高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》专项训练及答案

一、选择题

1．直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若|MN|23．则k的取值范围是（ ） A．,0

4【答案】A 【解析】 【分析】

可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解 【详解】

3B．0,

43C．3,0 3D．,0

23

如图所示，设弦MN中点为D，圆心C(3,2),Qykx3kxy30

弦心距CD|3k23|k(1)22|3k1|k12，又|MN|厖23|DN|23DN2?3，

|3k1|由勾股定理可得DN2CN2CD2223，…2k1|3k1|k21剟1|3k1|3k21(3k1)2剟k21k(4k3)0剟k0

4答案选A 【点睛】

圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。处理过程中，直线需化成一般式

2．已知抛物线C:x26y的焦点为F直线l与抛物线C交于A,B两点，若AB中点的纵坐标为5，则|AF||BF|（ ） A．8 【答案】C 【解析】 【分析】

设点A、B的坐标，利用线段AB中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得y1y2的值，即

B．11

C．13

D．16

可得结果； 【详解】

抛物线C:x6y中p＝3， 设点A（x1，y1），B（x2，y2），

由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3， 又线段AB中点M的横坐标为∴y1y2＝10， ∴|AF|+|BF|＝13； 故选：C. 【点睛】

本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．

2y1y25， 2

y23．已知椭圆C:x1，直线l:yxm，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，

2则m的取值范围是( )

2A．22, 33B．22, 44C．33, 33D．33, 44【答案】C 【解析】 【分析】

设Ax1,y1，Bx2,y2是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为Mx0,y0，根据椭圆C上存在两点关于直线l:yxm对称，将A，B两点代入椭圆方程，两式作差可得

y02x0，点M在椭圆C内部，可得m22m21，解不等式即可.

【详解】

设Ax1,y1，Bx2,y2是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为Mx0,y0， 则x1x22x0，y1y22y0，kAB1.

2y12y22又因为A，B在椭圆C上，所以x1，x21，

2221两式相减可得

y1y2y1y22，即y02x0. x1x2x1x2又点M在l上，故y0x0m，解得x0m，y02m.

33m因为点M在椭圆C内部，所以m2m1，解得3,3.

22故选：C 【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.

x24．如图，F1,F2是椭圆C1:y21与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第

4二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）

A．2 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

B．3

C．

3 2D．6 2试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(23)2，∴a＝2，∴e＝考点：椭圆的几何性质．

36. ＝22

x25．已知椭圆C：y21的右焦点为F，直线l：x2，点Al，线段AF交椭圆C于

2uuuvuuuvuuuv点B，若FA3FB，则AF＝( )

A．2 C．3 【答案】A 【解析】 【分析】

B．2 D．3

uuuvuuuv41A2,nBx,yF(1,0)设点，根据FA3FB，得x0，y0n，根据点，00，易知

33uuuvB在椭圆上，求得n=1，进而可求得AF2

【详解】 根据题意作图：

设点A2,n，Bx0,y0．

x2由椭圆C：y21 ，知a22，b21，c21，

2即c1，所以右焦点F(1,0)．

uuuvuuuv由FA3FB，得1,n3x01,y0．

所以13x01，且n3y0. 所以x041，y0n. 33x2将x0，y0代入y21，

2141得n1.解得n21， 233uuuv2所以AF12n2112.

故选A 【点睛】

本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.

22

x2y26．已知双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点分别为F1,F2，以F1F2为直径的

ab圆交双曲线C于P,Q,M,N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为

（ ） A．22 【答案】D 【解析】 【分析】

设P、Q、M、N分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出

B．22 C．22 D．22

22Pc,c，将点P的坐标代入双曲线C的方程，即可求出双曲线C的离心率. 22【详解】

设双曲线C的焦距为2cc0，设P、Q、M、N分别为第一、二、三、四象限内的点，

由双曲线的对称性可知，点P、Q关于y轴对称，P、M关于原点对称，P、N关于x轴对称，由于四边形PQMN为正方形，则直线PM的倾斜角为

，可得422P2c,2c， c2c2c2c21， 将点P的坐标代入双曲线C的方程得221，即2222a2ca2a2be2e21，整理得e44e220， 设该双曲线的离心率为ee1，则222e1解得e222，因此，双曲线C的离心率为22. 故选：D. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.

7．设抛物线E：y26x的弦AB过焦点F，|AF|3|BF|，过A，B分别作E的准线的垂线，垂足分别是A，B，则四边形AABB的面积等于( ) A．43 【答案】C 【解析】 【分析】

由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出

B．83 C．163 D．323 A，B的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】

33解：由抛物线的方程 可得焦点F(，0)，准线方程：x，

22由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，

3设直线AB的方程为：xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

23xmy联立直线与抛物线的方程：2，整理可得：y26my90，

2y6x所以y1y26m，y1y29，x1x2m(y1y2)36m23，

uuuruur|AF|3|BF|因为，所以AF3FB，

33即(x1，y1)3(x2，y2)，可得：y13y2， 222y26m12m所以可得：即， 23y932由抛物线的性质可得： AABBABx1x23316m266g68， 2231|y1y2|(y1y2)24y1y236m23636g3643，

3由题意可知，四边形AABB为直角梯形，

11|y1y2|g8g43163， 所以SAABB(AABB)g22故选：C．

【点睛】

本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．

x2y28．如图所示，已知双曲线C：221a0,b0的右焦点为F，双曲线的右支上

ab一点A ，它关于原点O的对称点为B，满足AFB120，且BF3AF，则双曲线

C的离心率是( )

A．

27 7B．

5 2C．

7 2D．7

【答案】C 【解析】 【分析】

利用双曲线的性质，推出AF，BF，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】

x2y2解：双曲线C:221(a0,b0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于

ab原点O的对称点为B，满足AFB120，且|BF|3|AF|，可得|BF||AF|2a，|AF|a，|BF|3a，

1FBF60，所以FF2AF2BF22AFgBFcos60，可得4c2a29a26a2，

24c27a2，

所以双曲线的离心率为：e故选：C．

7． 2

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

y2x29．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，

ba且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )

A．25 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x则抛物线的焦点为（2，0）；

B．23 C．43 D．45 p，则p=4， 2则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；

点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y由双曲线的性质，可得b=1； 则c1x， 25，则焦距为2c=25；

故选A．

x2y210．已知双曲线21(b0)的左右焦点分别为F1,F2，其一条渐近线方程为

2buuuruuuuryx，点P(3,y0)在该双曲线上，则PF1PF2=( )

A．12 【答案】C 【解析】 由题知

，故

，

B．2

C．0

D．4

uuuruuuur∴PF，故选择C． 1PF2(23,1)(23,1)3410

11．已知F1,F2分别双曲线3x2y23a2(a0)的左右焦点，是P抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若PF1PF212 ，则抛物线的准线方程为（ ） A．x4 【答案】C 【解析】

B．x3

C．x2

D．x1

x2y22222由题得双曲线的方程为221，所以ca3a4a,c2a.

a3a所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.

PF1PF212,PF26a. 由题得PF1PF22aa(舍）或x3a. 3由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.

联立双曲线的方程和抛物线的方程得3x8ax3a0,x22点睛：本题的难点在于如何找到关于a的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.

x2y212．已知点P是椭圆221(ab0,xy0)上的动点，F1(c,0)、F2(c,0)为椭圆

ab的左、右焦点，O为坐标原点，若M是F1pF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是( ) A．(0,c) 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP， ∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，

连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1F2中点 ∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2|| ∵在椭圆

则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，

∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0+a﹣ex0|=|2ex0|=|ex0| ∵P点在椭圆∴|x0|∈（0，a]，

又∵当|x0|=a时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a） ∴|OM|∈（0，c）． 故选A．

上，

中，设P点坐标为（x0，y0）

B．(0,a)

C．(b,a)

D．(c,a)

y213．如图，F1,F2是双曲线C1:x1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一

32C象限的公共点，若F1AF1F2，则2的离心率是（ ）

A．

1 3B．

1 5C．

2 3D．

2 5【答案】C 【解析】

y2由C1:x1知c2，F1AF1F24

32∵F1AF2A2 ∴F2A2

∵由椭圆得定义知2aF1AF2A6 ∴a3,e故选C

c2 a3

xyx214．已知椭圆C1：y21，双曲线C2：221(a,b0)，若以C1的长轴为直

13ab径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且椭圆C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率是（ ） A．3 【答案】A 【解析】

由已知得OA13，设OA的方程为ykxk0,x00，可设A(x0,kx0)，进一步

B．3

C．5 D．5

221313k,可得1kx013，得A1k21k22,AB的一个三分点坐标为2131313k2,，该点在椭圆上，1k13k31k231k21k213113k91k2，即122b2，解得k2，从而有22,b22a2，解得

a2ca2b2e3，故选A. 2aa【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及椭圆的离心率，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c，从而求出e;②构造a,c的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．

15．如图所示，点F是抛物线y24x的焦点，点A,B分别在抛物线y24x及圆

(x1)2y24的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围

（ ）

A．(4,6) 【答案】A 【解析】

B．[4,6] C．(2,4) D．[2,4]

由题意知抛物线y4x的准线为x1，设A、B两点的坐标分别为A(x1,y0)，

2B(x2,y0)，则|AF|x11．

2y4x 消去y整理得x22x30，解得x1， 由22x1y4∵B在图中圆x1y24的实线部分上运动， ∴1x23．

∴FAB的周长为AFFBBA(x11)2(x2x1)x23(4,6)． 选A．

点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用．特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单．

2

rrrrrrrrrrrrr16．已知平面向量a,b,c满足abab2,acb2c1，则bc的最小值

为（ ）

A．

75 2B．

73 2C．5-23

D．

31 2【答案】A 【解析】 【分析】

rrrrr，3，b2，根据题意，易知a与b的夹角为60，设a=10，cx,y，由

rrrracb2c1，可得x2y22x3y10，所以原问题等价于，圆

210之间距离的最小值， 利用圆心和点2，00上一动点与点2，2的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】

rrrrrrrrabab2a=1，3因为，所以a与b的夹角为60，设，b2，0，rcx,y， x2y22x3yrrrr122因为acb2c1，所以xy2x3y0，

2rr2又bcx2y2，

所以原问题等价于，圆xy2x3y值，

2210之间距离的最小0上一动点与点2，23151，0与圆又圆xy2x3y0的圆心坐标为，半径为，所以点2，222

22x2y22x3y210上一动点距离的最小值为235752. 21222故选：A. 【点睛】

本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．

x2y21) 的直线与椭圆17．过点M(1，1 交于A ，B 两点，且点M平分AB ，则直

43线AB 的方程为（ ） A．3x4y70 B．3x4y10

C．4x3y70 【答案】A 【解析】

D．4x3y10

22x12y12x2y2 设A(x1,y1),B(x2,y2)，代入椭圆的方程可得1,1，

4343 两式相减可得

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，

44y1y2k， x1x2 又x1x22,y1y22, 即为k3(x1x2)3，

4(y1y2)4 则直线AB的方程为：y13(x1)，化为3x4y70，故选A． 4 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，注意运用“点差法”的应用，考查了学生的推理与计算能力，试题比较基础，属于基础题，解答此类问题的关键在于把握弦的中点，恰当的选择“点差法”是解答的关键．

x2y218．已知双曲线C：221a＞0，b＞0的一条渐近线与圆x2(y23)24相交

ab于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（ ）

A．23 3B．3

C．2 D．4

【答案】C 【解析】 【分析】

求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a、b关系式，然后求解离心率即可． 【详解】

由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay＝0， 圆x2(y23)24的圆心为(0,23)，半径为2， 由题意及|AB|＝2，可得(23aa2b2)21222，

12a2b2＝3a2，可得c2﹣a2＝3a2，即c24a2 ，即3a2b2c2． a故选：C． 【点睛】

所以e本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立a,b,c的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

x2y219．双曲线C:221(a0,b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的

ab焦距等于（ ）． A．2 【答案】C 【解析】

试题分析：设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为

，由条件可知

，

B．22

C．4

D．42 ，又，解得，故答案选C．

考点：双曲线的方程与几何性质

x2y220．已知双曲线E:221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上

ab的一点，且|PF22PF1|.若直线PF2与双曲线E的渐近线交于点M，且M为PF2的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )

1A．yx

3【答案】C 【解析】 【分析】

B．y1x 2C．y2x D．y3x

△PF1F2的中位线，可得OMa，在由双曲线定义得PF24a，PF12a，OM是

△OMF2中，利用余弦定理即可建立a,c关系，从而得到渐近线的斜率.

【详解】

根据题意，点P一定在左支上.

由PF22PF2PF12a，得PF1及PF12a，PF24a， 再结合M为PF2的中点，得PF1MF22a，

又因为OM是△PF1F2的中位线，又OMa，且OM//PF1， 从而直线PF1与双曲线的左支只有一个交点.

222ac4a.——① 在△OMF2中cosMOF22ac由tanMOF2ba，得cosMOF2. ——② acbc2由①②，解得25，即2，则渐近线方程为y2x.

aa故选：C. 【点睛】

本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.