随机过程考试真题

（1）求X(t)的一维概率密度和一维分布函数； （2）求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。

2、设W(t),t是参数为的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量；

2

且对任意的t，W(t)与R均。令X(t)W(t)R，求随机过程

X(t),t的均值函数、相关函数和协方差函数。

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180；且每个 顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

0.30.70P00.20.8

0.700.3（1）求两步转移概率矩阵P(2)及当初始分布为

P{X01}1,P{X02}P{X03}0

时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

5设马尔可夫链的状态空间I{1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：

0.30.40.3000.60.4000P01000

000.30.7000010求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设N(t),t0是参数为的泊松过程，计算EN(t)N(ts)。

7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以Ni记在i第层进入电梯的人数。假定Ni相互，且Ni是均值为i的泊松变量。在第i层进入的各个人相互地以概率pij在第j层离开电梯，

pjiij1。令Oj＝在第j层离开电梯的人数。

（1）计算E(Oj) （2）Oj的分布是什么

（3）Oj与Ok的联合分布是什么

8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在[t,th)内，

它都以概率 ho(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pij(t)及平稳分布。

1有随机过程{(t)，-2（15分）随机过程(t)=Acos(t+)，-3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 4设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：

121P316试对经过长时间后的销售状况进行分析。

12192305 9165设{X(t),t0}是增量过程, 且X(0)=0, 证明{X(t),t0}是一个马尔科夫过程。

6设N(t),t0是强度为的泊松过程，Yk,k=1,2,是一列同分布随机变量，且与N(t),t0，令X(t)=Yk,t0，证明：若E(Y12<)，则EX(t)tEY1

k=1N(t)7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

8设t,t是平稳过程，令ttcos0t,t，其中0是常数，为均匀分布在[0,2]上的随机变量，且t,t与相互，R()和S()分别是t,t的相关函数与功率谱密度，试证： （1）t,t是平稳过程，且相关函数：

R1Rcos0 2（2）t,t的功率谱密度为：

S1S0S0 49已知随机过程(t )的相关函数为：

Re

2，问该随机过程(t )是否均方连续？是否均方可微？

1、设随机过程X(t)RtC，t(0,)，C为常数，R服从[0,1]区间上的均匀分布。

（1）求X(t)的一维概率密度和一维分布函数； （2）求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）F(x)xf(t)dt，则f(t)为密度函数；

1,axb（2）X(t)为(a,b)上的均匀分布，概率密度函数f(x)ba，分布函数

0,其他0,xaxaab(ba)2F(x),axb，E(x)，D(x)；

212ba1,xbex,x0（3）参数为的指数分布，概率密度函数f(x)，分布函数

0,x01ex,x011，E(x)，D(x)2； F(x)0,x0（4）E(x),D(x)2的正态分布，概率密度函数f(x)1e2(x)222,x，

分布函数F(x)12xe(t)222若0,1时，其为标准正态分布。 dt,x，

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

C为常数，（1）因R为[0,1]上的均匀分布，故X(t)亦为均匀分布。由R的取值范围可知，

1,CxCtX(t)为[C,Ct]上的均匀分布，因此其一维概率密度f(x)t，一维分布

0,其他0,xCxC函数F(x),CXCt；

t1,xCt（2）根据相关定义，均值函数mX(t)EX(t)相关函数RX(s,t)E[X(s)X(t)]tC； 21Cst(st)C2； 32st（当st时为方差函数） 12协方差函数BX(s,t)E{[X(s)mX(s)][X(t)mX(t)]}22【注】D(X)E(X)E(X)；BX(s,t)RX(s,t)mX(s)mX(t) 求概率密度的通解公式ft(x)f(y)|y'(x)|f(y)/|x'(y)|

2、设W(t),t是参数为的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量；且

2

对任意的t，W(t)与R均。令X(t)W(t)R，求随机过程

X(t),t的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

2依题意，W(t)~N(0,|t|)，R~N(1,4)，因此X(t)W(t)R服从于正态分布。故：

均值函数mX(t)EX(t)1；

相关函数RX(s,t)E[X(s)X(t)]5；

协方差函数BX(s,t)E{[X(s)mX(s)][X(t)mX(t)]}4（当st时为方差函数） 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180；且每个 顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

【解答】此题可参见课本习题3.10题。

由题意可知，每个顾客的消费额Y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：

E(Y)112,D(Y)2，故E(Y2)2，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营sss业额的数学期望mX(8)8180E(Y)；

一天内商场营业额的方差X(8)8180E(Y)。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

220.30.70P00.20.8

0.700.3（1）求两步转移概率矩阵P(2)及当初始分布为

P{X01}1,P{X02}P{X03}0

时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。 【解答】可参考教材例4.3题及4.16题 （1）两步转移概率矩阵

P(2)0.30.700.30.700.090.350.56PP00.20.800.20.80.560.040.4

0.700.30.700.30.420.490.09当初始分布为P{X01}1,P{X02}P{X03}0时，

0.090.350.561000.560.040.40.090.350.56

0.420.490.09故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。

（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组

10.31020.730.70.202123 00.80.312331231解上述方程组得平稳分布为

1878,2,3 2323235、设马尔可夫链的状态空间I{1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：

0.30.40.3000.60.4000P01000

000.30.7000010求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题 画出状态转移图如下：

（1）由上图可知，状态分类为G1{1,2,3};G2{4,5}

（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平

均返回时间。

A、对G1常返闭集而言，解方程组

1 3 5 2 4 10.310.62030.40.412123 30.3102031231解上述方程组得平稳分布为

1则各状态的平均返回时间分别为

3725937,2,3 159050t11115190150,t2,t3 372259337B、对G2常返闭集而言，解方程组

10.311220.7102 112解上述方程组得平稳分布为

1则各状态的平均返回时间分别为

107,2 1717t11117117,t2 10276、设N(t),t0是参数为的泊松过程，计算EN(t)N(ts)。 【解答】

EN(t)N(ts)EN(t)N(ts)N(t)N(t)2EN(t)N(ts)N(t)EN(t)EN(t)EN(ts)N(t)EN(t)tst(t)22

t(1ts)7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以Ni记在i第层进入电梯的人数。假定Ni相互，

且Ni是均值为i的泊松变量。在第i层进入的各个人相互地以概率pij在第j层离开电梯，

pjiij1。令Oj＝在第j层离开电梯的人数。

（1）计算E(Oj) （2）Oj的分布是什么

（3）Oj与Ok的联合分布是什么

【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。

以Nij记在第i层乘上电梯，在第j层离去的人数，则Nij是均值为ipij的泊松变量,且全部

Nij(i0,ji)相互。因此：

(1) E[Oj]E[Niij]ipij

i(2)由泊松变量的性质知，OjN是均值为p的泊松变量

ijiijii(3) 因Oi与Ok，则P(OiOk)P(Oi)P(Ok)ii!ekk!ekii!k!为期望。e2，

8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在[t,th)内，

它都以概率 ho(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率pij(t)及平稳分布。 【解答】参见教材习题5.2题 依题意，由limpij(t)tt0qij(ij)得，qij1(ij)，柯尔莫哥洛夫向前方程为

'pij2pij(t)pi,j1(t)pi,j1(t)，

由于状态空间I{1,2,3}，故

pij(t)pi,j1(t)pi,j1(t)1，

所以

'pij2pij(t)1pij(t)3pij(t)1，

解上述一阶线性微分方程得：

pij(t)ce由初始条件

1t31， 31,ij pij(0)0,ij确定常数c，得

t1213e,ij33pij(t) 1t11e3,ij33故其平稳分布

jlimpij(t),j1,2,3

t13

1、有随机过程{(t)，-1,021.解：f2

0,其它Rs,tEst2201AsinsBsintd21ABcostscosts2d 401ABcosts,s,t22、随机过程(t)=Acos(t+)，-mtEtEAcostEAEcost1220def5dcostd5

0m,t

Rt,tEttEAcostAcostEAEcostcost2

820840555dcostcostd55dcoscos2t2d84sin5def5cosd5R20

所以具有平稳性。

1tlimT2TTTAcostdtlimTAsinTcos0m

TT故均值具有各态历经性。

tt1limT2TlimA22TAcostAcostdt

A2TT2TTcostcostdtcosRt故相关函数不具有各态历经性。

3、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求： （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 3、解：设顾客到来过程为{N(t), t>=0}，依题意N(t)是参数为的Poisson过程。 （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：

141PN0e2e2 2（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为N0，在未来半小时仍无顾客到来可表

12示为N1N0，从而所求概率为：

1211PN(1)N0|N02211PN(1)N0|NN00

221412PN(1)N0ee221

4、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：

121P31612192305 916试对经过长时间后的销售状况进行分析。

4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且pii>0，从而所有状态都是遍历状态，于是

极限分布就是平稳分布。设平稳分布为={1，2，3}，求解方程组：

=P, 1+2+3=1

即：

11121326311121232 29351332961231得：

6,2,3 232323968即极限分布为：,,2323231 由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。

5、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。

00.700.300.10.80.1000 （1）P0.400.600000.50.5000.50.50141（2）P20015、

3412000001130000 002030006、一个服务系统，顾客按强度为的Poisson过程到达，系统内只有一个服务员，并且服务时间服从参数为的负指数分布，如果服务系统内没有顾客，则顾客到达就开始服务，否则他就排队。但是，如果系统内有两个顾客在排队，他就离开而不返回。令(t)表示服务系统中的顾客数目。 （1）写出状态空间； （2）求Q矩阵

7、设t,t是平稳过程，令ttcos0t,t，其中

0是常数，为均匀分布在[0,2]上的随机变量，且t,t与相互，R()

和S()分别是t,t的相关函数与功率谱密度，试证： （1）t,t是平稳过程，且相关函数：

1RRcos0

2（2）t,t的功率谱密度为：

S7、7:(1)

1S0S0 4mtEtEtcosotEtEcos0t1d002Rt,tEttEtcos0ttcos0tmcos0t2EttEcos0tcos0tRcos0tcos0t02

1d21Rcos02故为平稳过程

（2）

SejRdej1Rcos0d2ej1ej0ej0Rd22

1j0j0eRdeRd41S0S0428、已知随机过程(t )的相关函数为：

Re，问该随机过程(t )是否均方连续？是否均方可微？

8、解答：=0时，相关函数是连续的，故随机过程在任意时刻均方连续。

2R2eR02

由于二阶导数在=0存在，故过程是均方可微的。