二阶常系数微分方程

二阶常系数常微分方程

定义1(二阶线性微分方程)

y󰀂󰀂+P(x)y󰀂+Q(x)y=f(x).

称形如(1)式的微分方程称为二阶线性微分方程。定义2(二阶齐次线性微分方程)

y󰀂󰀂+P(x)y󰀂+Q(x)y=0.

称形如(4)式的微分方程称为二阶齐次线性微分方程。定义3(二阶常系数线性微分方程)

y󰀂󰀂+py󰀂+qy=f(x),

其中p,q∈R。称形如(3)式的微分方程称为二阶线性微分方程。定义4(二阶常系数齐次线性微分方程)

y󰀂󰀂+py󰀂+qy=0.

其中p,q∈R。称形如(2)式的微分方程称为二阶齐次线性微分方程。

为了表达上的方便，在本章我们约定：

F(y)=y󰀂󰀂+P(x)y󰀂+Q(x)y.

从而齐次线性微分方程(2)和线性微分方程(1)可以分别表示为：

F(y)=0,

容易验证F具有以下两条性质：1.F(cy)=cF(y),其中c∈R;2.F(g1+g2)=F(g1)+F(g2).

这就是我们所说的线性，也是我们称(1)和(2)为线性微分方程的原因。注上面的两条性质等价于：

F(c1g1+c2g2)=c1F(g1)+c2F(g2),

c1,c2∈R.

(6)

F(y)=f(x).

(5)(4)(3)(2)(1)

在解线性微分方程(1)前，我们先看看它的解之间有没有什么关系？若g1,g2是它的两个解，则

F(g1)=f(x),

由公式(6)可知：

F(g1−g2)=F(g1)−F(g2)=f(x)−f(x)=0.

即g1−g2是齐次线性微分方程(2)的解。可见线性微分方程(1)的解和齐次线性微分方程(2)的解之间有密切的关系。我们称齐次线性微分方程(2)是线性微分方程(1)所对应的齐次线性微分方程。

1

F(g2)=f(x).

注从上面的分析可知，线性微分方程(1)的任意两个解的差都是齐次线性微分方程(2)的解，从而只要我们知道了线性微分方程(1)的一个特解和齐次线性微分方程(2)的所有解，我们就知道了线性微分方程(1)的所有解。

下面我们来看如何求解齐次线性微分方程，利用公式(6)容易证明：定理1如果g1,g2是齐次线性微分方程(2)的两个解,则

c1g1+c2g2,

c1,c2∈R.

都是齐次线性微分方程(2)的解。特殊地，若g是齐次线性微分方程(2)的解,则对于任意实数c，cg也是它的解。

这个定理告诉我们如何利用齐次线性微分方程的已知去构造它的其它解，但并没告诉我们如何求一个齐次线性微分方程的所有解。为了给出齐次线性微分方程的所有解，我们现引入函数线性相关性的概念。

定义5(函数的线性相关)设f(x)与g(x)为两个函数，若存在两个常数c1,c2(不同时为零)使得：

c1f(x)+c2g(x)≡0则称函数f(x)与函数g(x)线性相关，否则称它们线性无关。

注显然，若f(x)≡0，则f(x)与g(x)一定线性相关；一般若函数f(x)与g(x)都不恒等与零，我们只要看两个函数的比值f(x)/g(x)就行了，如果它是一个常值函数，则f(x)与g(x)线性相关；如果不是，则f(x)与g(x)线性无关。定理2如果g1,g2是齐次线性微分方程(2)的两个线性无关解,则它的任意一个解都有形式：

c1g1+c2g2,c1,c2∈R.注这个定理虽然没有给我们指出解二阶齐次线性微分方程的具体方法，但是为我们寻找二阶齐次线性微分方程的所有解提供了理论上的依据。对于任意一个二阶齐次线性微分方程，只要我们能找到(无论用什么方法)它的两个线性无关解，就能够找到齐次线性微分方程的所有解。

利用这个定理我们可以解一部分二阶齐次线性微分方程，当方程比较简单时我们可以猜到齐次线性微分方程的解是什么类型的函数。

例1(二阶欧拉-柯西方程)求微分方程x2y󰀂󰀂+2xy󰀂−6y=0的通解。

提示我们首先在基本初等函数中寻找有满足条件的函数，根据基本初等函数的一阶、二阶导数的公式可知，能够满足这个微分方程的只有幂函数xa这种类型的函数。另外由系数的表达式也可以看出此方程很有可能有幂函数解。

解:若y=xa，则

y󰀂=ax(a−1),

计算可得：

0=x2y󰀂󰀂+2xy󰀂−6y

=a(a−1)xa+2axa−6xa=(a2+a−6)xa=(a−2)(a+3)xa

从而a=2或a=−3，即x2,x−3是原微分方程的两个线性无关解，又因为原微分方程是二阶齐次线性微分方程，所以由定理2可知其通解为：

y=c1x2+c2x−3,

2

c1,c2∈R.

y󰀂󰀂=a(a−1)x(a−2).

例2求微分方程(x−1)y󰀂󰀂−xy󰀂+y=0的通解。

提示我们首先在基本初等函数中寻找有满足条件的函数，根据基本初等函数的一阶、二阶导数的公式可知，能够满足这个微分方程的只有指数函数ax和幂函数xa这两种类型的函数。另外由系数的表达式也可以看出此方程很有可能有幂函数解。

这个方程有指数函数解是比较偶然的事，是因为y󰀁󰀁和y󰀁的系数中x的最高次数相等，且各项的系数恰当而导致的，若改成(x−1)y󰀁󰀁−xy󰀁+2y=0,(x−1)y󰀁󰀁−2xy󰀁+y=0等等，都不会有指数函数类型的解。

对与幂函数xa类型的解(可能是多项的和)，我们可先判断a最大为多少。由幂函数的求导公式可得a=1，从而判断原微分方程有x+b类型的解，之所以把x的系数设为1，是因为定理1的缘故。

解:若y=erx，则计算可得：

y󰀂=rerx,y󰀂󰀂=r2erx.

0=(x−1)y󰀂󰀂−xy󰀂+y

=(x−1)r2erx−xrerx+erx=((r2−r)x−r2+1)erx=(r−1)(rx−r−1)erx

从而r=1，即ex是原微分方程的一个特解。

若y=x+b，则计算可得：

0=(x−1)y󰀂󰀂−xy󰀂+y=−x+x+b=b

从而y=x是原微分方程的一个特解。所以由定理2可知其通解为：

y=c1ex+c2x,

c1,c2∈R.

对于一般的齐次线性微分方程，没有固定的解法，第一个特解只能根据经验先猜出具体的形式然后再解出来。但幸运的是对于常系数的齐次线性微分方程我们有统一的方法可以找到它的所有解，我们先给出二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式：

在给出一般的解之前我们先看几个例子。例3求微分方程y󰀂󰀂+3y󰀂−4y=0的通解。

提示根据基本初等函数的一阶、二阶导数的公式可知，指数函数ax(这里我们一般写成erx的形式)有可能满足这一方程。

解:设y=erx，计算可得：

0=y󰀂󰀂+3y󰀂−4y=(r2+3r−4)erx=(r−1)(r+4)erx

从而r=1或r=−4时，erx是原微分方程的解。即ex和e−4x是原微分方程的两个线性无关解，从而由定理2可知原微分方程的通解为：

y=c1ex+c2e−4x,

3

c1,c2∈R.

根据上面这个微分方程的求解过程我们可以看出对于一般的二阶常系数齐次线性微分方程只要一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根，我们都可以通过上面的方法求出它的通解。

定义6(常系数线性特征方程)称一元二次方程

r2+rx+q=0.

为二阶常系数线性微分方程(3)的特征方程。

如果二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程只有一个实数根，则通上题的解法只能找到一个特解，那它的另外一个特解是什么形式的呢？下面我们看一个这种类型的例子。

例4求微分方程y󰀂󰀂−4y󰀂+4y=0的通解。

提示根据上一题的求解过程，只能求得此微分方程的一个特解为e2x，但另一个特解的形式不太容易看出来，这里我们可以用在微分方程中常用的常数变异法，设其特解为g(x)e2x，其中g(x)是一个未知函数。

解:设y=erx，计算可得：

0=y󰀂󰀂−4y󰀂+4y=(r2−4r+4)erx=(r−2)2erx

即e2x是原微分方程的特解。设y=ge2x，其中g是一个关于x的函数，则：

y󰀂=(g󰀂+2g)e2x,

代入原微分方程可得：

0=y󰀂󰀂−4y󰀂+4y

=(g󰀂󰀂+4g󰀂+4g−4(g󰀂+2g)+4g)e2x=g󰀂󰀂e2x

容易看到g=x满足这一条件，即xe2x是原微分方程的特解。从而由定理2可知原微分方程的通解为：

y=e2x(c1x+c2),

c1,c2∈R.

y󰀂󰀂=(g󰀂󰀂+4g󰀂+4g)e2x.

注在找满足条件0=g󰀂󰀂e2x的函数g时，我们并不需要解(尽管很容易解)微分方程g󰀂󰀂=0，只需要它的一个非常值特解就可以了。

根据实系数一元二次方程的求根公式可知，一元二次方程可能有两个实根，一个实根或两个共轭的复根。当二阶常系数齐次线性微分方程有两实根或一个实根时，它的通解我们已经能够计算了，那么当它有两个复数根时，它的通解是什么呢？能不能像有两个实数根那样写成指数形式erx呢？答案是肯定的，只不过我们要欧拉公式而已。

ea+ib=ea(cosb+isinb).

(7)

其中a,b∈R,i是虚数单位。由于我们在实数范围内处理，所以我们希望去掉虚数单位。如果常系数齐次线性微分方程(4)的一对共轭复根为a±ib，直接把y=e(a+ib)x代入微分方程，利用两个复数相等其实部和虚部分别相等可知，eaxsin(bx),eaxcos(bx)都是这个微分方程的特解。

4

例5求微分方程y󰀂󰀂−6y󰀂+10y=0的通解。解:特征方程：

r2−6r+10=0.

有一对共轭复根3±i1,令y=e3xsinx，则：

y󰀂=e3x(3sinx+cosx),

代入方程左侧可得：

y󰀂󰀂−6y󰀂+10y

=(8sinx+6cosx−6(3sinx+cosx)+10sinx)e3x=0

即y=e3xsinx是微分方程的一个特解，同理可证y=e3xcosx也是微分方程的一个特解，所以由定理2可知原微分方程的通解为：

y=e3x(c1sinx+c2cosx),

c1,c2∈R.

y󰀂󰀂=e3x(8sinx+6cosx).

总结上面三个例子我们可以得到下面的定理：

定理3(二阶常系数齐次线性微分方程的通解)二阶常系数齐次线性微分方程的通解可以根据它的特征方程的特征根的情况可以分成三类：1.特征方程有两个不相等的实根r1=r2，则微分方程的通解为:

c1er1x+c2er2x,

c1,c2∈R.

2.特征方程有两个相等的实根r1=r2=r，则微分方程的通解为:

erx(c1x+c2),

c1,c2∈R.

3.特征方程有两个共轭的复根α±iβ,其中β=0，则微分方程的通解为:

eαx(c1sin(βx)+c2cos(βx)),

c1,c2∈R.

5