浅谈概率问题中的互斥与独立

随着新课程改革的进一步推进，学生在学习方式方面存在的问题也日益突出，特别是职业高中的数学学习，更是以被动的、接受式的学习方式为主，知识接受存在着单一、被动、封闭、单向等特点，新课程理念下的职业高中数学学习方式要求：关注学生在学习过程中的主体地位，提升学生的探究意识和实践能力，培养学生的合作精神。

在求概率问题时，更能体现出学生之间合作的重要性，学生在学习时应具有自主性、探究性、合作性。在解题时常运用概率的加法和乘法公式，但这两个公式的运用都是有条件的。许多同学由于对事件的互斥与独立概念理解不清，不善于将复杂的事件分解为互斥事件的和或独立事件的积，因而在解概率实际问题时常常感到困难。

一、对互斥事件和独立事件的理解

彼此互斥，表示两事件不可能同时发生，若A、B是彼此互斥事件，则当事件A发生时，事件B必不发生；反之亦然。如果从集合的观点看，A、B互斥可理解为AB，若随机事件

A1,A2的概率分别为P(A1),P(A2)。AA1A2从几何关系看，

P(A1),P(A2)表示集合A1、A2面积占面积为1的全集的百分比，而P(A)=P(A1A2)则是集合A1A2占的百分比。

当A1,A2互斥，则表示集合A1,A2相离，A的面积就是A1,A2

面积之和（如图1）。

A1 A2

因此集合AA1A2占的百分比等于A1、A2占面积的百分比之和，即P(A)=P(A1A2)=P(A1)+P(A2)。这个公式称为概率的加法公式，加法公式表示两个互斥事件至少发生其中之一的概率与原两个事件概率之间的关系。

在事件关系中，曾经讲过对立事件，设A是随机事件，那么不发生A也是随机事件，记这个随机事件为A,称A、 对立事件。

因为AA且AA（即A、A互斥）P()1,对A、A应用加法公式，得

P()=P(AA)=P(A)+P(A) 1=P(A)+P(A) 即 P(A)=1—P(A) 或P(A)=1—P(A)

称为反概率公式，它反映了对立事件的概率之间的关系。有时求P（A）不容易，求P(A)却很简单，这时可以利用反概率公式，通过求P(A)来求P(A)。

一个随机事件A发生的可能性，与另一个随机事件B发生与否无关；反之，随机事件B发生的可能性，也与A发生与否

A互为

无关，则称随机事件A、B是独立的。注意，两个随机事件独立和互斥，是不同的概念。A、B互斥，则AB=，因此P(AB)=0，即A、B同时发生的概率为0；而A、B独立，他们可以同时发生，只是发生的概率彼此没有影响。若A、B是两个相互独立的事件，则A与B、A与B、A与B都是相互独立的事件，且事件AB发生（即A、B同时发生）的概率等于事件A、B发生概率的积。一般地，若C=AB，当A、B独立时，则有

P(C)=P(AB)=P(A)P(B)。用语言来说，独立随机事件同时发生的概率是各自发生概率之积。

二、 概率加法公式和乘法公式的运用

例1． 有10个文艺节目，其中3个是小品，现选出5个节目

送电视台播放，求至少有一个小品的概率。

解法一：设：选5个节目至少有一个小品为事件A；5个节目中有一个小品为事件A1；5个节目中有二个小品为事件A2；5个节目中有三个小品为事件A3。显然A1 、A2、A3彼此互斥，且A=A1A2A3



P（A1）=

14C3C75C105= 12 P（A2）=

3C32C75C105= 12 P（A3）=

32C3C75C10=

12P(A)=P(A1A2A3)=P（A1）+ P（A2）+ P（A3）=

11 12解法二：由解法一知，A为选送的5个节目中无小品  P（A）=

05C3C75C10=

11 1212  P（A）=1—P（A）=

分析点评：在求复合事件A的概率时，通常有两种方法：一是将事件A分解为若干个简单的互斥事件A1、A2…AK ，并求出它们的各自概率，再利用加法法则，求出事件A的概率；二是先求出此事件对立事件的概率P（A），再由对立事件的概率公式求P（A）。

例2． 甲乙两位射手独立地向目标射击，其命中率分别是

11, 23求：（1）他们都击中目标的概率；（2）目标被击中的概率 解： 设 A={甲击中目标} B={乙击中目标} C={甲和乙都击中目标} D={目标被击中}

（1） C=AB 且A、B独立，所以据乘法公式 P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=

111236

（2）D=AB， 据反概率公式

P（D）=1—P（AB）=1—P（AB）=1—P（A）P（B）

P（A）=1—P（A）=

112P（D）=1—23312 P（B）=1—P（B）=1—=

1323

教师启发：在解决（2）小题时，可以运用另一种思考方式。一般地，设A、B是任意两个事件，则P（AB）=P（A）+P（B）—P（AB），说明事件AB发生，当且仅当A与B中至少有一个发生，即A发生但B不发生记为AB，或B发生但A不发生记为BA，或A与B同时发生记为AB,显然它们彼此互斥，于是

P（AB）=P（AB）+P（BA）+P（AB） （1） 因为事件A可分解为两个互斥事件AB、 AB的和，所以

P（A）= P（AB）+P（AB）

即 P（AB）= P（A）—P（AB） （2） 同理 P（BA）=P（B）—P（AB） （3） 将（2）（3）代入（1）得

P（AB）=P（A）+P（B）—P（AB）

关于第（2）小题的解答，要注意两点：

第一， AB表示事件A或B都没有发生，即A不发生

且B不发生，也即甲、乙都脱靶，用关系式表示就是AB=AB，因为A、B独立，所以A,B也独立，这是等式（1）的依据。

第二， 尽管有关系D=AB，但因为A,B并不互斥，因

此不能用加法公式，从P（A）、P（B）来求得P（D），遇到这种情况，在A、B独立时，如同（1）所示那样，化为P（AB）求P（AB）问题，是一种典型的手法，务必注意应用。

参考文献：《高中数学教与学》：中学数学教与学编辑部 2003、6 《数学教学参考书》：江苏教育出版社 此文系本人所作，特此承诺。