律的数学知识结构)。他认为数学教育的任务就在于充分利用学生的客观现实，不断丰富和扩展学生的数学现实，使之达到必须达到的水平。虽然弗赖登塔尔先生已经去世，但以他的现实数学教育为指导思想编写的数学教材仍在发展和完善着。

维果茨基提出的则是“最近发展区”概念，根据这一概念，教师在教学设计时，应分析并估计每个学生的最近发展区的范围，即在教学要求与学生无人帮助的情况下能够独自达到的水平之间有多少差距，这样，学习任务就不会因为太容易而使学生厌倦，也不会因为太复杂而令学生望而生畏。

考虑到学生的差异，无论是实践现实数学教育还是“最近发展区”的思想，教师都应该意识到全班学生的现实差异。学生“最近发展区”的范围大小存在差异，因此，教师在没汁教学方案时要注意学习任务的多样性和可选择性，为后进学生搭建起步的台阶，为拔尖学生指出探索的方向，照顾不同水平学生的需求，帮助学生构建数学认知结构。

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2．创设精彩的问题情境

中国学生可能听课最守纪律，但不可否认，他们的注意力正在受到越来越多其他事物的诱惑，对艰苦的学习任务的兴趣正在逐步减退，“学好数理化，走遍天下都不怕”的广告词已经失去了往日的号召力，从数学本身价值决定教什么和怎么教的做法已经行不通了。作为教师，我们必须承认这种变化，承认社会需要的不是大批的数学工作者，而是从事各行各业但需要具有良好数学修养的普通公民。

普及数学和普及音乐等其他文化一样，首先要培养人们对它的积极态度，所以，教师进行教学设计时，应有意识地加强教学内容与学生现实的联系，特别是在课的引入阶段，这种联系能让学生在学习开始就切实感受到将要学习的东西是有实际意义或学习价值的，激发他们的学习兴趣。当然，如果这种联系并不局限于课的引入，而尽可能地延伸到课的其他部分，这无疑将有助于学生(尤其是普通学生)正确地认识数学、了解数学、欣赏数学和使用数学。 3．摸清例题和习题的深浅

数学教学常常通过解决问题的形式展开，定理的发现和证明、例题的求解和引申、习题的模仿和演练等等，都是学生学习过程的有机组成部分。于是，大运动量的解题训练成了一些数学教师提高学生数学成绩的重要法宝，但是，这里我们想与这些教师唱一唱反调，提出“教师游题海，学生驾轻舟”的说法。教师不可贪图轻松，依赖教科书和参考资料上现成的证明、解法和答案，将自己的教学任务简化为讲清书上的证明和解法。我们建议教师在确定例题和习题前，应认真地将教材上的所有定理、例题和习题证明或演算一遍，这样有助于教师了解这些现成方法的形成过程，了解它们的画龙点睛之笔，了解每个例题和习题训练的目的要求，了解难易程度，使课堂教学更有针对性，课外练习的安排更合理，提高教与学双方的效率。 4．选择教学形式和常用模式，形成具体教学方法

类似建造房子时砖块和基本构件的作用，教学基本形式和常用教学模式是组成教学方法的基本单位。这里，教学基本形式是指以逻辑的分类方法，从众多教师的数学教学实践中筛选和概括出的通用的有特征的教学基本策略。因为是逻辑分类，所以不同的分类标准可以提出不同的教学形式种类，依据学生在学习中的自主程度，我们提出五种教学基本形式：教师讲授、师生对话、学生讨论、学生活动和学生探究。数学教育实践中筛选和概括出的常用模式比较多，它们都是在大量教学经验和理

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论指导下形成的一些有着固定结构的教学程序。因为在本书的第五章中已经探讨了常用的教学基本模式，如师生互动小步走的模式和大容量高密度快节奏的模式等，所以，这里将着重分析教学的基本形式。

如果将设计课堂教学方法与设计房子类比，那么，教学的基本形式就是建造房子的砖块，常用模式是建造房子的基本构件，教师设计的教学方法就是建筑师为每幢房子设计的蓝图。

三、课堂教学设计

经过充分准备和反复酝酿，课堂教学方案已经比较成熟，下一步就是具体落实与准备。

1．准备教具

在人类历史上很长的一段时间里，人们一直误以为学生就是外形上缩小了的大人，他们的学习就是模仿专家如何做，既然物理学家和化学家是通过实验做研究的，所以学校需要准备物理和化学实验室，数学家用的只是纸和笔，所以数学教师进教室只要带好粉笔，最多再带上三角板或一些立体几何模型就行了。近些年来，一些有条件的学校设立了数学实验室，但实际上就是一间放着许多计算机的机房。随着心理学、生物学、医学等有关人类遗传与发展学科的研究的深入，人们对学生的了解也逐步深入，认识到学生的认知发展是分阶段分水平的，不仅与数学家的认知特点有极大区别，就是同龄学生之间也存在着不可忽视的差别。大多数学生的学习需要建立在他们从大量具体的操作活动和细心观察中得到的直观经验之上，因此，虽然数学家不必试验就能够接受抛掷一枚正方体的骰子每一面上数字出现的机会都是六分之一这一事实，虽然利用计算机能够产生随机数的功能，可以编制模拟抛掷骰子这一随机试验的软件，但是，大多数学生还是必须经历一定次数的亲手抛掷骰子的试验，经历系统地重复地关注不确定现象的过程，才能真正相信随机现象背后也有规律可循，相信数学家，相信计算机。这就是数学教学中直观教具具有不可替代作用的一个例子。

近年来，随着一些新教材的出版，提供给教师和学生使用的教具品种增多了，如彩色积木、天平和砝码、塑料拼接棒、钉板、几何图形片、七巧板等等，再加上教师自己动手制作的教具，相信一定会更好地满足学生发展的需要。 2．形成课堂教学设计的书面方案

虽然经过读书、做题和思考，教师对如何上好这堂课心里有了底，但是为了优化

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教学设计，提高课堂教学效率，及时积累教学经验，教师还是需要在课前将酝酿好的教学设计方案以书面的形式记录下来，写成教案。

一个完整的教案通常包括三部分：摘要、过程和反思。

摘要部分要求课题、上课时间和对象、教学目标、教学重点和难点、教学过程梗概等主要信息一目了然。

教案的主要部分是设计教学过程，怎样引入，怎样探究新课，怎样巩固反思，怎样结束等等，具体而详细。

现代教学技术在教学中的应用，无疑是应该提倡的发展方向。目前的现代教学技术主要在以下几方面具有明显优势，一是直观展示数学内容，帮助学生认同、理解数学概念方面，比如各种各样的图形以及图形的平移、旋转、拉伸、叠加、分割、放大、缩小等种种变换，都可以在屏幕上即刻清晰地呈现；二是计算机也能够快速产生大量随机数，并将这些数据直观地用统计图表展示出来，这使计算机在模拟随机试验方面表现出独特的价值；三是计算器和计算机还能把学生从繁琐常规的数算中出来，从事更有价值的观察、反思、探究、决策、推理、问题解决等实质性的数学活动；四是计算器和计算机能把数、式、图三种形式很好地结合起来，为学生的探索和研究提供重要的工具。这种种长处是教师可以积极利用的，因此，有时教学设计的书面方案还包括设计和编写电脑幻灯片、程序、课件等环节。但是，必须指出，如果只把计算机当作一块漂亮的电子黑板，对教学的帮助并不很大，相反，教师备课的大部分时间会被设计屏幕等工作占去，了解学生学习困难、寻找相应教学对策的时间就会减少，这样做反而忽视了教育实践要解决的主要矛盾。其实，计算机并不总是胜人一筹，有时教师自制的直观教具也能产生很好的教学效果，比如，前面提到的那个案例，那位教师就是利用在黑板上画抛物线移动过程来启发学生的。当然如果有条件，能设计一个计算机动画，让这个运动过程连贯起来，多次反复演示效果就更好了，但是，如果没有计算机的环境，教师也可以用投影片代替，将抛物线和直线分别画在两张投影片上，然后将它们上下叠加，缓缓拖拉画有抛物线的那张，也能起到动画的效果。 教案的最后部分是反思，记录教师教学后的感想、经验、对今后教学的建议、学生不同一般的解题方法和比较普遍的错误认识等重要信息，为优化今后的教学积累材料。虽然这部分是在课后完成的，但是，它是今后教学设计的重要参照。 3．预演

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上课前教师常常要默默地把教学过程在心里预演一遍，一是加深对课的总体印象，检查目标是否落实、主题是否突出、内容安排是否流畅；二是可以估计每个环节需要花费的时间，这样，即使教学中出现了备课时没有预料到的情况，教师也能比较迅速地调整原方案，掌握好教学时间。如果教师对概念定义的现实背景胸有成竹，对公式定理的来龙去脉了如指掌，对解决问题过程中可能出现的思路、结论心中有数，那么就可以在教学过程中把注意力更多地放在观察学生的反应和与学生的交流上了。 有的时候教研组会组织教师说课，汇报教学设计方案及设计的理论依据和实践依据，这对提高教师教学和科学研究的水平，促进教学理论在实践中的应用，加强教师之间的业务交流都是有益的。

§8.2 数学课堂教学的技能课堂教学有哪些技能

课堂教学需要许多技能，但是，由于文化背景、教学传统和分类思想的差异，各国各地的教育工作者对课堂教学技能的分类却不尽相同。湖北省中小学教师继续教育中心组织编写的《课堂教学技能训练》一书，从三个侧面提出了如下比较全面的分类系统：

教学口语技能 板书板画技能 课堂交流的基本技能 提问技能 情感交流技能 媒传技能 课堂教学技能 课堂教学的施教技能 导入技能 讲授技能 组织学生活动的技能 课堂纪律管理技能 结束技能 课堂教学设计技能 课堂教学设计与评价技能 测验编制技能 听课评课技能

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体态语技能 分解课堂教学技能主要是为了便于分门别类地训练和发展这些技能，这一思想是20世纪60年代美国斯坦福大学的学者们首先提出的，他们开发了一种叫做“微格教学”的技能训练课程。首先，他们针对每一技能提出明确的培训要求，组织学员进 行理论学习，分析讨论示范材料。接着，让学员编写相应的教案，在由学员扮演教师和各类学生的微型课堂里进行模拟教学，摄下教学过程。然后，根据微格课上的记录，培训教师和学员们共同分析、讨论和评价每个学员该项技能的掌握情况。最后，学员在修改教案的基础上，再次进行微格教学，再次集体给予反馈评价，结束后转向另外一种教学技能的培训。实践表明，这种先分再合的训练方式易于取得良好的培训效果，已被包括我国在内的许多国家的师资培训部门采纳，并且还被推广到医生、飞行员等其他职业的培训中。 二、一些基本的课堂教学技能

一个数学教师，尤其是新教师，怎样吸引学生，怎样启发学生，怎样提问学生，怎样管理学生，怎样导人，怎样探究，怎样巩固，怎样结束，都是非常基本的常用的课堂教学技能，这里，我们在参考了毛永聪主编的《中学数学创新教法》、前面提到过的《课堂教学技能训练》一书以及公开发表的许多教案和我们自己课堂观察与实践的基础上，就上述技能逐一探讨。 1．怎样吸引学生

课程许划制定者基于社会的、数学的、学生的未来需要，提出了学校数学的目的和相应的教学内容，但是，这一切并不完全是学生的兴趣所在，所以，为了达到这些目的，让学生掌握这些内容，教师除了要教育学生树立远大理想，勇于战胜学习道路上的各种困难以外，还必须想方设法努力使自己的教学能够最大限度地吸引学生。 教与学是师生心灵的交往，成功的教学不能靠教师单方面的灌输。国外有些教科书在书的前言部分述说如何在采访和调查了许多学生的兴趣、爱好以后才确定教学内容的呈现途径和形式，希望学生对它产生好感，想读、想了解。我国最近出版的一些教材也在向这样的方向努力，力求贴近学生的现实。但是，教材毕竟是面向所有学生的，由于各地文化、经济等发展水平的不同，学生的兴趣爱好、关心的热点也不同，教材很难做到吸引所有学生，所以，教师根据学生的现实情况设计教学，以保持和激发学生的学习兴趣是非常必要的。

吸引学生的主要方式归纳起来有这样几个字：联系、挑战、变化和魅力。所谓

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联系是指教学设计要联系学生的客观现实和数学现实，使教学内容不是空洞无物而是有意义的，是与其已有经验和知识有联系的。挑战自然是指教学任务对学生具有挑战性，平庸拖沓的教学安排不可能吸引学生，教师应该尽可能地提高课堂教学效率，让学生感到学习充实，收获大。一题解毕，谁还有其他创新的解法?学完等差数列和等比数列，还有没有等和数列和等积数列可研究?类似具有挑战性的问题都很能吸引学生。变化是教师在学生注意力涣散或情绪低落时，改变教学的形式、讲授的语速语调等，重新将学生的注意力拉回到教学的手段，比如，上课采用多种教学形式，穿插多种教学任务如猜想、观察、听讲、思考、操作、自学、讨论、演算、小组竞赛等等。最后——种吸引学生的方式是增加教师自身的魅力，比如得体的仪表、精彩的语言、挥洒自如的教态、简练漂亮的板书板画、亲切的话语、热情的鼓励、信任的目光、敏捷的思维、娴熟的解题技巧，都有助于建立良好的师生关系，使学生“亲其师而信其道”。教师如果能够调动学生的情感和意志这些精神需要，效果将会是持久而巨大的。 2．怎样启发学生

有些教师喜欢越俎代庖，把知识嚼烂再喂给学生，结果数学课成为教师一人唱独角戏，学生觉得学习毫无挑战性，索然无味。另一些教师不赞成这种满堂灌的教学方式，以为问题出在教师讲得太多，于是，他们增加学生练的时间，或是辅以师生间的频频问答以减少教师讲的时间，但结果学生被教师的问题牢牢地牵着，没有机会走自己的路，想自己的疑问，遇到新的问题常不能举一反三，这样的教学仍然不具有启发性。

孔子主张“不愤不启，不悱不发”，“愤”是经过积极思考，想搞明白而还没有搞通的抑郁的心理状态，孔子认为这时教师才应引导学生把问题搞通，即“启”；“悱”是经过思考，想要表达而又表达不出来的窘境，孔子建议此时教师才应指导学生把想法表示出来，即“发”，所以，学生积极思考探索但又遇到困难是教师启发的前提条件。

启发学生的关键有以下几个字：定向、架桥、含蓄、揭晓。首先，教师要让学生明确希望他们解决什么问题，任务不明确当然难以完成好任务。美国匹兹堡大学有一本用于师资培训的教学案例集中，收集了这样一个案例，这堂课的内容是探究各种集中量数(平均数、中位数、众数、极差)的定义，两位执教教师(都是执教数学仅1年左右的新教师)准备用建构主义的思想，不直接教给学生这些定义，而是给每个学生小

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组一张写有一组数据 (5～8个不超过30的自然数)并标明该组数据的平均数、中位数、众数、极差各是什么的卡片，让学生自己通过制作图表、归纳、再用其他卡片(共8张)检验的办法，得出这几个量的定义。两位教师的教学设计基本相同，课一开始，教师用了约5分钟的时间与学生讨论什么是“发现”，怎样发现数学。然后教师出示一张卡片的样张，告诉学生每组都会得到这样的一张卡片，要求各组学生做两件事情：一是用方格纸画出每一组数据，写下自己的发现；二是根据其他卡片上数据传达的信息，修改完善自己的发现，写下这四个概念的定义或者有根据的推测。然后教师再次提醒学生寻找线索和模式。可是，课上最初的几分钟都出现了学生不知道要做什么的情况，这恐怕和两位教师都没有做好“定向”就匆匆进入探究活动有关。其实，学生很有可能不清楚既然卡片上已经写着这组数据的平均数、中位数、众数和极差，为什么还不知道什么是平均数、中位数、众数和极差，而要他们给出猜想。于是教师不得不再一个一个组地说明任务，影响了教学进度，每个小组也因为在第一张卡片上花费了过多时间，无法分析完所有的8张卡片，影响了归纳的准确性。

明确任务以后便可进入探究，但是，具有挑战性的问题往往会难住学生，所以，教师课前要为架桥铺路做好准备，教师要了解在探究的问题与学生的现实之间存在多少差距，考虑设计哪些问题或哪些活动能够化解困难，怎样创设问题情境，怎样问问题可以含蓄地启发学生。

这里要特别强调含蓄地架桥，如果教师对学生的提示太直截了当，就失去了启发的本意，所以，最好是通过引导学生先从事某些活动，解决某些比较容易着手的问题来帮助学生。比如，利用实物、模型、实例、示意图等直观化手段启发学生从观察、比较、分析和归纳等活动中得到结论，形成思路。以学生学习用“十字相乘法”分解因式为例，学生常常对怎样分常数项凑一次项感到困难，有一位教师就给学生布置了这样两道习题：

( )内填哪些整数，便可以用“十字相乘法”分解因式? (1)x2( (2)x23x()x3

)

因为学生在每道习题中只需要先注意常数项和一次项中的一个，分别体会“分”和“凑”的含义，所以容易理解“十字相乘法”的思想方法，原先的困难也被分解，变得容易克服了，其教学效果一定会明显优于教师示范辅以学生大运动量的操练。

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探究完毕，教师要记得将学生原先想做而不会做的正确做法，想说而说不出的正确想法用精练而明了的语言重述或者重写一遍，这样做能够梳理学生的思路，明确正误，提供示范。 3．怎样提问学生

课堂提问是课堂教学的重要组成部分，提问可以有效地吸引学生的注意力，可以及时地得到教学的反馈，可以启发学生的积极思维，提供学生参与教学、互相讨论和交流的机会，加深对所学知识的印象。有一些学生就因为一次出色的回答体验到了从未有过的成功感受，从此爱上了数学。

对所提问题的设计是提问质量的关键。一个新知识刚学完，为了达到及时反馈和强化的目的，教师可以问一些简单的问题，如(ab)2与a2b2相等吗?但最好是让全班学生集体举牌回答，这样，有多少学生答错，哪些学生答错，即刻间便一目了然。因为简单的问题不具有多少思考性，因此，在课堂提问中所占的比例应很小，尤其是在程度较高的班级和学习内容有相当难度的课上。大部分的课堂提问对学生要有一定的挑战性，能够引导学生积极思考甚至热烈的讨论和争辩，仍以上述提问为例，若是请学生举例说明(ab)2与a2b2不相等，则学生会觉得问题问得比较有深度，教师也能够得到比较准确的反馈。将学生这种典型错误或一些编造的似真推理(如推理最后得出 1=-1这样的结论，问推理错在哪里)设计成辨析题，这样欲擒故纵的手法往往有利于加深学生对概念的理解。另外，在课堂上满足少数优秀生的需求常常也是通过提出更具挑战性的问题进行的。

因为设问的主要目的是启发学生的思考，所以，教师提的问题应明确易懂，不能太大，让学生摸不着边际，如果需要，可以将这样的大问题改换成一个具体的问题或者分解成若干个小问题。所提的问题应该表述得很清楚，避免所提问题远离学生的生活经验而给解决问题造成不必要的干扰。所提的绝大多数问题应该面向全体学生，发问后教师要适当停顿给学生思考时间，对学生的回答要认真倾听，予以中肯而明确的评价，肯定合理的成分，指出还需改进的地方。如果学生不能或是不肯配合回答问题，教师必须尽快辨明原因，是问题的难度不合适?题意表达得不清楚?思考的时间不够?学生对问题没兴趣?师生之间的感情渠道不通畅?还是班级的学习风气问题?找出相应的对策。

当然，作为教师课堂教学技能中的一种，这里主要讨论的是教师怎样问学生，其

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实另一方面，即教师怎样鼓励学生发问也很值得关注。为此，教师首先要经常地鼓励发问的学生，还要教学生一些产生问题的方法，比如，认真观察式子、图形或数据，从中发现某些规律，概括出某些猜想，或者尝试将已有问题、结论推广到另一种类似的其他情境，提出某些猜想，这些训练对学生的长远发展非常重要。 4．怎样管理学生（组织教学）

专心于学习的课堂气氛是教学成功的重要保证，所以，有些教师在上课铃响以后并不急于讲课，而是用几秒钟的时间，环顾全班，示意学生集中注意力进入学习状态。这种短暂的沉默也常用于治理涣散的课堂气氛，教师略带生气的眼光能制止一些不守纪律的学生。不过，这种缄默式的管理适用面很窄，大多数情况还需教师口头干预。比如，一位学生给出一个离谱的回答，其他学生不禁哄堂大笑，这时，教师不能附和，应尽快寻找原因，是学生没听清楚问题?是学生发音不清晰引起大家误会?还是学生上课不专心，走了神?如果发现错误中有合理成分，教师要及时予以肯定，为学生补台，让大家都受到教育和启发。有时，教师自己也会犯些错误，如果是较严重的错误，那么教师除了立即改正外，还应真诚地向学生们道歉，展示数学工作者严谨求实的美德，切忌以势压人，强词夺理。

不过，最好的管理办法还是尽量不产生问题或将问题消灭在萌芽阶段，比如，教师可以在新接一个班级的时候，先宣布课堂纪律，让学生明确什么是你希望的行为，什么是你不想看到的行为。如果你不想在一见面的时候就提出很多规矩，可以先挑主要的提出来，逐渐养成学生的学习习惯。还有，若是教师的课上得精彩，自然也很少有纪律问题。在一些公开课上，我们常常看到有的教师运用师生互动“小步走”的模式，让所有学生都能够跟着教师的任务稳步前进；有的教师则寓教于乐，让学生完全投入于有趣的活动中；还有一些教师精心设计了变式训练题，带领学生品尝数学家解决一个又一个问题时得到的喜悦。像这样，学生总是被教师精心设计的活动深深吸引着，也就不去违纪了。

5．怎样引入和创设学习情景

俗话说“良好的开端是成功的一半”备课时，教师通常都要绞尽脑汁设计一个引人人胜的导人。

一般来说，一个导入至少需要完成下列四个任务中的一个：引起注意、激发动机、建立联系和组织指引。比如，教三角形内角和定理时，有一位教师在前一天向学生布

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置了这样一个家庭作业，让他们任意画几个三角形，量出每次所画三角形三个角的度数，记录下来。第二天一上课，教师让学生们考老师，只要随便说出三个角中两个的个数，教师就一定能够猜出另外一个角的度数。学生们纷纷尝试能否考倒老师，当然是都考不倒。于是，教师问：“你们想不想知道其中的秘密?想不想和老师一样有本事?今天，我们就来研究三角形内角之和有什么规律。”这是一个用活动、用问题引入的好例子，地完成了导人的四个任务。教师先用学生活动的模式让学生考考老师，以引起全班学生的注意；从考不倒老师的经历中激发起学生也要学会这一本事的强烈动机；教师的引入既建立在前一天作业的基础上，又完全紧扣新知识，加强了新旧知识之间、知识与引入之间的联系；最后教师的点题指引学生三角形内角之和是有规律可循的，揭示了本堂课的教学目标。从这个例子可以看出，问题式导人的关键在于创设精彩的问题情境，它既能够吸引学生又能够与新知识密切相关。

除了以游戏、实验和观察等活动产生悬念和问题的引入方式以外，还有一种主要的方式就是教师讲授。比如，教师从学生的生活经验和熟悉的事物着手，问：“做一锅汤，要知道汤的味道好不好，怎么办呢?”旁敲侧击，将学生已有的生活经验与他们将要学习的用样本估计总体的统计思想联系起来；又如，教师在课的开始，先讲少年高斯速算1+2十3+„+100的故事，既吸引了学生，又为探求等差数列前n项和的公式埋下了伏笔；有时，教师也可以采取以旧引新的方式，如一位教师在讲用“面积法”证几何题的课前，先带领学生们复习回顾学过哪些几何图形的面积计算公式，图形面积有哪两条性质，然后指明今天要利用面积公式及性质来论证一些平面几何的题目，既检查和复习了预备知识，又交代了新旧知识之间的逻辑联系。如果教师实在找不到更好的引入，那就只好开门见山，说出课题了。 6．怎样探究

“以学生为主体”的教育观念要求教学过程要在探究活动中展开，也就是说，概念、公式、定理等的教学都要体现数学化的教学思想，要揭示数学的形成过程。 组织学生探究之前，教师必须经历过探究，思考过概念的本质是什么，学生的现实和数学现实中有哪些与本质类似或者有联系；也推导过公式和定理，对哪些思路走不通，哪些思路能走通但是麻烦，哪些思路是捷径胸有成竹。有些教师就曾因为随口说出“那我们来研究一下这个问题吧”，而盲目地与学生一起探究，结果因为事先没有准备，对问题的难度估计不足，无法启发和指导学生，浪费了宝贵的教学时间。

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组织学生探究时，教师要控制时间，掌握各个环节的节奏。开始可慢些，保证每位学生都明确探究的问题，之后，再进入真正的探索，否则，匆匆忙忙，不是有同学没有审清题意走错方向，就是有同学在别人起步的时候就已掉队了。磨刀不误砍柴工，明确任务阶段宁慢勿快。当学生集体遇到困难的时候，教师的探究经验常常很有借鉴作用，教师可以用直观的教具、图像或精辟的语言等做有针对性的启发；当学生探究误人歧途的时候，教师可以点一下为什么行不通，然后把学生引向正确的思路；当学生探究的思路可行但繁琐的时候，教师应及时肯定，指出更优的方法，鼓励学生另辟蹊径。有时学生的探究成果非常丰富，尤其是做一题多解的探究，奇思妙想不断涌现，这时往往最难控制教学时间，不过，“保底不封顶”的原则应该遵守，教学的基本任务要完成，学生的创造成果要尽量多地在课内交流，课上没能充分展示的可以通过类似“学习园地”的渠道公布。探究完毕，教师应组织学生反思回顾探究过程，总结有过哪些探究思路，成功的思路和不成功的思路有什么区别，能否从成功的思路中归纳出一些共同点，是否已经彻底解决了要探究的问题，答案是什么，是否还有其他相关的问题可以继续探究，等等。

除了完成教师安排的探究任务，学生自发地发现可探究的问题对学生的发展也很重要。所以，平时教师应经常鼓励学生大胆猜想，提不同意见，不要被书上写的和老师讲的内容束缚。当然，这样做会给教师备课和应变能力等带来极大的挑战。 7．怎样巩固

光听不做、不讲、不练、不背，不经常地复习，就算听懂了也会忘记，难以内化为自己的知识，所以，数学教师在新知识的探究、操练和复习中都会尽可能多地调动学生的所有感官，以加深、巩固和强化学生对所学知识的印象。

巩固和强化数学知识的方法主要是加强记忆和反思。首先应利用记忆规律，无论在新知识的探究阶段，还是在巩固和强化阶段，教师都应该设法帮助学生记忆，减少遗忘。记忆的最好帮手当然是兴趣，人们对感兴趣的事物总是津津乐道，难以忘怀，所以在新知识的探究中，注意培养学生的兴趣自然就为后面的巩固和强化奠定了良好的基础。巩固的第二个重要方法是反思。将新知识建立在学生已有的现实的基础上，使学生现有的认知结构成为待学知识的生长点。当学习进行到一定程度后，教师应带领学生对学过的知识再组织，就像图书馆过一些时间就要整理书架一样。这样可以帮助学生加深对已学知识的综合理解，降低知识的记忆量，促进记忆。寻找好的记忆方

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法也很重要。比如学完三角函数的诱导公式后，可归纳成口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，一下子令学生感到如释重负。有的教师在几何教学中，总结出基本图形及内在量的一些关系让学生记忆，帮助学生迅速形成解题思路，起到了类似于子程序模块的作用。

除了帮助记忆，减少遗忘也是一个重要方面，教师上课时常用的学一点，练一点，讲评一点，再学一点，再练一点，再讲评一点的小步走策略，以及每堂课教师都布置家庭作业而且第二天就检查作业、发还作业的惯例，都是在利用遗忘是先快后慢发生的这一规律，及早巩固，减少遗忘。

巩固和强化的常见途径是解题，教师设计安排的例题和习题一般有层层递进的顺序，后面问题的解决常常会重复前面问题的解决步骤或思想方法，这种反复呈现的策略能够起到巩固和强化作用。不过，解题应不仅仅限于完成书面习题，有时也可以用数学游戏或竞赛的方式。心理学告诉我们，变化的学习方式比单调的学习方式更能提高学生对操练和复习的兴趣。还有一个问题是练习的度的问题，过度的重复操练非但令学生厌倦，也不利于知识的深化，所以，有教师建议作业可以分为必做题、选做题和思考题，这样既能照顾学生间的差异，也能把握练习的度。 8．怎样结束

尽管有时因为没有控制好教学节奏，教师不得不草草收场，但其实这一阶段仍然是一堂课中的重要组成部分。这一阶段，教师可以归纳和小结，再突出重点内容，提醒学生要注意或避免的错误，赞扬在课上表现突出的学生和他们的思想方法，总之，起到回顾的作用。教师还可以将学习适当引申，有些课本上没有出现的知识点若是对开阔学生的眼界有利，教师不妨在课的最后指点一下或作为问题提出来，有兴趣的学生可以深入思考，其他学生知道有那么回事或有那么个问题存在也就可以了。就像前面曾经提到过的，学完等差数列和等比数列，有的学生暗暗琢磨：有没有等和数列和等积数列呢?这时，教师不如明确地把这个问题提出来供有兴趣的学生思考。课即将结束时，教师也可以利用课与课之间的逻辑联系，带出下节课的课题，或布置一些为下节课做准备的任务，为下节课埋下伏笔。最后，是布置课外作业，安排学生完成一定数量、多种形式的作业，以达到及时巩固、消化和加深理解新知识等目的。 §8.3

关于数学的学术形态和教育形态

数学的表现形式比较枯燥，常给人冰冷的感觉，但是数学思考却是火热的生动活

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泼的。如何点燃和激起学生的火热思考，并欣赏数学冰冷的美丽，实在是数学教育的一项根本任务。

著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来。一个问题被解决、后；相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。”教科书中的许多陈述，往往就是美丽而冰冷的数学，火热的思考被淹没在形式化的海洋里。对此，我们提出，数学教学的目标之一，是要把数学知识的学术形态转化为教育形态。实际上，数学的学术形态通常表现为冰冷的美丽，而数学知识的教育形态正是火热的思考。

数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条，恢复为当初数学家发明创新时的火热思考。只有经过思考，才能最后理解这份冰冷的美丽。以下是一些教学建议。

一、把数学教材中形式化的表述顺序颠倒过来

形式化是数学的特征之一。数学教科书里的数学知识大多是形式地摆在那儿的，准确的定义、逻辑地演绎、严密的推理，一个字——个字地印在纸上。这种形式地演绎地呈现出来的数学，看上去确实冷冰冰。教师如果照本宣科，把教材中的数学知识依次抄在黑板上，学生很难进行“火热地思考”和主动建构，剩下的只能是囫囵吞枣似的记忆，欣赏“冰冷的美丽”无从谈起。因此对一些基本的重要的内容，应把教材上的叙述顺序颠倒过来，恢复原始的火热的思考过程，使学生领会数学的本源。让我们来看一些例子。

方程这个基本概念，被数学大师陈省身先生当作“好数学”的典型。但是，数学教材中叙述的方式是用黑体字写着：“含有未知数的等式称为方程”。然后，写了一堆数学式，看看哪些式子符合黑体字的要求，以便掌握“方程”的概念。这是“冰冷的美丽”。那么原始的火热的思考是怎样的呢?古代数学家，为了寻找未知量，通过与已知量之间建立等量关系，借助数算得到结果。正如我们不认识某人，需要由熟人介绍，然后和某人相识那样，原始思想非常朴实无华。这样揭示方程的本原，就是一种火热的思考。

再如函数概念，初中阶段的函数思想是用变量之间的依存关系定义的。到了高中，则从非常一般的集合之间的对应出发，将函数看作数集之间的一种取惟一值的对应。

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如果如此讲下来，贬低“变量说”，拔高“对应说”，且美其名曰“现代化”，就成了只是为“冰冷的美丽”唱赞歌。那么火热的思考在哪里?实际上，“变量说”是函数思想的根本，数学家和科学工作者主要是从事物运动中把握变量之间的依赖关系。工程师看函数，必然采用变量说，对应说不便于对运动事物的考察。但是，对应说也有其长处，比如yx和yx2在定义域M0,1上是否表示同一个函数，用对应说就容易看出两者的区别。于是，函数思想的建立，就必须两种定义兼顾，在强调对应说的时候，也重视变量说。因此，恢复“火热的数学思考”，决不能停留在教材的形式化的表面处理上。

讲授祖暅原理，如果按教材顺序先给出原理，然后利用原理的结论推出柱体体积公式，学生可以容易地从铺好的路平稳走过。这样从原理到公式的表述，数学本质被掩盖了。颠倒过来思考，就要问“缘幂势相同，则积不容异”的原理是从哪里来的?这是引发学生火热思考的关键。建议教学从以下实验开始，现有一副扑克牌，可以把它摆成一个长方体。稍微用力一推又可以做成斜柱体。请学生观察长方体和斜柱体体积之间的关系。学生从体积“守恒”的思考出发，就能重新创造出祖 原理。这样，冰冷的似乎从天上掉下来的祖 原理，成为学生火热的思考过程的结果。这种颠倒，数学教材中比比皆是。高考曾有一道有关轧钢的题目，其本质关系是“轧钢前后体积不变”，变和不变，祖 原理的设立和轧钢问题的求解，在思想方法上是相通的。、学生对数学的思考往往来自于个别范例和具体活动。

二、学生对数学的思考来自于个别范例和具体活动

数学的特点之一是抽象，而形式化的表述使数学更抽象，教师和学生都在经受“抽象”炼狱的考验，不通过抽象关，就不能说理解了数学。然而，如果拿抽象作为挡箭牌，把活生生的数学背景一笔抹去，那是一种认识的误区。项武义教授曾经生动地把数学比喻为美女西施，如果仅把数学形式地逻辑演绎一番，无异于把西施放在X光下透视，看到的只是一幅骨架，毫无美感。当然如果“美女”有病，X光检查很管用。总之，数学教师的责任是把数学有血有肉地表现出来。

以几何学为例，如果说几何学的任务是理解空间的本质，那么，几何教学应该从数学地组织空间开始，通过这样的活动构成几何理解。可实际却正好相反，几乎所有课程都是从已经形式化的组织好的数学对象开始，学生被剥夺了将一个非数学的题材形成为数学内容的数学化机会，同时也堵塞了纯数学与应用数学之间的联系。

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什么是几何学的“教育形态”，如何激起学生火热的几何思考?首先应当为学生创设一种可以活动的数学环境。这里有两个经典的例子。

弗赖登塔尔曾描述过一个比和比例的教学设计：一天早晨学生走进教室，发现窗开着，黑板上有个大手印，学生都认为一定是巨人来了。他们很惊讶，不知巨人有多高。老师把手掌放在巨人的手印上，看上去巨人的手比老师的大4倍。学生测量老师的身高，然后剪了一根线，线的长度是老师身高的4倍，将这根线挂在墙上，表示巨人的高度。根据这段经历，学生开始一系列调查，描述巨人课桌、巨人靴子、特大报纸、特大蛋糕等等的长度、面积、体积。这样的数学活动把比和比例的数学内涵和底蕴揭示得淋漓尽致。

另一个例子，上海长宁区“数学活动教学小组”的“坐标课”设计，将教室中课桌椅并拢，拉两根相互垂直的长绳，一人为原点，于是每个人都有坐标。象限、直线、坐标轴都可通过学生的活动演示。坐标原点可以移动，正是坐标变换的影子。这种只有“整数坐标”的数学活动，比起抽象地讲数轴、坐标系，更生动、更实际、也更深刻。

以上两个例子表明，恢复学生“火热的思考”，最好的办法是通过再创造把数学化的过程尽可能变成适合学生的可操作活动。借助操作活动显示数学的特征，暴露数学的内涵以及朴素的数学思考过程。冰冷的美丽可以转化为火热的思考，抽象的数学形式能够形成数学的教育形态。这些，需要教师精心设计，付出心血。

当然，数学教学不能只停留在操作层面，还应上升到抽象层面，使概念的形成由“过程”向“对象”转换，从而达到“凝聚”。用范·希尔夫妇(Van Hicles)的话说：学习过程是由各层次构成的，用低层次铭方法组织活动就成为高层次的分析对象；低层次的运算内容又成为高层次的题材。

对此，弗赖登塔尔从另一个角度阐述：人们不懂音乐理论仍可以唱歌，不学机械力学照样获得熟练的手艺与实验技能，„„。而数学必须将学生提高到更高层次，如果不是全面提高，也至少要在某一部分上，那样他才能理解最低层次活动的意义。

因此，比和比例的教学、坐标系的建立，最后仍要上升到抽象的层面，以掌握数学知识的“学术形态”。如此，学生才会感觉到这种冰冷的美丽。

三、恢复学生的火热思考，帮助学生揭示数学的内在联结

数学是一种知识体系，通过概念的分析、生成和组织，形成和谐的整体。因此，

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数学的教育形态之一就是把教科书线性排列的知识“打乱”，同时融合不同学科的相关知识，由内在联结串起来，建立网络。这样，学生的火热的思考就在于凸现思维网络的“结点”，在纷繁复杂的干扰中寻找本质的感性的信息，从而使教学达到对数学内在本质的认识。

美国的NCTM《数学课程标准》把数结(Connection)作、为数学的基本能力之一，很有见地。这里，让我们举例说明，如何认识、组织和设计数结点，形成学生的火热的“联结性”思考。

勾股定理的证明。这是代数和几何的结合点。我国赵爽的证明具有代数的特点，是中国古代数学传统的体现。学生可以用“出入相补”原理，根据面积相等证实，也可以使用代数运算证明。这种数学之间的连接曾是古代数学家火热思考的焦点，值得后人仔细品味。

中学代数的本质是不定元和数字之间的四则运算，特别是分配律的运算。分配律是惟一把加法和乘法联系在一起的运算规律，小学里的“凑十法”、“去括号”都与此有关。中学课程的数算，如合并同类项、因式分解、配方等知识，基本连接点就是分配律。因此在提取公因式的教学中应恢复学生关于分配律的火热思考，使分配律思想在不同的，或许是相互没有联系的情境中应用。

三角函数的教学，从静态的正弦定理、余弦定理到动态的周期变化、潮水涨落、弹簧及波的振动以及在轴上均匀旋转的轮子边缘上荧光点的运动等现象，把代数式、三角形、单位圆、投影、波、周期等离散的领域联系在一起。正是三角函数使它们形成有机整体，同时它们也是三角函数在不同侧面的反映。因此三角函数教学应通过再创造恢复学生火热的思考，使之返璞归真。让三角函数丰满起来，才能把教科书上定义——公式——图像——性质——应用这种冰冷的美丽变成学生丰富的联想，使学生在某一领域孤立学习的主题迁移到另一领域。

余弦定理是代数式与三角形的联结点。如证明如下题目，用余弦定理观察代数式就是关键，是学生火热思考的来源。 已知x0,y0,z0，求证

x2xyy2y2yzz2z2zxx2

再如：

设x,y为实数且满足关系式

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3(x1)1997(x1)1, 3(1y)1997(1y)1,则xy（ ）。

通过对题设的观察，构造出函数：f(t)t31997t，是奇函数，且在（-1，1）上是单调增函数。 又由已知：

f(x1)f(1y)，所以x11y，由此得xy2

能否构造出上述函数是学生的思考是否火热的检验。在解题教学中，引导学生寻找恰当的切入点，以跨越关键是实现由知识向能力转化的前提。

综上所说，返璞归真，寻求数学的本原，找到数学知识网的结点，就能纲举目张，以一当百。我们常常有一种感觉，读一篇论文，洋洋洒洒好几页，一旦说穿了只不过是几个关节点的新思考，如果要口头说明不过是几句话的事。同样，中学数学解题，看起来由头到尾写了很多步，说到底不过是一个技巧、一个想法而已。火热的思考往往只在一些关节点上发生，其余的都是常规。华罗庚先生说过，读书要把书读到越来越薄才好，也是说要在关节点上进行火热的思考，抓住关键，提纲挈领，一本书就成了不多的一点东西。

四、火热的思考，应该提高到“数学思想方法”的高度

像一切科学一样，数学也是一门由特定的思想方法组成的学问。数学不等于逻辑，数学远远多于逻辑，形式化不是数学的起源，也不是最终的目标。掌握数学思想方法，认识客观世界的数量变化规律，并用于认识世界和改造世界，才是数学科学的真谛。因此，通过数学学习使学生理解数学的价值，经受思想方法的训练，是返璞归真的重要一环。

在数学思想方法的训练上，中国数学教学已经积累了丰富的经验，体现了中国数学教学的特长。以下三点，希望能做一点补充。

第一，需要宏观把握数学思想方法。数学的特征是什么?数学方法有哪些特点?与其他科学方法有什么不同?我们应当用各种方法使学生体验数学思想的威力，受到心灵上的震撼。

例如，几何学的第一个定理：对顶角相等。量一量、看一看就得到结论，学生也

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不会提出疑义。但是，数学教学不能停留在这一点上。教师应当在这里介绍古希腊学者的深邃思考，把它归于更原始的公理：等量减等量仍为等量。接受对顶角相等的结论并非难事，认识到此事需要证明才是数学教学的目标。同样，学习等腰三角形底角相等的结论也是如此。有证明的必要，才有学习数学的冲动。

第二，要善于使用“平台”方法。到了19世纪，一方面数学因实际需要的刺激而大力发展应用数学，另一方面，则向人类思维能力的深度进军，非欧几何、四元数、群论、分析学的严密化等等思辨性数学发展迅速。其中和中学密切相关的内容有皮亚诺的自然数公理、戴德金的实数公理、希尔伯特的几何公理体系等等，这些，以前都作为师范大学数学系的必修课。其实，在中学这些都可以作为平台使用，我们不必知道它们的具体内容，只要知道它的价值，然后“大胆地往前走”就是了。打个比方，我们都厂解并会使用WINDOWS、几何画板等软件平台，但无需知道它们的内部结构、不必懂得它们是如何做出来的。

会用“平台”是一种数学教学方法。其实，面积也是“平台”，我们从未定义过面积，却一直在使用(在大多数人不知道约当测度相当于通常的面积情况下)。实数系和数轴上的点一一对应，大家也默认这一“平台”(线段的可公度理论相当烦琐)。有人建议，瞬时速度是否可以作为“平台”接受下来，而对数的首数和尾数、开平方、三角恒等变换，乃至二次曲线等问题，是否都该问问它们的出发点在哪里?

我们认为，这些都是火热的数学思考的一部分，是从数学知识的教育形态出发应该思考的问题。

第三，数学建模方法。这是数学基本方法之一，徐利治先生早有论述，可惜我们通常看到的数学思想方法，只是“化归”一种类型，把建模方法排除在外(波利亚也是如此)。这样做的结果便是高考中的数学应用题的得分率始终提不高。实际上，数学教学要恢复火热的思考，数学建模思想方法是必须抓住的一环。限于篇幅，我们在此不予以屏开二

最后，需要说明的是，数学的表达方式仍然是形式化的。数学形式化是数学学习的重要组成部分，冰冷的形式化依然是美丽的。我们主张火热的思考，正是为了能够欣赏这种美丽。反过来说，天天在形式化的圈子里打转，难道就能懂得形式化的本意?火热的思考是为了理解。将数学的学术形态转化为教育形态是数学教师的职责，我们要研究如何在冰冷的美丽与火热的思考之间寻找平衡点，做到既有形式的表达，

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更有火热的思考，而不要淹没在形式的海洋里。 练习与思考题 1．数学教案设计

2．实践性教学（授课、说课） 3．微格教学——数学教学技能训练。

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