关于数学专业发展前沿的学习心得

关于数学专业发展前沿的学习心得

1.数学中的“混沌”：

混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性--不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。

1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。

与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。

混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。

混沌系统对初始条件很敏感。

2.现代控制理论

1）定义：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。

2）现代控制理论的发展过程：现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。这类控制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。1958年，苏联科学家庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。1960～1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论,因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究范围扩大，包括了更为复杂的控制问题。到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立。

现代控制理论所包含的学科内容十分广泛,主要的方面有:线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。

线性系统理论是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系

统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。

3.运筹与最优化

1）历史上的运筹·最优化问题

第一个运筹问题：diet problem

Min x1 + x2 开支

2x1 + x2 3 蛋白质摄入

x1 + 2x2 3 热量摄入

x1 0 马铃薯数量

x2 0 大豆数量

古老的运筹问题：道路交通设计

今有物不知其數，三三數之剩二；五五數之剩三；七七數之剩二，問物幾何？

2）运筹学的应用领域：

军事 经济 计划 金融 物理 化学 生物

信息 分类 人工智能 图像处理 数字信号处理 医疗 天文 工业设计 航空航天 农业 通信 等等

3）从线性规划到整数规划

线性规划的可行域为空间中的超多面体；

求解线性规划的迭代法：

Fourier-Motzkin 消去法

单纯形方法

椭球法

内点法（障碍法）

社会学

单纯形法

Dantzig, 1947: 单纯形法；

Lemke, 19; Beale, 19: 对偶单纯形法；

Dantzig, 1953: 改进单纯形法

椭球法

Shor, 1970 - 1979

Yudin & Nemirovskii, 1976

Khachiyan, 1979

M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver, 1988

给定一个线性规划，如何能求得一个可行解？

求解线性规划的迭代法：

Fourier-Motzkin 消去法：不会再有人用了

单纯形方法：很不错

对偶单纯形方法：更好

椭球法：理论上还算有意思

内点法/障碍法：经常是最快的

能够在较短时间内求解的LP规模

500,000 个变量

5,000,000 个约束

比较容易解的整数规划：

最小支撑树；

匹配问题；

最大流问题；

最小费用流问题；

整数规划问题的解法：

分支定界；

割平面。

TSP问题及其应用

上界：近似求解方法

下界：LP松弛

TSP问题的工业应用：芯片制造 打孔

4.微分方程理论与应用

1）主要内容：梯队介绍（郑连存）、边界层传输问题研究

2）研究方向：常微分方程、泛函微分方程的稳定性与定性理论、解析数论及其应用、非牛顿流体力学 、生物数学

3）研究内容：非线性传输问题的动力学基础及定性行为；传输问题非线性微分方程的近似解析分析方法；分形介质动力学与分数维粘弹性流体的解析理论；微分方程非线性边界值问题；微分方程理论在非线性动力学系统中的应用研究等

4）边界层传输问题研究：研究背景、数学描述、实验台的搭建与测试方法、数值模拟、 理论分析和近似计算

5）边界层：流体在大雷诺数下绕壁面流动时，可把流体的粘性和导热看成集中作用在流体壁面的薄层，即边界层内

6）研究背景：边界层传输问题研究内容，边界层传输问题大多通过分析边界层内微元体的动量、热量和质量守恒，采用一组非线性偏微分方程组进行数学描述；

求解通量守恒方程组来分析确定边界层内速度、温度和浓度分布，探析边界层内剧烈的动量、热量和质量传递规律。 得出工程中需要的重要参数——物面上的摩擦阻力和传热量。

7）边界层问题研究：研究背景、数学描述、实验台的搭建与测试方法、数值模拟、 理论分析和近似计算

8）利用拆分思想改进同伦分析方法，定义并建立了同伦拆分法。基于一系列合理的假设，完成同伦拆分方法的收敛性的证明，首次为使用提供了理论依据。利用收敛定理求解实际流体边界层问题，验证了理论研究的科学性和有效性，初步做到理论与实际结合。

9）渐近方法在边界层问题中应用

求解思路：本课题是非牛顿磁性流体边界层问题上的渐近解研究，求解思路是先引入流函数利用李群变换对现有的边界层无量纲非线性偏微分方程组进行转化，转化成一个常微分方程，将一个描述边界层流动的偏微分方程转化成非线性边值问题来求解；然后同伦分析方法进行求解. 研究幂率速度运动表面非牛顿磁流体边界层问题，结合Adomian拆分方法和同伦拆分方法进行求解。随磁场参数 的增加，壁摩擦力增大；随幂律指数的增大，壁摩擦力减小。磁性参数M的增加，壁面摩擦力增大（两种相符）。随磁性参数M的增加，流体无量纲速度变小。

5. 多尺度数学方法在材料科学凝固过程中的应用

1）数学流体力学发展历史的回顾

主要是航空航天产业的百年辉煌，从人类历史上第一次飞行到向宇宙深处的不断探索，涉及到了理想不可压缩流体的绕流问题。

2）材料科学中金属凝固理论研究进展

背景：材料是人类文明的物质基础，是社会进步和高新技术发展的先导。自20世纪70年始，人们把信息、能源和材料誉为人类文明的三大支柱，80年代以来又把新材料技术与信息技术、生物技术列为高新技术的重要标志。新材料技术的研究、开发与应用反映了一个国家的科学技术和工业化水平。

典型凝固加工的加工技术、理论体系和工艺技术：

理论进展有：

a． 液固相变形核理论-----1940s-50s年代，Turnbull建立了液—固相变中的形核理论

b． 晶体界面生长动力学理论-----1951年Burton、Cabrera和Frank 建立了晶体光滑界面的结构模型与生长动力学理论

c. 成分过冷理论-----1953年Chalmers等提出了界面稳定性概念和成分过冷理论，揭示单相凝固组织出现复杂形态的内在原因

d . 界面稳定性线性动力学理论-----1963和19年Mullins和Sekerka 提出界面稳定性的线性动力学理论,确立界面稳定性与溶质边界层、温度梯度和界面能的关系。

目前的研究方法：

（1）实验方法 合金成分的优化、组织性能的测试、组织形态的形成机制

（2）数值模拟的方法 计算材料科学、利用相场法模拟组织与形态等

（3）数学物理的方法 利用数学方法建立数学模型，分析求解微分方程

3）多尺度数学方法数学在材料科学凝固过程中的应用-----数学物理中的渐近方法

研究背景：新材料的开发与应用，提出了大量的旨在探究与揭示现象的物理本质与机制的基础性课题。对各种形态材料生长系统中的研究，人们发现，复杂纷纭、形态各异地出现在自然界的动力学现象，能呈现出一些普遍的共性特征。服从于具有相似的数学形式的规律； 并且能运用共同的数学概念、途径、工具进行研究。

一些重要的、基础研究领域与学科方向：

（1） 微米尺度上的材料生长与制备过程动力学的研究；

（2） 纳米尺度上的材料生长与制备过程动力学的研究；

（3） 宏观尺度上的材料生长与制备过程动力学的研究

6. 函数的幂级数展开

1)主要内容

函数的幂级数（Taylor级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。

2)指导思想

a.函数的幂级数（Taylor级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。

b.求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级

数展开公式，但一般来说，直接利用（1）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。

3)内容安排

泰勒定理曾指出,若函数f在点x0的某邻域内存在直至n1阶的连续导数,则

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x),2!n! (1)

'这里Rn(x)为拉格朗日型余项

f(n1)()Rn(x)(xx0)n1,(n1)! （2）

其中在x与x0之间,称(1)为f在x0的泰勒公式。

如果在(1)中抹去余项Rn(x),那么在x0 附近f 可用(1)式右边才多项式来近似代替,如果函数f在xx0处存在任意阶的导数,这时称形式为

f''(x0)f(n)(x0)2f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n! (3)

'的级数为函数f在x0的泰勒级数。对于级数(3)是否能在x0附近确切地表达f,或说f在

x0的泰勒级数在x0附近的和函数是否就是f,这就是本节所要讨论的问题。

如果f能在x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,则称函数f在x0的这一邻域内可以

展开成泰勒级数,并称等式

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n,2!n! (4)

'的右边为f在xx0处的泰勒展开式，或称幂级数展开式。

由级数的逐项求导性质可推得:若f为幂级数n0anxn在收敛区间(R,R)上的和函数,则

an0nxn就是f在(R,R)上的泰勒展开式,这是幂级数展开的唯一性问题。

在实际应用上,主要讨论函数在x00处的展开式,这时(3)式可以写作

f'(0)f''(0)2f(n)(0)nf(0)xxx,1!2!n!

称为麦克劳林级数．

注意事项：

1) 如果f(x) 在邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在x0 的Taylor级数（1）；但反之则不然。事实上，我们举出过在x=x0 任意阶可导的函数f(x)，它在x0的Taylor级数并不收敛于f(x)。但一般来说，对于有解析表达式的初等函数f(x)，只要它在x=x0 任意阶可导，则它在x0的Taylor级数就是它在x0邻域的幂级数展开。

2) 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数的收敛半径。但是对

于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后就很容易确定。

7. 细胞神经网络

BP（Back Propagation）网络是1986年由Rumelhart和McCelland为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程。它的学习规则是使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小。BP神经网络模型拓扑结构包括输入层（input）、隐层(hide layer)和输出层(output layer)

BP网络 ：BP算法由数据流的前向计算（正向传播）和误差信号的反向传播两个过程构成。正向传播时，传播方向为输入层→隐层→输出层，每层神经元的状态只影响下一层神经元。若在输出层得不到期望的输出，则转向误差信号的反向传播流程。通过这两个过程的交替进行，在权向量空间执行误差函数梯度下降策略，动态迭代搜索一组权向量，使网络误差函数达到最小值，从而完成信息提取和记忆过程。

二、针对“预见控制”的理解

在日常生活中，我们常根据未来情况决定目前怎么做，例如，今天好像要下雨所以带着伞出门，道路好像很拥挤所以早点出发等就是这样的例子。在这种时候，我们实际上对未来情况不很清楚，所说的“好像…..”只是根据经验或周围情况对未来做出的推测。天气预报以及对赛马结果、股票、汇率的推测在可信性方面也存在一些问题，道理是一样的。于此性质不同的是驾驶汽车的情况，驾驶员看着前边的道路驾驶汽车，他对未来情况是完

全知道的。就是说，他是在能看见前面道路是否为弯道，是否有凹凸不平之处的情况下驾驶汽车，因此他清楚地知道即将到达的前方的道路情况。在机器人、机床等的路径跟踪控制中情况也是这样的。所以，根据未来状况决定当前行动有两种情况。我们把后一种即将未来完全知道的情况叫“预见”，并讨论这种场合恰当地利用未来信息的“预见控制”。前边提到的驾驶汽车的例子中，驾驶员边观察前方的道路状况边驾驶汽车，从控制论角度讲，前边道路的弯曲情况等信息相当于控制系统目标值的未来值，而前边路面的凹凸信息对姿态控制来说相当于干扰。所以通常驾驶汽车不仅根据当前目标值，而且还根据未来目标值及未来干扰来决定当前的控制方案，这样的控制可称之为预见控制。这个例子通过日常生活中驾驶汽车时利用未来信息进行预见控制这一实例，充分说明了预见控制的有效性。当然，在不能利用未来目标值及未来干扰等信息时，仅用当前信息进行反馈控制也能实现对目标值的跟踪，并克服干扰的影响。但若利用未来信息，则可能使控制性能大大改善。

所以，利用未来信息对我们非常有益。

预见控制最初的想法，就是不仅注意过去及现在的目标值，而且注意未来的目标值，使目标值与受控量间的偏差整体地最小。事实上，预见控制理论是最优跟踪控制问题的新的出发点。因为控制对象一般都包含动态项，所以当前时刻施加上的控制输入并不能立即在被控制量上表现出来，而是有一些延迟。所以，了解未来如何要求，即目标值信号及干扰信号如何变化，对确定现在的控制输入自然就是极为重要的信息了。这是预见控制最基本的出发点。