2009-数二真题、标准答案及解析 (2)

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

xx3

（1）函数f(x)的可去间断点的个数为

sinx

(A)1. (B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

2

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)xln(1bx)是等价无穷小，则

11

. （B）a1，b. 6611

(C)a1，b. （D）a1，b.

66

xsint

（3）使不等式dtlnx成立的x的范围是

1t

(A)a1，b(A)(0,1). (B)(1,

). (C)(,). (D)(,).

22

（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为

f(x) 1 O -1 x

-2 则函数Fx

1 2 3 x

ftdt的图形为

0

f(x)1 O -1 2 3 x (B)

f(x)1 O 1 -1 2 3 -2 (A)

1 -2 x

- 1 -

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f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)

x

(D)

-2 -1 O 1 2 3 x

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|2,|B|3，则分块矩

*

阵

OA

的伴随矩阵为 BO

O3B*(A)*.

2AOO

(B)*

3A2B*

. O2A*

. O

O3A*O(C)*. (D)*

BO23B

100

TT

（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP010，

002

若P(1,2,3),Q(12,2,3)，则QAQ为

T

210110

(A)110. (B)120.

002002200100

(D)020. (C)010.

002002

（7）设事件A与事件B互不相容，则

(A)P(AB)0.

(B)P(AB)P(A)P(B).

(D)P(AB)1.

(C)P(A)1P(B).

（8）设随机变量X与Y相互，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

- 2 -

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P{Y0}P{Y1}

1，记Fz(Z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数Fz(Z)2

的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）limeecosx1x12x03 .

z

 . x(1,0)

（10）设z(xe)，则

yx

en(1)nn

（11）幂级数x的收敛半径为 . 2

nn1



（12）设某产品的需求函数为QQ(P),其对应价格P的弹性p0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

300

TTT

（13）设(1,1,1),(1,0,k)，若矩阵相似于000，则k .

000

(14)设X1，X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS，则ET .

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分） 求二元函数f(x,y)x

2

2

2

2yylny的极值.

2

（16）（本题满分10 分） 计算不定积分ln(1



1x)dx (x0). x（17）（本题满分10 分） 计算二重积分

22

(xy)dxdy，其中D{(x,y)(x1)(y1)2,yx}. D

（18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在a,

b上连续，在a,b上可导，则

a,b，得证f(b)f(a)f'()ba.

（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x0处连续，在0,

- 3 -

,(0)内可导，且limf'(x)A，

x0

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则f(0)存在，且f(0)A. （19）（本题满分10 分）

设曲线yf(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)0.已知曲线yf(x)与直线

''

y0,x1及xt(t1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）

1111

设A=11,11. 1

0422

（Ⅰ）求满足A21，A

2

31的所有向量2，3.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2,3，证明1,2,3线性无关. （21）（本题满分11 分）

设二次型f(x1,x2,x3)ax1ax2(a1)x32x1x32x2x3. （Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1y1，求a的值. （22）（本题满分11 分）

2

2

2

2

2

ex

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0

（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； （Ⅱ）求条件概率PX1Y1. （23）（本题满分11分）

0yx

其他

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求P； X1Z0

（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题解析

- 4 -

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一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

xx3

（1）函数f(x)的可去间断点的个数为

sinx

(A)1. (B)2. (C)3. 【答案】C. 【解析】

(D)无穷多个.

xx3

fx

sinx

则当x取任何整数时，fx均无意义

故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是xx0的解

3

x1,2,30,1

xx313x21limlimx0sinxx0cosxxx313x22lim limx1sinxx1cosxxx313x22limlimx1sinxx1cosx故可去间断点为3个，即0,1

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)xln(1bx)是等价无穷小，则

2

11

. （B）a1，b. 6611

(C)a1，b. （D）a1，b.

66

(A)a1，b【答案】A.

【解析】f(x)xsinax,g(x)xln(1bx)为等价无穷小，则

2

f(x)xsinaxxsinax1acosaxa2sinax

洛lim洛limlimlim2lim2

x0g(x)x0xln(1bx)x0x(bx)x0x03bx26bx

a2sinaxa3lim1 a36b 故排除(B)、(C). x06b6bax

a

- 5 -

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另外lim

1acosax

存在，蕴含了1acosax0x0故a1.排除(D). 2x03bx

所以本题选(A).

（3）使不等式



x

1

sint

dtlnx成立的x的范围是 t

(A)(0,1). (B)(1,【答案】A.

【解析】原问题可转化为求

). (C)(,). (D)(,). 22

xsintx1xsint111sintsint

f(x)dtlnxdtdtdtdt0成立时x的

1x111ttttt

1sint

取值范围，由0，t0,1时，知当x0,1时，f(x)0.故应选(A).

t

x

（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为

f(x) 1 O -1 x

-2 则函数Fx

1 2 3 x

ftdt的图形为

0

f(x)1 O -1 2 3 x (B)

f(x)1 O 1 -1 2 3 -2 (A)

1 -2 x

- 6 -

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f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)【答案】D.

x

(D)

-2 -1 O 1 2 3 x

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由yf(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、

xx0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征：

①x0,1时，F(x)0，且单调递减. ②x1,2时，F(x)单调递增. ③x2,3时，F(x)为常函数.

④x1,0时，F(x)0为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为(D).

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|2,|B|3，则分块矩



*

阵

OA

的伴随矩阵为

BO

O3B*(A). *

O2AO

(B)*

3A2B*

. O2A*

. O

1

C C

O3A*O(C)* (D)*.

2BO3B

【答案】B.

【解析】根据CCCE，若CCC,C

11



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分块矩阵

OAOA22

的行列式（1）AB236，即分块矩阵可逆 

BOBO



1

OAOAOOA

61

BOBOBOA



O1

B6

1O

AA1BB

 O



O61A2

故答案为(B).

1B

3O



3A

O

2B

 O

100TT

（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP010，

002

若P(1,2,3),Q(12,2,3)，则QAQ为

T

210110

(A)110. (B)120.

002002200100

(D)020. (C)010.

002002

【答案】A.

100

【解析】Q(12,2,3)(1,2,3)110(1,2,3)E12(1)，即： 001

QPE12(1)

T

QTAQ[PE12(1)]TA[PE12(1)]E12(1)[PTAP]E12(1)

10E21(1)01

001101

0010

0010

0

0E12(1)2

00100210

1101101002001002

（7）设事件A与事件B互不相容，则

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(A)P(AB)0.

(B)P(AB)P(A)P(B).

(D)P(AB)1.

(C)P(A)1P(B). 【答案】D.

【解析】因为A,B互不相容，所以P(AB)0

(A)P(AB)P(AB)1P(AB)，因为P(AB)不一定等于1，所以(A)不正确. (B)当P(A),P(B)不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当A,B互为对立事件的时候才成立，故排除. (D)P(AB)P(AB)1P(AB)1，故(D)正确.

（8）设随机变量X与Y相互，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

P{Y0}P{Y1}

1，记Fz(Z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数Fz(Z)2

(D)3.

的间断点个数为（ ） (A) 0. (B)1. (C)2 . 【答案】 B.

【解析】FZ(z)P(XYz)P(XYzY0)P(Y0)P(XYzY1)P(Y1)

1

[P(XYzY0)P(XYzY1)]2 1

[P(X0zY0)P(XzY1)]2

X,Y

1

FZ(z)[P(x0z)P(xz)]

2

1

（1）若z0，则FZ(z)(z)

21

（2）当z0，则FZ(z)(1(z))

2

z0为间断点，故选(B).

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）limeecosx1x12x03 .

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【答案】

3e. 2

cosx

cosx1

1ex2

eee(1e)3e(1cosx)

lim2【解析】limlimlime. x012x031221x21x031x21x0xx

33

（10）设z(xe)，则【答案】2ln21. 【解析】由zxe

yx

z

 . x(1,0)

x

yx

，故zx,0x1

dzxx'xln(1x)'xln(1x)eexln(1) x1dx1x

代入x1得，

z

x

1,01

eln2ln22ln21.

2

en(1)nn

x的收敛半径为 . （11）幂级数2

nn1



【答案】

1

. e

n

en1【解析】由题意知，an0 2

n

1n1e12

ene(n)

2nn1en11



e

n1

an1e

an

n1

12

n1

n1

n2en1n

所以，该幂级数的收敛半径为

1 e

（12）设某产品的需求函数为QQ(P),其对应价格P的弹性p0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 【答案】8000.

【解析】所求即为QPQPQ

- 10 -

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因为p

QP

0.2，所以QP0.2Q Q

所以QP0.2QQ0.8Q 将Q10000代入有QP8000.

300TTT

（13）设(1,1,1),(1,0,k)，若矩阵相似于000，则k .

000

【答案】2.

300

TT

【解析】相似于000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为

000

3，0，0.而

(14)设X1，X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS，则ET . 【答案】np

【解析】由ETE(XS)EXESnpnp(1p)np.

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分） 求二元函数f(x,y)x

2

2

2

2

2

2

2

T

为矩阵T的对角元素之和，1k300，k2.

2yylny的极值.

22

2

【解析】fx(x,y)2x(2y)0，fy(x,y)2xylny10，故x0,y

1

. e

2(2y2),fyy2x2fxx

1

4xy. ,fxy

y

则fxx

1(0,)e

2(2

1

10，fyy)，fxy

(0,)e2e

1

(0,)e

e.

0而(fxy)2fxxfyy0 fxx

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11

二元函数存在极小值f(0,).

ee

（16）（本题满分10 分） 计算不定积分ln(1



1x)dx (x0). x【解析】令12tdt1xt得x2,dx2 2

t1(t1)x1x1)dxln(1t)d2xt1

ln(1t)11

dt22

t1t1t1

ln(1

而

111112

dt(t21t14t1t1(t1)2)dt

111

Cln(t1)ln(t1)2t144

所以

ln(1

1xln(1t)1t11lnC)dx2

xt14t12(t1)x1x11C.)ln(1xx)221xxx

xln(1

（17）（本题满分10 分） 计算二重积分

22

(xy)dxdy，其中D{(x,y)(x1)(y1)2,yx}. 

D

【解析】由(x1)(y1)2得r2(sincos)，

22

3

2(sincos)4(rcosrsin)rdr (xy)dxdyd

0D

4

312(sincos)4(cossin)r3d

03

4

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384(cossin)(sincos)(sincos)2d 3438

(cossin)(sincos)3d 434

38481

(sincos)3d(sincos)(sincos)4334

4

（18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在a,

3

44

8.

3

b上连续，在a,b上可导，则

a,b，得证f(b)f(a)f'()ba.

（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x0处连续，在0,则f(0)存在，且f(0)A.

【解析】（Ⅰ）作辅助函数(x)f(x)f(a)

'

'

,(0)内可导，且limf'(x)A，

x0

f(b)f(a)

(xa)，易验证(x)满足：

ba

(a)(b)；(x)在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且'(x)f'(x)

f(b)f(a)

.

ba

'

根据罗尔定理，可得在a,b内至少有一点，使()0，即

f'()

f(b)f(a)

0,f(b)f(a)f'()(ba)

ba

（Ⅱ）任取x0(0,)，则函数f(x)满足：在闭区间0,x0上连续，开区间0,x0内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在x00,x00,，使得

f'x0

又由于limf

x0

'

f(x0)f(0)

……*

x00

xA，对上式（*式）两边取x00时的极限可得：

- 13 -

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f'0lim

x00

'

f(x0)f0limf'(x0)limf'(x0)A

x00x00x00

'

故f(0)存在，且f(0)A.

（19）（本题满分10 分）

设曲线yf(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)0.已知曲线yf(x)与直线

y0,x1及xt(t1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t倍，求该曲线的方程. 【解析】旋转体的体积为V

tt22

fdx1(x)1f(x)dx

t

曲边梯形的面积为：sf(x)dx，则由题可知

1

tttt

Vtsf(x)2dxtf(x)dxf(x)2dxtf(x)dx

1111

两边对t求导可得f(t)

2

tt2

f(x)dxtf(t)f(t)tf(t)f(x)dx 󰀀 11

'

继续求导可得2f(t)f(t)f(t)tf(t)f(t)，化简可得

1

2dt1

t1，解之得tcy2y (2f(t)t)f(t)2f(t)

3dy2y

'

1

2

'

在󰀀式中令t1，则f(1)f(1)0,f(t)0,f(1)1，代入tcy

2





2

y得3

111c,t(2y).

33y所以该曲线方程为：2y

（20）（本题满分11 分）

13x0. y1111



,11. 设A=111

2042



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（Ⅰ）求满足A21，A

2

31的所有向量2，3.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2,3，证明1,2,3线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程A21

111111111111



111100000211A,1 042202110000

r(A)2故有一个自由变量，令x32，由Ax0解得，x21,x11 求特解，令x1x20，得x31

10

故2k110 ，其中k1为任意常数

21

解方程A

2

31

220A2220

440

1

110

22012

2

A,220100001 

44020000



故有两个自由变量，令x21,x30，由Ax0得x11 令x20,x31，由Ax0得x10

22

1

2

求得特解20

0

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1

102



故 3k21k300 ，其中k2,k3为任意常数

010



（Ⅱ）证明：由于

1

k1k2

1k1

22k11

111

k22k1k2(2k11)(k2)2k1(k2)k2(2k11)0

222

0

12

故1,2,3 线性无关.

（21）（本题满分11 分）

设二次型f(x1,x2,x3)ax1ax2(a1)x32x1x32x2x3. （Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1y1，求a的值.

2

2

2

2

2

1a0



【解析】（Ⅰ） A0a1

11a1

a

|EA|

01

01

1(a)a1

a

1

a

1

1

a1



01

a

1

(a)[(a)(a1)1][0(a)](a)[(a)(a1)2](a)[22aa2a2]

19

(a){[a(12a)]2}24

(a)(a2)(a1)1a,2a2,3a1.

（Ⅱ） 若规范形为y1y2，说明有两个特征值为正，一个为0.则

1) 若1a0，则

2

2

220 ，31 ，不符题意

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2) 若20 ，即a2，则120，330，符合

3) 若30 ，即a1，则110 ，230，不符题意 综上所述，故a2

（22）（本题满分11 分）

ex设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0

（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx) （Ⅱ）求条件概率PX1Y1 【解析】

0yx其他

ex0yx（Ⅰ）由f(x,y)得其边缘密度函数

其它0

fx(x)



x

0

exdyxexx0

故 fy|x(y|x)

f(x,y)1

0yx fx(x)x

1

yx

即 fy|x(y|x)x

0其它

（Ⅱ）P[X1|Y1]

P[X1,Y1]

P[Y1]

1

x

0

0

而P[X1,Y1]

f(x,y)dxdydx

x1y1

edyxexdx12e1

0

x

1

fY(y)exdxex|

y



y

e,y0 y

11

P[Y1]eydyey|e111e1

00

12e1e2

P[X1|Y1].

1e1e1

（23）（本题满分11分）

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袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求P. X1Z0

②求二维随机变量(X,Y)的概率分布.

【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球

1C224

P(X1Z0)11.

C3C39

（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故

1111C3C3C3C211

PX0,Y011,PX1,Y011

C6CC6C66111

C2C3C2111

PX2,Y011,PX0,Y111

C6C6C636C6311

C2C21

PX1,Y111,PX2,Y10

C6C6911C2C21

PX0,Y211

C6C69

PX1,Y20,PX2,Y20

X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0

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