高数下(同济六)知识点汇总

高等数学下册习题常见类型

题型1求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积 题型2由已知条件求平面与直线方程 题型3计算一阶偏导数及高阶偏导数 题型4求多元复合函数的偏导数 题型5求方程所确定的隐函数的偏导数

题型6求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面 题型7求极值、利用拉格郎日乘数法求最值 题型8利用直角坐标计算二重积分 题型9利用极坐标计算二重积分 题型10计算带绝对值的二重积分 题型11利用二重积分证明恒等式 题型12利用对称性质计算二重积分 题型13 只有一种积分次序可计算的积分

解：（将二次积分交换顺序）

题型14利用投影法计算三重积分 题型15 利用柱坐标计算三重积分 题型16利用球坐标计算三重积分 题型17利用切片法计算三重积分 题型18利用三重积分计算立体的体积 题型19计算对弧长的曲线积分 题型20计算对面积的曲面积分 题型21计算对坐标的曲线积分

题型22利用格林公式计算对坐标的曲线积分 题型23曲线积分与路径无关及全微分求积

题型24计算对坐标的曲面积分

题型25利用高斯公式计算对坐标的曲面积分

题型26可分离变量的微分方程、齐次方程 题型27—阶线性微分方程 题型29可降阶方程

题型30二阶常系数非齐次线性方程

第八章向量与解析几何

向量代数 定义 向量 定义与运算的几何表达 有大小、有方向.记作“或丽 在直角坐标系下的表示 a = axi + axj + a:k = {ax ,ciy,a.) y = prjxa,ay = prjya.az = prjza 模 向量“的模记作”1 l\"l = 2「+打+代 和差 一 c =a+b ={比 ±bx,aY ±Z?V,«. c =a +b b c =a—b H 单位向量 “HO,则 ea=^-r 0(a^av9az) \"/+a、2+y2 cos a = dx a v aa 方向余弦 设“与x,y,z轴的夹角分别为a，0，/ . 则方向余弦分别为cos a, cos/7, cos/ a ea =(co cos C?+( 2a a sas cos0, cos/) ?os/7 + cos/ = 1 22点乘（数量积） a b = M问cos0, 角 0为向呈a与b的夹 ab = axbx+ayby+a.bz |c| = 问 sinQ 叉乘（向量积） i a xb = S J k «v 6 c =axb &为向量£与方的夹角 向量c与〃，b都垂直 \\ b、・ bz i 定理与公式 垂直 平行 a 丄b <=>a*Z> = 0 a//Z> <=>ax^ = 0 a ±b <=> axbx +a$b、+\"0 =0 “〃〃o\"x 一\"，一 叫 叽y S b// • h 交角余弦 两向量夹角余弦cos^ = — W 也+哄二唤 m 向量a在非零向量方上的投彩 PM\" = |“|COS投影 叮匕2 •血 . 〜bx+a叭+唤 PrhU _ / 2 2~~F （“％） =兽

平面 法向量 n = {A,B.C} 点 Af0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 方程形式及特征 方程名称 一般式 直线 方向向^T = {mjt,p}点 M（）（%）dG） 方程形式及特征 Ax+ By+Cz. + £) = 0 A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = O Axx+ Bxy + Cxz + Dx = 0 V A2X+ B2y + C2z + D2 = 0 点法式 点向式 x-心 _ y-y0 _ z — 5 m n p !< x = x0 + mt y = >o + m Z xx~x y-y} z—Z| 兀2 一曲 参数式 三点式 J2-J1 G-Z] 心一小儿一X =0 Z3-Z| = Zo + pt 两点式 “一心 _ y - j(> _ z-zo “-X。 Ji-Jo 截距式 面面垂直 面面平行 x y z . -+—+-=1 a b c £ A2 + 5 民 +C| C2 = 0 £ _ d _ C] Z|—Z° 线线垂直 线线平行 m}ni2 +/7|7Z2 + p}p2 = 0 G ■ ■ ■ “ _ n{ _ p、 m2 n2 p2 线面平行 线面垂直 A _ 3 _ C m n p 点面距离 Am + Bn + Cp = 0 面面距离 Mg, y0, z()) Ax+By + Cz + D = O Ax + By + Cz + D^O Ax + By + Cz. + D2=0 _\\Ax0 + By0 + Cz.o + D\\ yjA2+B2+C2 面面夹角 方严{人,久卬方2={ Ad’Cj 2 一

^ + B+C 线线夹角 线面夹角 222S] 1 仏+ B屈+CQ jAj + Bj+Cj.Jk+B'+C?? S? ={加29畀2‘“2} 帆加2+W+P1P2I cosy =(, _= 、b\"； + H； + p； • + p； s = {mji.p} n={A. B.C} 1/1/7? + Bn + Cp\\ sin y ..丄一丁_....= ytA2 + B' +C' +/?2 + p1 X = 0(\" 切向量 切“线”方程=罕5 0（G）肖仇）Q（G） 法平“面”方程： < z = 空 间 曲 线 ( a(X - X。) + 0(兀0)(y -)b)+ 切平“面”方程： 法向量 \"=（耳（无,『0 '乙0 ）, F(x,)，,z) = O 巴（兀”儿，z（J（x - x0） + Fx（xo,yo, z0）（y- y0） F丫（X。, y。‘ 乙。）+Eg」o，Zo）（Z-Zo）= O » 法“线“方程： 空 间 曲 面 F& （如,,乙。）） 力=（一£（心九）, 一人 g,〉Z： y-.Vo _ z-勺 ?F* (x()> )'o, z°) F、、(x0, j'o ZQ ) Fz (x0, yQ, z()) \"面”方程： 切平兀一心 _ b）,l） 或 fX （兀0 ' Jo ）（ X - 入）+ fy （X。，儿）（丿一儿）一 （Z - Z o ） = o 法“线“方程： 兀一必 _ Z = f(x,y) 斤= （£CWo）， 人（兀0，儿），j） y->0 _Z-Zo /AUOOO）人（Xo，）b） j 第十章重积分 重积分 积分类型 计算方法 典型例題 (1)利用直角坐标系 I型 JJ f(x, y}dxdy = f dxf ： /(x, y}dy ―型 JJ P141—例 1、例 3 f(x,y)dxdy = f dyj； ' f(x, y)dx （2）利用极坐标系 D 使用原则 二重积分 D 1 M （1） 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示（含圆弧，直线段）: /=JJ7（x,y 加 （2） 被积函数用极坐标变量表示较简单（含（x2 + r）a, &为实数） 平面薄片的质 t 0 质量二面密度 x面积 ---------- 兀 o --------------- X P147—例 5 jj f （pcos 0. p sin 0）pdpdO D = d0\\ f（pcQsO.ps\\n0）pdp J Cl J 钙（&} C°37 0<<9<2/r ” 0 2 i 0<0< /(x,y)对于X是奇函数， BP/(-x,y)=-/(x, y) 2JJ I = /(x,刃dxdy /(x,刃对于x是偶函数, 即/■(一 x, y) = /O,刃 9是DW右半部分 o 计算步驟及注意事项 1. 画出积分区域 2. 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴.被积函数 关于坐标变量易分离 仁 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 L确定积分限 5.计算要简便 方法：图示法先积一条线，后扫积分域 注意：充分利用对称性，奇偶性 Pl 59—例 1 处处处列截面法 投影 n /(X, y, z)dU = f 叫；呱;:：fa, y,沁 n Pl60—例 2 (2)利用柱面坐标 x = rcosO y = /• sin 0 三重积分 / = 相当于在投影法的基础上直/ 适用围： z = z 由坐标转换成极坐标 P161—例 3 Q ① 积分区域表面用柱面坐标习 民示时方程简单；如烧转体 ② 被积函数用柱面坐标表示日 JJ打(x,y,Z)d 八fdzjjd 空间立体物的 质G 量 寸变量易分离•如f(X + )，2 )/(尤2 +乙2) 2&J ° /(pcos psin 0, z)pdp x = pcQsO = r sin cos & (3)利用球面坐标 质量二密度X 面积 y = psinO = rsin(psin0 Z = PCOS0 C /v =厂 sin (pdrdcpdO P165—10-(1) 适用围： ①积分域表面用球面坐标亍 总示时方程简单;如，球体，锥体. ©被积函数用球面坐标表亍 C 浄 ”、(&.©) R时变量易分离.如，f(x + y+z) 222iin(pcos d psin 0sin 0, pcos(p)p2 sin (pdp (4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

第十一章曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分 积分类型 计算方法 典型例题 養数法(转化为定积分) 第一类曲线积分 ( 1 ) L : y =(p(x) ⑴(a结 论 ： £ Pdx+ Qdy + Rdz. oR oQ , , dP dR oz , , oz ox oQ op t , . )dxdy dx dy \"JJ+ ¥ oy 笫一类曲面积分 ［满足条件直接应用 应用：［不是封闭曲线，添加刪线 投影法 P217-例 U 例2 / = jj/(x,y,z>/v 曲面薄 X : Z = Z(x, y)投彩到 xoy 面 Z 1 = JJ /(儿= JJ /(x, y, z(x, y)) J1 + z； + Z；dxdy 片的质量 质量二面密度X面积 类似的还有投影到yoz面和zox面的公式 (1)投影法 ① || Pdydz=±jJ p(x(y,z),y,zMydz D、. E : z = z(x.y), 了为工的法向量与x轴的夹角 前侧取 “+”，z cos/>0；后侧取 “一”，cos/<0 第二类曲面积分 ② J| 创加=± JJ p(x, y(x, z), zXMv P226-例 2 E : y = y(x.z), 0为工的法向量与y轴的夹角 右侧取 “+”，cos0>O；左侧取 “一”, cos0vO / = |j Pdydz + Qdzdx+Rdxd\\ L 流体流向曲面一侧的流 量 ③ J| Qdxdy = ±jj g(x, y, z(x, y)\\lxdy X : x = x(y,z)9 a为工的法向量与X轴的夹角 上侧取\"+”， cosa>0；下侧取 “一”，cosavO (2)高斯公式 右手法则取定为的侧 条件：①工封闭，分片光滑，是所围空间闭区域G的外侧 ②P, Q, R具有一阶连续偏导数 P231-例 k 例结论：件 Pdydz + Qdzdz + Mxdy = JJj* (芳 + 字 + 岁) ［满足条件2 直接应用 应［不是封闭曲面，添加帝肋面 (3)两类曲面积分之间的联系 || Pdydz +Qdzdx + Rdxd y = (Pcosa+Qcos 0+/?cos/)r/5 z z P228-例 3 ： dz dz 转换投影法:dydz. = ( --- )dxdy dz,dx = ( ---- )dxdy dx dy 所有类型的积分：

① 定义：四步法一一分割、代替、求和、取极限； ② 性质：对积分的围具有可加性，具有线性性； ③ 对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十章级数