2012年中考数学总复习

1-1 实数的运算

知识考点：

实数的运算贯穿于初中数学的始终，是学好初中代数的基础。熟练掌握实数的运算法则、运算律以及运算顺序并能正确、灵活地运用它们解决计算问题是学好数学的关键。 精典例题： 【例1】填空：

－1－1－1－1＝ ； (1)(1)(1)(1)＝ ；

(1)(1)nn1＝ ；（n为正整数） (12)(2)(3)53＝ ；

(1)(2)(3212)(3)＝ ； 222＝ ；

345820000.1252001＝ 。

分析： （1）根据同号两数、异号两数相加、减、乘、除的法则，先确定符号，再算绝对值。

（2）多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将绝对值相乘，乘方时注意负数的偶

次方为正，奇次方为负，先乘方，再乘除。

（3）合理运用乘法分配律和使用abnn(ab)可使运算显得更加简便。

n答案：－4、＋1、－1、－5、－6、4096、【例2】计算：

（1）918

34993499934999934 （2）(231559)6.3186.78

（3）3[(2)(2312)238](5)

分析： （1）题可将9一起便得结果；

34改写成(1014)„„，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在

（2）题善于使用乘法分配律的顺逆两用，可使运算简便； （3）题注意混合运算的顺序，不能先算(5)15。

答案：（1）11109；（2）－110；（3）515

【例3】已知a132b1(c2)20，求abc的值。

1

分析：利用a≥0，a≥0，a2n≥0（n为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它

们为零，得一个三元一次方程组，解得a、b、c的值，代入后本题得以解决。 答案：－3 探索与创新：

【问题一】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形是由n个正方形组成的，通过观察可以发现：

n1n2n3n4

（1）第四个图形中火柴棒的根数是 ； （2）第n个图形中火柴棒的根数是 。 分析：观察各个图形的根数与图形个数n之间的关系，并由此归纳出第n个图形中火柴棒的根数。 答案：（1）13；（2）3n1

【问题二】有一列数1、2、3、4、5、6、„，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 个数；当按顺序从第m个数到第n个数（m＜n）时，共数了 个数。

分析：探索规律，发现规律形式的考题是近年来中考热点题型。本题中，从第2个数数到第6个数时，共数了2、3、4、5、6这5个数，而5＝6－2＋1，同样从第3个数数到第7个数时共数了3、4、5、6、7这5个数，而5＝7－3＋1，依此类推，不难探索其规律。

答案：5、(nm1)

跟踪训练：

一、填空题：

1、计算：1(1)3(32132)＝ ； [25(2)](4)＝ 。

2n2n122222、计算：23(23)＝ ； [(1)2]＝ 。

3、计算：19971998199920002001＝ 。 4、如果2x3(2y1)5、若1(1)7、计算：0.125二、选择题：

1、一个数的平方是正数，则这个数是（ ）

A、正数 B、负数 C、不为零的数 D、非负数 2、下列计算错误的是（ ）

A、(2)22324nn20，那么(xy)n2001＝ 。

b0，则(1)＝ 。 6、如果a＝5，b＝3，比较大小：a b (2)＝ 。

153a152 B、(c)(c)c

410358C、3(3)(3) D、5612220

2

113、计算24等于（ ）

4223A、1255 B、

1233 C、－2 D、2

4、设a3，b444，c5，则a、b、c的大小关系是（ ）

A、c＜a＜b B、a＜b＜c C、b＜c＜a D、c＜b＜a 5、按规律找数：①4＋0.2；②8＋0.3；③12＋0.4，则第四个数为（ ）

A、12＋0.5 B、16＋0.4 C、16＋0.5 D、不能确定 三、计算与解答题：（能简算的要简算） 1、计算：

（1） （3）

2、从－56起，逐次加1得到一连串整数，－56、－55、－、－53、－52、„，问：

（1）第100个整数是什么？ （2）求这100个整数的和。

3、观察下列算式：

795671111311 181.4563.95 （2）2186532113110011100011002110011100211000

1112 2223 3334

„„

请你将探索出的规律用自然数n（n≥1）表示出来是 。 4、探索规律：

①计算下列各式：

12341＝ ＝ 23451＝ ＝2222 2

3

34561＝ ＝2 2

45671＝ ＝②从以上过程中把你探索到的规律用式子表示出来，并证明你的结论。 5、（1）根据11 132 1353 „„

可得135(2n1)＝ 如果135x361，则奇数x的值为 。 （2）观察式子：13222(13)22；

135(15)32；

1357„„

(17)42

按此规律计算13572001＝ 。

6、探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里

都别想再“爬”出来。无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的摩掌。臂如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，„„重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力？通过认真观察、分析、，你一定能发现它的奥秘。

1-2 整式

知识考点：

整式是初中代数的基础知识，也是学习分式、根式的基础；去添括号法则，合并同类项、乘法公式及幂的运算法则是本节的重点。在运算中根据题目特征，灵活运用公式是本节知识的关键。 精典例题： 【例1】填空：

1、单项式xyz的系数是 ，次数是 。 2、若3xn23(m1)x1为三次二项式，则mn＝ 。

34323223、计算：(a)aa＝ ； 2xy(4xy)＝ ；

4

(3xy)(3xy)＝ ； (2x2)(x1)＝ 。

4、已知x5、如果am2332y与yx是同类项，则m＝ ，n＝ 。

2，ay3n4x3，则a22x3y＝ 。

6、当m＝ 时，x2(m3)x25是完全平方式。

27、计算：2b3c43c2b42bc＝ 。

答案：1、1，6；2、8；3、a10，8xy，9xy，2x，－2；

253482 4、m4，n3；5、108；6、8或－2；7、6b【例1】选择题：

1、下列计算正确的是（ ）

11c16bc16

2A、3233239 B、aba222b

22C、ab(a2abb)ab D、a1a5a4a5

2332、如果长方形的周长为4m，一边长为mn，则另一边长为（ ）

A、3mn B、2m2n C、mn D、m3n 3、如果多项式mx2mnxn与nx2mnxm的和是单项式，下列m与n的正确关系为（ ）

A、mn B、mn C、m＝0或n＝0 D、mn1 4、化简31313131得（ ）

248 A、3182 B、3182 C、3161 D、

123161

分析：3题求得两个多项式的和为mnx2mn，要使这个二次二项式为单项式，令

mn0即可；4题将式子前面变形为

平方差公式，这种技巧比较有代表性。 答案：1、D；2、C；3、B；4、D 【例3】列代数式填空：

1221231，使31乘入后，能连锁反应地使用

1、某校学生给“希望小学”邮寄每册a元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5％，则共需邮费 元。

2、托运行李p公斤（p为整数），的费用为C元，现托运第一个1公斤需付2元，以后每增加1公斤（不足1公斤按1公斤计算）需增加5角，则托运行李的费用C＝ 。

3、如图：在△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，且∠C＝900，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 。

5

AbCa例3第3题图 B

问题一图1 问题一图2

答案：1、a5%240；2、20.5(p1)；3、

8a2b21ab

2探索与创新：

【问题一】某公司计划砌一个形状如图1所示的喷水池，经人建议改为如图2所示的形状，且外圆半径不变，只是担心原来准备好的材料不够。请你比较两种方案，哪一种需要的材料多？

分析：比较两种方案的材料，就是比较两个图形的周长。

解：设大圆直径为d，周长为 l，4个小圆直径分别为d1、d2、d3、d4，周长分别为l1、l2、

l3、l4，则ld(d1d2d3d4)＝d1d2d3d4＝l1l2l3l4，

所以大圆周长与4个小圆周长之和相等，即两种方案用料一样多。

【问题二】某玩具厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a＞0）个成品，且每个车间每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名质检员星期一、星期二检查其中两个车间原有和这两天生产的所有成品，然后星期三至星期五检查另两个车间原有的和本周生产的所有成品。假定每个检验员每天检查的成品数相同。

（1）这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含a、b的代数式表示） （2）试求用b表示a的关系式； （3）若1名质检员1天能检验45b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？

解：（1）这若干名检验员1天能检验2a2ba2b或2a5b或3b2＝

232a5b2a2b。

（2）依题意得：2a22b＝2a5b，化简得：a4b

3 另解：2a22b＝3b2，化简得：a4b

45（3）

2a2b245b＝7.5（名） 另解：3b2b＝7.5（名）

答：质检科至少要派出8名检验员。

跟踪训练：

一、填空题： 1、多项式x55xy4y是五次三项式，则正整数n可以取值为 。 22n52、4x3x3、计算：

24x

6

2a3a2324a＝ ；

xyxyxy＝ ； abc＝ ；

2 abab ＝a222b ；

24、如果4x25xm是完全平方式，则m＝ 。

5、若x2my与

13ymnx是同类项，则2mn＝ 。

26、若x2xnxmx6，则m＝ ，n＝ 。

7、五个连续奇数中间一个是n，则这五个连续奇数的和为 。

8、某城市一年漏掉的水，相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有610个水龙头、

5210个抽水马桶漏水。如果一个关不紧的水龙头一个月漏掉a立方米水，一个抽水马桶一个月漏

掉b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少是 立方米。 二、选择题：

1、如果3273，则n的值为（ ）

A、6 B、1 C、5 D、8 2、下列计算正确的是（ ）

A、2a22n54a26a B、2a4238a

m5C、2aa3、已知x2232a5 D、6a23m3a2a

33x5的值为3，则代数式3x9x1的值为（ ）

A、0 B、－7 C、－9 D、3

4、受季节影响，某种商品每年按原售价降低10％后，又降价a元，现在每件售价b元，那么该商品每件的原售价为（ ） A、

AFab110%ba110% B、110%ab

BE C、

D、110%ab

CD第5题图 5、如图：正六边形ABCDEF的边长为a，分别以C、F为圆心，a为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ） A、

16a B、a C、a D、a

3332122242三、计算题：

7

1、2a2bb2a34ab2 2、a1a22a112a2a32

322

3、a2a24a416a2 4、2a23a52a23a5 四、解答题： 1、已知xy123，zy123，求x2yzxyyzxz的值。

222、（1）观察下列各式：

21 24

328 222451216  128

232

6782256„„

通过观察，用你发现的规律写出8的末位数字是 。

（2）观察下列各式： x1x1x x1x291

32x1x1

2 x1xx3x1x1

425x1x4xxx1x1„„

3由规律可得x1x3、当x5时，ax2003nxn1x1＝ 。

1999bx2001cx6的值为－2，求当x5时，这个代数式的值。

4、本市出租车的收费标准为：3千米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米收费1.20元（不足1千米按1千米计算），另加收0.60元的返空费。 （1）设行驶路程为x千米（x≥3且取整数），用x表示出应收费y元的代数式； （2）当收费为10.40元时，该车行驶路程不超过多少千米？路程数在哪个范围内？

1-3 因式分解

知识考点：

因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等

8

变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。 精典例题： 【例1】分解因式：

（1）xyxy （2）3x233318x27x

232 （3）x1x1 （4）4xy2yx

分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注

意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意ab2nba2n，ab2n1ba2n1

④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；

（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

答案：（1）xyxyxy； （2）3xx3；

2 （3）x1x2； （4）2xy【例2】分解因式：

（1） x222xy

3xy10y （2）2x3y2x2y212xy3 （3）x422216x

2分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

答案：（1）x2yx5y；（2）2xyx3yx2y；（3）x2【例3】分解因式：

（1）4x4xyyz； （2）a3a2b2a2b （3）x2xyy2222x22

222x2y3

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。

答案：（1）2xyz2xyz（三、一分组后再用平方差） （2）a2ba1a1（三、二分组后再提取公因式） （3）xy3xy1（三、二、一分组后再用十字相乘法） 【例4】在实数范围内分解因式：

（1）x44； （2）2x3x1

2答案：（1）x22x2x2 （2）2x317317 x44 9

【例5】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a为等边三角形。

2bc22abbcac，求证：△ABC

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证abc，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式abbcca0，即可得证，将原式

222两边同乘以2即可。

略证：a2bcabbcac0

222 2a2b2c2ab2bc2ac0

22222 abbcca0 ∴abc

即△ABC为等边三角形。

探索与创新：

【问题一】 （1）计算：11111111 222223910 分析：此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

11111111 解：原式＝11111111

2233991010 ＝（2）计算：2002122322323498210991021110 ＝

1120

222001200019991998221

分析：分解后，便有规可循，再求1到2002的和。 解：原式＝200220012002200120001999200019992121

＝2002＋2001＋1999＋1998＋„＋3＋1 ＝200212002 ＝2 005 003

22【问题二】如果二次三项式x那些值？

ax8（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a 可以取

分析：由于a为整数，而且x能用形如x22ax8在整数范围内可以分解因式，因此可以肯定xax82pqxpq型的多项式进行分解，其关键在于将－8分解为两个数的积，且使这两

个数的和等于a，由此可以求出所有可能的a的值。

答案：a的值可为7、－7、2、－2

10

跟踪训练：

一、填空题： 1、9n22；2a222；am1bamc＝ 。

2、分解因式：

x2xyy＝ ； x7xy18＝ ；

22xy210xy25＝ 。

23、计算：1998×2002＝ ，274、若a2462723＝ 。

19992a10，那么a810n2001a2000a＝ 。

5、如果222为完全平方数，则n＝ 。

n40，分解因式xy226、m、n满足m2二、选择题：

mxyn＝ 。

1、把多项式ab1ab因式分解的结果是（ ）

A、a1b1 B、a1b1 C、a1b1 D、a1b1 2、如果二次三项式x2ax1可分解为x2xb，则ab的值为（ ）

A、－1 B、1 C、－2 D、2 3、若9x2mxy16y是一个完全平方式，那么m的值是（ ）

2A、24 B、12 C、±12 D、±24 4、已知2481可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）

A、61、63 B、61、65 C、61、67 D、63、65 三、解答题：

1、因式分解： （1）6x （3）a

（5）1a 2、已知x22n114x8xnn1 （2）x23x2x3x8

22b2ab2b2a1 （4）x1x2x3x41

221b4ab

226x8yy250，求2x3y的值。

11

3、计算：100299298297221

4224、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a阅读下面解题过程： 解：由a a44bc22bac，试判断△ABC的形状。

422bc422bac得：

2222422b2acbc ①

2 ab2a22b22ca22b2 ②

即abc ③

∴△ABC为Rt△。 ④

试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题的结论应为 。

1-4

分式

知识考点：

分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂，方法比较灵活。了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。 精典例题： 【例1】

（1）当x为何值时，分式

x1xx2x1xx22222有意义？

（2）当x为何值时，分式的值为零？

分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式；②在分式

AB中，

若B＝0，则分式两者缺一不可。

AB无意义；若B≠0，则分式

AB有意义；③分式

AB的值为零的条件是A＝0且B≠0，

答案：（1）x≠2且x≠－1；（2）x＝1 【例2】计算：

（1）

a4a22x2a21a2 （2）

x2x2x2

（3）1x1x4 2x2x2x12

分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把x2当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。 答案：（1）

1a2；（2）

4x2；（3）x2x1

【例3】计算：

（1）23x24xyxy （2）11 xy241x1x1x1xxy3xx2 分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（1）题可以将xy看作一个整体xy，然后用分配律进行计算；（2）题可采用逐步通分的方法，即先算

11x11x，

用其结果再与

21x2相加，依次类推。

答案：（1）【例4】 （1）已知

2xxy； （2）

81x8

x22x21102，求11xxx的值。 21xx101（2）当x4sin30的值。

102x、ytan60时，求1xyx2xyy3x3y22xxyxy222

分析：分式的化简求值，应先分别把条件及所求式子化简，再把化简后的条件代入化简后的式子求值。

略解：（1）原式＝2x2

∵

x22x2112 ∴

x2x2212

∴12x212 ∴2x22

∴原式＝2

0 （2）∵x4sin3011，ytan60003

∴原式＝【例5】

xy2xy131331

13

（1）已知3x2xy2y2，求0（x≠0，y≠0）

xyyxxyxy22的值。

（2）已知a23a10，求

a42a1的值。

分析：分式的化简求值，适当运用整体代换及因式分解可使问题简化。 略解：（1）原式＝2yx

∵3x2xy2y20

∴3x2yxy0

∴x23y或xy

当x23y时，原式＝－3；当xy时，原式＝2

（2）∵a23a10，a≠0

∴a1a23

2 ∴

a4a1＝a21a212＝a2＝32＝7

a探索与创新：

【问题一】 先阅读下列文字，再解答下列问题：

初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了。

试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元。

（1）假设x、y分别表示两次购粮的单价（单位：元／千克）。试用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元；乙两次共购买 千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1＝ ；Q2＝ 。

（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由。

解：（1）第一次购买粮食付款100x元，第二次购买粮食付款100y元，两次共付款

100x100y元。

乙第一次购买粮食

100x千克，第二次购买粮食

100y千克，故两次共购买粮食100x100 千克。y 14

∵平均单价＝两次购买粮食的总金额两次购买粮食的重量和

∴Q1＝

100x100y100100＝

xy2；Q2＝

100100100x100y＝

2xyxy

（2）要判断谁更合算，就是判断Q1、Q2的大小，小的更合算些。

∵Q1－Q2＝

2xy2－

2xyxyxy2＝且x≠y 2xy∴xy＞0而2xy＞0 ∴Q1－Q2＞0 故Q1＞Q2

∴乙的购粮方式更合算。

【问题二】 已知a、b、c为实数，且满足

2a23b2c42(b3)c20，求

1ab1bc的值。

b3c20解：由题设有222a3b ∴

c402，可解得a＝2，b3，c＝－2

1ab1bc＝

12312＝2323＝4

3abcck

，求

【问题三】已知

abccabcbabbccaabc的值。

解：设

abccabcbabccabcckabk1c ∴abcbk，即ack1b

abcakbck1a ①＋②＋③整理得：k1abc0 ∴k＝1或abc0

当k＝1时，原式＝k1＝8；当abc0时，原式＝－1

3 ∴

abbccaabc＝8或－1

15

跟踪训练：

一、填空题：

1、当x 时，分式

2x2x42有意义。 当x 时，分式

x7x8x1的值为零。

当x 时，分式2、计算：

1x2126x的值为负数。 当x 时，分式

x223x的值为－1。

xyy①＝ 。 ②2＝ 。

1xxyxx1 ③ 3、已知

223m2mnn2nm＝ 。 ④

a1a12a1＝ 。

1x1y3。则分式13x2x3xy2yx2xyy的值为 。

4、若x＜0，则1x3＝ 。

5、若分式

xx1的值是整数，则整数x的值是 。

xx2326、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值：＝ 。

xx1x2

x17、已知3a4b，则

2a3abbab2222＝ 。

28、若ab7，ab12，则

1b1a1ababab2＝ 。

9、若，则

baab＝ 。

Bx210、若

2x1x1x22Ax1恒成立，则A＋B＝ 。

211、若x5x10，则xx1x21x＝ 。

12、已知

abcbaccabk，且k＜0，则直线ykxk与坐标轴围成的三角

16

形面积为 。

二、选择题： 1、在代数式

x3x1、x122、

x3y、

23aba2、

x1x12、

a中，分式的个数是（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、已知

x2x3x6x91922的值为零，则x2的值是（ ）

A、－1或 B、1或

19 C、－1 D、1

3、甲瓶盐水含盐量为

1m，乙瓶盐水含盐量为

1n，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水

的含盐量为（ ） A、

mn2mn B、

mnmn C、

1mn D、随所取盐水重量而定

4、已知x、y满足等式xx1x1y1y1，则用x的代数式表示y得（ ）

1x1x1x1x2 A、y B、y C、y D、y22x1x1

x2y7z05、已知4x3y6z0，（xyz0），则

2x3y6zx5y7z222的值为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、不能确定 6、已知x5x19970，则代数式

2x23x112x2的值是（ ）

A、1999 B、2000 C、2001 D、2002 7、已知x是整数，且

2x323x2x18x92为整数，则所有符合条件的x的值的和为

（ ）

A、12 B、15 C、18 D、20

三、计算题： 1、

3x1x152x2  2、2x2x2x4x4x42x4 17

21mnmnnmn 4、4a8aa1a1 3、 222222a1a1aa2aa2n1mnm2mnn2

四、阅读下面题目的计算过程：

x3x1221x＝

x3x1x1x1x12x1 ①

＝x32x1 ② ＝x32x2 ③ ＝x1 ④

（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。 五、应用题：

学校用一笔钱买奖品，若以一支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品，若以一支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或笔记本，可买多少？

1-5二次根式与运算

知识考点：

数的开方是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，二次根式是初中代数的重要基础，应熟练掌握平方根的有关概念、求法以及二次根式的性质。 精典例题： 【例1】填空题：

（1）3的平方根是 ；216的算术平方根是 ；52的算术平方根

是 ；

38的立方根是 。 2（2）若2是a的立方根，则a＝ ；若b的平方根是±6，则b＝ 。

（3）若12x有意义，则x ；若31x2有意义，则x 。

（4）若

m2m0，则m ；若

13a23a1，则a ；若

aa21，则a ；若

x111有意义，则x的取值范围是 ；

18

（5）若2x有意义，则

a22x＝ 。

2（6）若a＜0，则a＝ ；若b＜0，化简aab15132 bab＝ 。

3答案：（1）3，2，，

3（2）2；

24，6；（3）x≤

12，x≠2；

（4）m≤0，a≥，a＜0，x≥－1且x≠0；（5）2x；

（6）2a，2ab【例2】选择题： 1、式子

ab

3xx13xx1成立的条件是（ ）

A、x≥3 B、x≤1 C、1≤x≤3 D、1＜x≤3 2、下列等式不成立的是（ ） A、

a2a B、a2a C、3a3a D、a1aa

3、若x＜2，化简

x223x的正确结果是（ ）

A、－1 B、1 C、2x5 D、52x 4、式子 A、xax3（a＞0）化简的结果是（ ）

ax B、xax C、xax D、xax

答案：DDDA 【例3】解答题：

（1）已知

a1a5，求a1a的值。

（2）设m、n都是实数，且满足nm244m22m2，求mn的值。

分析：解决题（1）的问题，一般不需要将a的值求出，可将a1a5等式两边同时平

13，再求a方，可求得aaa121a4的值，开方即得所求代数式的值；题（2）

a2中，由被开方数是非负数得m2，但分母m20，故m2，代入原等式求得n的值。

略解：（1）由

a1a17，a5得：aaa121a445

a2 19

故a1a35

m24012 （2）4m0 解得m2，n

2m20 ∴

mn＝1 131【例4】已知a，b131，求ababb的值。 a 分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a、b的值的分

母是两个根式，且互为有理化因式，故ab必然简洁且不含根式，ab的值也可以求出来。

解：由已知得：ab＝

abb312312＝3，ab12

∴原式＝ab

ab＝ab＝3 a探索与创新：

【问题一】比较

32与21的大小；

n与n43与32的大小；54与

43的大小；猜想n1n1的大小关系，并证明你的结论。

分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。 ∵ ∴

332≈1.732－1.414＝0.318，2＜421≈1.414－1＝0. 414

21

3＜32，54＜

43 n＜nn 同理：

根据以上各式二次根式的大小有理由猜测：n1n1nn1

证明：n1n＝

n1n2

n1 ＝

＝

n1n2n1n

1n1n 20

nn1＝

nn1n2nn1

n1

n ＝

2n1n1

n ＝

1nn11n 又∵

1n1n＜

n1 ∴n1n＜nn1

aa2b2【问题二】阅读此题的解答过程，化简：

ab4aba224b3（0a2b）

解：原式＝

aa2baa2baa2bb(a4ab4b)aab(a2b)aa2ba222 ①

＝ ②

＝ab ③

＝

aa2ba2baab ④

＝ab

问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。

分析：此题是阅读形式的题，要找出错误的原因，错误容易产生在由根式变为绝对值，绝对值再化简出来这两步，所以在这两步特别要注意观察阅读。

解：（1）④；（2）化简a2ba2b时，忽视了a2b＜0的条件；（3）

ab

跟踪训练：

一、填空题：

1、21的平方根是 ；

24981的算术平方根是 ；3216的立方根

是 ；

21

2、当a 时，3a2无意义；

2x23有意义的条件是 。

x3、如果a的平方根是±2，那么a＝ 。

4a3b与b12ab6是同类二次根式，则a＝ ，b＝ 。

24、最简二次根式5、如果

2ab2abb3(ba)b，则a、b应满足 。

bxx＝ ；

6、把根号外的因式移到根号内：3a＝ ；当b＞0时，

(a1)11a＝ 。

27、若m0.04，则2mm＝ 。

8、若m＜0，化简：2mm153223m23m＝ 。

239 、9453

二、选择题：

2＝ ；10、

(5)231200.2(331)＝

1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（ ）

A、±1 B、0 C、1 D、0和1 2、在16x3、23、0.5、

ax、

325中，最简二次根式的个数是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列说法正确的是（ ）

A、0没有平方根 B、－1的平方根是－1 C、4的平方根是－2 D、3的算术平方根是3

24、416的算术平方根是（ ）

6 D、6

A、6 B、－6 C、5、对于任意实数a，下列等式成立的是（ ）

A、6、设

a2a B、a2a C、a2a D、a4a

27的小数部分为b，则b(b4)的值是（ ）

A、1 B、是一个无理数 C、3 D、无法确定 7、若x121，则x22x1的值是（ ）

A、

2 B、22 C、2 D、21

22

8、如果1≤a≤2，则a2a1a2的值是（ ）

2A、6a B、6a C、a D、1 9、二次根式：①

9x；②(ab)(ab)；③a2a1；④

221x；⑤0.75中最简

二次根式是（ ）

A、①② B、③④⑤ C、②③ D、只有④ 10、下列各式正确的是（ ）

A、C、

abaab B、ab23的绝对值是32 D、

3a1244ab（a＞0，b＜0）

3a1a1a13a1 a12311、下列各式中与4a2（a12）是同类二次根式的是（ ）

A、

(4a2)33 B、

133(4a2) C、a2 D、22a1

12、下列等式或说法中正确的个数是（ ）

①

ab12322ab； ②2a的一个有理化因式是2a；

495； ④3③

27333； ⑤25145945。

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 13、已知a132，b32，则a与b的关系是（ ）

A、ab B、ab C、a14、下列运算正确的是（ ） A、323 B、1

三、计算题： 1、

四、已知x1b D、ab1

2121 C、3200 D、5322283206

0.0121925； 2、372122； 3、

15232012021。

1311，求x2x2的值。

xx223

2

五、计算：

112123134199100。

六、先化简，再求值：

六、已知A4ab3a1a12a2a1aa22，其中a123。

a2是a2的算术平方根，B3a2b92b是2b的立方根，求A＋B

的n次方根的值。

七、已知正数a和b，有下列命题： （1）若ab2，则

ab≤1； ab≤

32；

（2）若ab3，则

（3）若ab6，则ab≤3；

ab≤ 。 463463 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若ab9，则

八、由下列等式：3227＝2

327，33326＝3

3326，34＝4

3，„„所提示的规律，

可得出一般的结论是 。

九、阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。 已知m为实数，化简：m3m1m

解：原式＝mmm1mm

＝m1m

2-1 方程与一次方程（组）及解法

知识考点：

了解等式和方程、一元一次方程（组）的概念，掌握等式的基本性质，能正确熟练地解一元一次方程，会对方程的解进行检验。明确解方程组的基本思想是化归思想，并能用加减消元法和代入消元法解一次方程组。

24

精典例题：

【例1】解方程：2(x1)x337x21

分析：依据方程的同解原理，突出基本步骤，去分母时防止漏乘，注意移项时要改变符号。 答案：x127

【例2】若关于x的方程：10解相同，求k的值。

k(x3)53xk(x2)4与方程52(x1)12x3的

分析：由“解相同”的定义，将方程52(x1)于k的方程，解之即可。

答案：k＝4

12x3的解代入第一个方程，建立一个关

【例3】在代数式axbym中，当x＝2，y＝3，m＝4时，它的值是零；当x＝－3，y＝－6，m＝4时，它的值是4；求a、b的值。

分析：由代数式值的定义得关于a、b的二元一次方程组，侧重分析如何选择使用加减法或代入法消元。

a7答案：10

b3探索与创新：

【问题一】要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）

A、5种 B、6种 C、8种 D、10种

略解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为x、y张（x、y为非负数），则有：2xy10y102x，0≤x≤5且x为整数x＝0、1、2、3、4、5。

答案：B

【问题二】如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。

（1）当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；

（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。

略解：

（1）设CE线长为x千米，列方程可得x＝0.4。

（2）分A→D→C→B→E→A环线和A→D→C→E→B→E→A环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时，故先后者。

A1.61D1C1.2xE0.4B问题二图 25

跟踪训练：

一、填空题：

1、若(32x)∶2＝(32x)∶5，则x＝ 。

2、如果

2x35与

23x3的值互为相反数，则x＝ 。

3、已知x1y1是方程组axby124xby2的解，则ab＝ 。

二、选择题： 1、若单项式ab42m1与23am2bm7是同类项，则m＝（ ）

A、2 B、±2 C、－2 D、4 2、已知方程组5xy3ax5y4与x2y55xby1有相同的解，则a、b的值为（ ）

A、a1b2 B、a4b6 C、a6b2 D、a14b2

3、若方程组3xyk1x3y3的解x、y满足0＜xy＜1，则k的取值范围是（ ）

A、2＜k＜3 B、2＜k＜4 C、－4＜k＜0 D、－4＜k＜－2

4、在一次美化校园的活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人数各是多少？解题时若设支援拔草的人数有x人，则下列方程中正确的是（ ）

A、32x218 B、32x2(38x) C、52x2(18x) D、52x218 三、解方程（组）

1、

x12x3y53、； 4、33x2y1x34y24y332(xy)51x33x24； 2、

1.80.8x1.20.030.02x0.03x52；

。

2yx

26

四、当x＝1、2、3时，ax

五、已知a、b是实数，且

2bxc的对应值分别是2、3、6，求a、b、c的值。

2a6b20，解关于x的方程：(a2)xb2a1

2-2 不等式与一元一次不等式（组）及解法

知识考点：

了解一元一次不等式、一元一次不等式组的概念，能熟练地运用不等式的性质解一元一次不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来，能够根据具体问题中的数量关系，列出一次不等式（组）解决简单的问题。 精典例题：

【例1】解不等式

y13y12≥

y161，并在数轴上表示出它的解集。

分析：按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。

答案：y≤6

x2(x1)3【例2】解不等式组2x5，并在数轴上表示出它的解集。

x3分析：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，故应将不等式组里各不等式分别求出解集，标到数轴上找出公共部分，数轴上要注意空心点与实心点的区别，与方程组的解法相比较可见思路不同。

答案：－1≤x＜5 【例3】求方程组xyk5x3y26的正整数解。

分析：由题设知，k必为正整数，由方程组可解得用含k的代数式表示x、y，又x、y均大于零，可得出不等式组，解出k的范围，再由k为正整数可得k＝6、7、8，分别代入可得解。

答案：当k＝6时，x4y2；当k＝8时，x1y7

探索与创新：

【问题一】已知不等式3xa≤0，的正整数解只有1、2、3，求a。 略解：先解3xa≤0可得：x≤

a3，考虑整数解的定义，并结合数轴确定

a3允许的范围，可

得3≤

a3＜4，解得9≤a＜12。

不要被“求a”二字误导，以为a只是某个值。

【问题二】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两

27

种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品总利润为y元，其中一种产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？

略解： （1）设生产A种产品x件，那么B种产品(50x)件，则：

9x4(50x)3603x10(50x)290 解得30≤x≤32

∴x＝30、31、32，依x的值分类，可设计三种方案； （2）设安排生产A种产品x件，那么：y700x1200(50x)

整理得：y500x60000（x＝30、31、32）

根据一次函数的性质，当x＝30时，对应方案的利润最大，最大利润为45 000元。

跟踪训练：

一、填空题： 1、用不等式表示：

①3x1是非负数 ； ②2x5不大于3 ； ③a的2倍减去－3的差是负数 。 2、若a＜b，m为实数，用不等号填空：

①ma mb； ②m＞m，则ma mb。 3、若

22(2m)2m2，则不等式82m≥0的整数解是 。

4、当1＜x＜2时，代数式x1x4x4的值等于 。

25、若不等式组2xa1x2b3的解集为－1＜x＜1，那么(a1)(b1)的值等于 。

52x16、已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 。

xa0二、选择题：

1、下列各中，不满足不等式2(x5)x8的解集的是（ ）

A、－4 B、－5 C、－3 D、5 2、对任意实数a，下列各式中一定成立的是（ ）

A、aa B、aa C、aa D、aa

3、函数yx5x1的自变量x的取值范围是（ ）

A、x≠1 B、x≠－1 C、x≠0 D、x≥－5且x≠－1

28

4、函数y1x1的自变量x的取值范围是（ ）

A、x≠1 B、x≠－1 C、x≠0 D、全体数 三、求下列各函数中自变量x的取值范围。

1、y

四、解不等式（组）：

1、解不等式：

2、解不等式组：1x2，并把解集在数轴上表示出来；

2x(x1)(x3)(x3)x1xx1； 2、y2x； 3、yx12x； 4、y2x1xx22。

x22(x1)1，并把解集在数轴上表示出来；

3、解不等式组：3x4(x2)32x1x132；

3(x1)5x94、求不等式组2x5的正整数解。

x33

五、已知a33a，当a为何整数时，方程组

六、将若干只鸟放入若干个笼子，若每个笼子里只放4只，则有一只鸟无笼可放；若每个笼子放5只，

则有一个笼子无鸟可放。问至少有几只鸟？几个鸟笼？

29

3x6y15x11ya的解都是负数？

2-3 一元二次方程的解法

知识考点：

理解一元二次方程的概念及根的意义，掌握一元二次方程的基本解法，重点是配方法和公式法，并能根据方程特点，熟练地解一元二次方程。 精典例题：

【例1】分别用公式法和配方法解方程：2x3x2

分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。 用公式法解：

解：化方程为标准形式得：2x223x20

∵a＝2，b＝－3，c＝－2 ∴xbb4ac2a2＝

(3)(3)42(2)222＝

3

∴x1＝2，x2＝用配方法解：

12。

解：化二次项系数为1得：x232x1

22312x 两边同时加上一次项系数一半的平方得：x222配方得：(x3311

2234

34)22516 开方得：x34 移项得：x∴x1＝2，x2＝12。

【例2】选择适当的方法解下列方程：

（1）7(2x3)（3）2x2228； （2）y2y3990

22125x； （4）(2x1)3(2x1)20

分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。 解：（1）∵7(2x3) ∴(2x3)2228

4

2x32

2x32 ∴x1＝

52，x2＝

12。

30

（2）∵y∴y222y3990

(25)(25)421 2222y399

＝2523

4y2y13991

(y1)22∴x1＝

523，

400

x2＝

5223 y120 y120

∴y1＝21，y2＝－19。 （3）∵2x∴2x22。

（4）∵(2x1)3(2x1)20

∴[(2x1)1][(2x1)2]0 即(2x2)(2x3)0

2x20或2x30

∴x1＝－1，x2＝125x

25x10

32 ∵a＝2，b＝25，c＝1

bb4ac2a22。

∴x＝

【例3】已知(ab)(ab)60，求ab的值。

2222222 分析：已知等式可以看作是以a解：把a22b为未知数的一元二次方程，并注意ab的值应为非负数。

2222222b看作一个整体，分解因式得：[(ab)3][(ab)2]0

2∴(a∴a2b)30或(ab)20 b＝3或ab＝－2

2222222但是a∴a2b＝－2不符合题意，应舍去。

22b＝3

探索与创新：

【问题一】解关于x的方程：(a1)x22axa0

分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当a＝1时，是一元一次方程；当a≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。

解：（1）当a＝1时，原方程可化为：2axa0，是一元一次方程，此时方程的根为x（2）当a≠1时，原方程是一元二次方程。 ∵判别式△＝(2a)4a(a1)＝4a

212；

31

∴①当a＜0时，原方程没有实数根；

②当a＝0时，原方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；

③当a＞0且a≠1时，原方程有两个不相等的实数根x1，＝2aaa1 ；

【问题二】在一个50米长，30米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。

略解：设计方案各取所好，若按左图设计，则有： (502x)(302x)125030

xx 解得：x1＝6.05，x2＝56.95（舍去） 同学们可放开思路，大胆设计。

问题二图 跟踪训练：

一、填空题： 1、方程x25x的根是 ；方程x(x1)2的解是 。

2、设(x1)(x2)0的两根为x1、x2，且x1＞x2，则x12x2＝ 。 3、已知关于x的方程4x224kxk20的一个根是－2，那么k＝ 。

24、x43x ＝(x________)

二、选择题：

1、用直接开平方法解方程(x3)28，得方程的根为（ ）

A、x323 B、x322 C、x1322、在实数范围内把x22，x2322 D、x1323，x2323

x22分解因式得（ ）

2 2)

A、(x2)(x1)C、(x3、方程x22 B、(x2)(x1)2) D、(x2)(x12)(x13x20的实数根有（ ）个

A、4 B、3 C、2 D、1 4、若关于x的方程(k215)x2k(2x1)5有无穷多个解，则（ ）

2A、k≠－3且k≠5 B、k＝3或k＝5 C、k＝5 D、k为任意实数

32

5、如果是方程x值等于（ ）

23xm0的一个根，是方程x3xm0的一个根，那么的

2 A、1或2 B、0或－3 C、－1或－2 D、0或3 三、解下列方程： 1、x

25x20； 2、9(2x3)4(2x5)0

22xx2223、560； 4、(6x7x)2(6x7x)3

x1x1

四、已知a、b是方程x223x3550的两个正根，c是方程x29的正根，试判断以a、

b、c为边的三角形是否存在？并说明理由。

五、已知三角形的两边长分别是方程x的根，求这个三角形的周长。

六、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2(2k3)xk23k20的两

个实数根，第三边BC的长是5。

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

23x20的两根，第三边的长是方程2x5x3022-4 一元二次方程根的判别式

知识考点：

理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。 精典例题：

【例1】当m取什么值时，关于x的方程x22(2m1)x(2m2)0。

2（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。 分析：用判别式△列出方程或不等式解题。 答案：（1）m34；（2）m34；（3）m34

【例2】求证：无论m取何值，方程9x2(m7)xm30都有两个不相等的实根。

33

分析：列出△的代数式，证其恒大于零。 【例3】当m为什么值时，关于x的方程(m24)x2(m1)x10有实根。

22分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m≠0两种情形讨论。

略解：当m24＝0和m244＝0即m2时，2(m1)≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当m24≠0即m2时，方程有根的条件是：

△＝2(m1)4(m224)8m20≥0，解得m≥52

∴当m≥52且m2时，方程有实根。

综上所述：当m≥52时，方程有实根。

探索与创新：

【问题一】已知关于x的方程kx22(2k1)x10有两个不相等的实数根x1、x2，问是

否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。

2k0k0122略解：(2k1)4k0 化简得k

42k11x1x202kk2∴不存在。

【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF，CD＜CF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。

（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？

（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。

ACFB略解：设CF＝DE＝x，则CD＝EF＝

100x

E修建总费用为：1.75x4.5x4.52100x＝

D6.25x900x问题二图 条件是：10＜x≤25

（1）6.25x900x150x＝12 ∴能完成

34

（2）6.25x900x1206.25x120x9000

2∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成

跟踪训练：

一、填空题： 1、下列方程①x210；②xx0；③xx10；④xx0中，无实根的方程

222是 。 2、已知关于x的方程x3、如果二次三项式3x是 。 4、在一元二次方程x22mx20有两个相等的实数根，那么m的值是 。

24x2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值范围

bxc0中(bc)，若系数b、c可在1、2、3、4、5中取值，则其中

有实数解的方程的个数是 。 二、选择题：

1、下列方程中，无实数根的是（ ）

2 A、x11x0 B、 2y67 C、x120 D、x3x20

y2、若关于x的一元二次方程(m2)x范围是（ ） A、m22(2m1)x10有两个不相等的实根，则m的取值

342 B、m≤

34 C、m34且m≠2 D、m≥

34且m≠2

3、在方程axbxc0（a≠0）中，若a与c异号，则方程（ ）

A、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根 D、无法确定 三、试证：关于x的方程mx

四、已知关于x的方程x值。

五、已知关于x的方程x222(m2)x1必有实根。

mx2mn0的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m、n的

(2m1)xm20有两个不等实根，试判断直线

2y(2m3)x4m7能否通过A（－2，4），并说明理由。

六、已知关于x的方程x22(m2)xm20，问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的

平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

35

七、已知n＞0，关于x的方程x2(m2n)x

14mn0有两个相等的正实根，求

mn的值。

2-5 一元二次方程根与系数的关系

知识考点：

掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。 精典例题：

【例1】关于x的方程2x2kx410的一个根是－2，则方程的另一根是 ；

k＝ 。

分析：设另一根为x1，由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组，解之即得。

答案：

52，－1

【例2】x1、x2是方程2x2223x50的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

22（1）x1x2 （2）x1x2 （3）x13x2223x2

略解：（1）x1x2＝(x1x2)22x1x2＝714

（2）x1x2＝(x1x2)4x1x2＝3212

（3）原式＝(x1x2)(2x222223x2)＝72145＝1214

【例3】已知关于x的方程x2(m2)xm50有两个实数根，并且这两个根的平方

和比这两个根的积大16，求m的值。

分析：有实数根，则△≥0，且x1x2略解：依题意有：

x1x22(m2)2 x1x2m5

22x1x2x1x216224(m2)4(m5)022x1x216，联立解得m的值。

由①②③解得：m1或m15，又由④可知m≥94

36

∴m15舍去，故m1

探索与创新：

【问题一】已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x24(m1)xm20的两个非零实数

根，问：x1与x2能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。

略解：由32m16≥0得m≤

12。x1x2m1，x1x214m≥0

2 ∴x1与x2可能同号，分两种情况讨论：

x1x20（1）若x1＞0，x2＞0，则，解得m＜1且m≠0

xx012 ∴m≤

12且m≠0

（2）若x1＜0，x2＜0，则x1x20x1x20，解得m＞1与m≤

12相矛盾

综上所述：当m≤

12且m≠0时，方程的两根同号。

【问题二】已知x1、x2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根。

（1）是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)请说明理由。

（2）求使

32成立？若存在，求出k的值；若不存在，

x1x2x2x12的值为整数的实数k的整数值。

略解：（1）由k≠0和△≥0k＜0 ∵x1x21，x1x2k14k

∴(2x1x2)(x12x2)2(x1x2)9x1x2

2 k94k32

∴k95，而k＜0

∴不存在。

（2）

x1x2x2x12＝

(x1x2)x1x224＝4k1，要使4k1的值为整数，而k为

37

整数，k1只能取±1、±2、±4，又k＜0

∴存在整数k的值为－2、－3、－5

跟踪训练：

一、填空题： 1、设x1、x2是方程x24x20的两根，则①

1x11x2＝ ；②x1x2 ＝ ；③(x11)(x21)＝ 。 2、以方程2x2x40的两根的倒数为根的一元二次方程是 。

3、已知方程x4、已知方程x2mx450的两实根差的平方为144，则m＝ 。

3xm0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 。

25、反比例函数ykx的图象经过点P（a、b），其中a、b是一元二次方程x2kx40 的

两根，那么点P的坐标是 。 6、已知x1、x2是方程x二、选择题： 1、如果方程x223x10的两根，则4x112x211的值为 。

2mx1的两个实根互为相反数，那么m的值为（ ）

A、0 B、－1 C、1 D、±1 2、已知ab≠0，方程ax2bbxc0的系数满足22ac，则方程的两根之比为（ ）

A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3 3、已知两圆的半径恰为方程2x（ ）

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条 4、已知，在△ABC中，∠C＝900，斜边长725x20的两根，圆心距为3，则这两个圆的外公切线有

12，两直角边的长分别是关于x的方程：

x3(m212)x9m0的两个根，则△ABC的内切圆面积是（ ）

A、4 B、

32 C、 D、

4794

5、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：

x(2m1)xm30的根，则m的值为（ ）

38

22 A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3 三、解答题： 1、证明：方程x

2、已知关于x的方程x2221997x19970无整数根。

3xa0的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程

(k1)x3x2a0有实根，且k为正整数，求代数式

3、已知关于x的方程x2k1k2的值。

2(12a)xa30„„①有两个不相等的实数根，且关于x的方程

2x2x2a10„„②没有实数根，问：a取什么整数时，方程①有整数解？

4、已知关于x的方程x22(m1)xm30

2 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x1、x2是方程的两根，且(x1x2)

5、已知关于x的方程kx222(x1x2)120，求m的值。

(2k1)xk10只有整数根，且关于y的一元二次方程

(k1)y3ym0的两个实数根为y1、y2。

（1）当k为整数时，确定k的值。

（2）在（1）的条件下，若m＝2，求y1y2的值。

6、已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2224(m1)xm2问：x1、x20的两个非零实根，

能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由。

2-6 分式方程

知识考点：

会用化整法，换元法解分式方程，了解分式方程产生增根的原因并会验根，会用分式方程解决简单的应用问题。 精典例题：

【例1】解下列分式方程：

39

1、xxx222x； 2、

x1x123(x1)112 3、2x3x41 22xxx1分析：（1）题用化整法；（2）（3）题用换元法；分别设y答案：（1）x1（x2舍去）； （2）x1＝0，x2＝1，x111y3 【例2】解方程组：x1129xyx1x132172，yx1x，解后勿忘检验。

3，x317 （3）x4121x2

221AB113分析：此题不宜去分母，可设＝A，＝B得：，用根与系数的关系可解出A、B，

xyAB29再求x、y，解出后仍需要检验。

3x23x1答案：2，3

y2y321【例3】解方程：2x1x4x2x123

分析：此题初看似乎应先去分母，但去分母会使方程两边次数太高，仔细观察可发现

2x1x2x1x2，所以应设y2x1x622，用换元法解。

答案：x1162，x21，x312，x41

探索与创新：

【问题一】已知方程

2xxmxx211x1，是否存在m的值使得方程无解？若存在，求出

满足条件的m的值；若不存在，请说明理由。

略解：存在。用化整法把原方程化为最简的一元二次方程后，有两种情况可使方程无解：（1）△＜0；（2）若此方程的根为增根0、1时。所以m＜

74或m＝2。

【问题二】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。

当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

40

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。 你认为哪种方案获利最多？为什么？

略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x吨蔬菜精加工，用时间列方程解得x60，故可算出其获利810 000元，所以应选择第三种方案。

跟踪训练：

一、填空题： 1、若关于x的方程

ax1x1210有增根，则a的值为 。

2、用换元法解方程xx2xx210，如果设xxy，则原方程可变形为整式方

2程 。 3、分式方程

xx12kx1xx10有增根x1，则k＝ 。

4、若x1x12，则x＝ 或 。

二、选择题： 1、方程

x2x52x2x62有（ ）

A、一解 B、两解 C、无解 D、无穷多个解 2、方程

2x3x12的根是（ ）

A、－2 B、

12 C、－2，

12 D、－2，1

3、用换元法解方程

2(x1)x126(x1)x127时，下列换元方法中最适宜的是设（ ）

2 A、yx21 B、yx1 C、y1x1x1x2x1x1 D、y1x12

4、用换元法解方程x2x4，通常会设y（ ）

A、xx B、x三、解下列方程：

2 C、

1x1x2 D、x2

41

1、 3、

xx5x2x6； 2、

10xx6222x1；

x2x1x3x12x121； 4、

x4x5x5x6x7x8x8x9

四、用换元法解下列方程（组） 1、

3xx1x13x52； 2、

2x8x3x23xxx42113；

5xx3； 4、 3、2x4x260 x1x2x1x1232

五、已知x

23x10，求x41x4的值。

2-7 二元二次方程组

知识考点：

了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组（Ⅱ）。 精典例题：

【例1】解下列方程组：

222xy1xy7xy101、；2、；3、 2222xy610xyx10x3xy2y0分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。（3）为Ⅱ型方程组，应将x23xy2y20分解为xy0或x2y0与xy2210配搭转

化为两个Ⅰ型方程组求解。

1xx10x16x212答案：（1），； （2）， 2y11y2y11y262 42

x1 （3）y15x322x422x25，，， 5y42y32y25y24x2y10【例2】已知方程组有两个不相等的实数解，求k的取值范围。

ykx2分析：由②代入①得到关于x的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。

略解：由②代入①并整理得：kx22(2k4)x10

2k0k0  即

22k1(2k4)4k16k160 ∴当k＜1且k≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。

3x2y29x11x22【例3】方程组的两组解是，不解方程组，求

yy1212xy51221的值。

分析：将y5x代入①得x的一元二次方程，1、2是两根，可用根与系数的关系，将

151，252代入1221后，用根与系数的关系即可求值。

答案：

533

探索与创新：

y24xx1x1x2x2【问题】已知方程组的两组解是和且x1x10，x1≠x2，

yyyyy2xn1221设m1x11x2。

（1）求n的取值范围；（2）试用含n的代数式表示出m；

（3）是否存在这样的n值，使m的值等于1？若存在，求出所有这样的n值，若不存在，请说明理由。

01略解：（1）将②代入①化简，由n＜且n≠0

2x1x20 （2）利用根与系数的关系得：m4(1n)n2（n＜

12且n≠0＝

4(1n)1n2 （3）n222

1n且n02 43

跟踪训练：

一、填空题：

yx1x24y231、方程组的解是 。2、方程组的解是 。 2yx2x3x2y1x2y2203、解方程组时可先化为 和 两个方程组。

(x2y)(x3y)0151xy64、方程组的解是 。

1116xy5、方程组xyaxyb的两组解为x1a1y1b1，x2a2y2b2，则a1a2b1b2＝ 。

二、选择题：

xy11、由方程组消去y后得到的方程是（ ） 22(x1)(y1)40A、2xC、2x22x30 B、2x2x50 2x10 D、2x2x90

222xy02、方程组解的情况是（ ） 22xxy30A、有两组相同的实数解 B、有两组不同的实数解 C、没有实数解 D、不能确定

x2y2103、方程组有唯一解，则m的值是（ ）

yxm0A、

2 B、2 C、2 D、以上答案都不对

yx24、方程组有两组不同的实数解，则（ ）

yxmA、m≥14 B、m＞14 C、14＜m＜

14 D、以上答案都不对

三、解下列方程组：

22xy5xy7x2xyy11、2； 2、2 3、； 2222xy15xy252x5xy3y0

44

x2y213xy74、； 5、

xy12xy6

x2y220四、m为何值时，方程组有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解。

xym

2-8 应用问题（一）

知识考点：

掌握列方程和方程组解应用题的方法步骤，能够熟练地列方程和方程组解行程问题和工程问题。 精典例题：

【例1】甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。

分析：可设甲组单独完成需要x天，则乙组单独完成需要(x5)天，由题意得：

4x51 x5x 注意解分式方程的方法和解应用题的步骤。 答案：甲10天，乙15天。

【例2】A、B两地间的路程为15千米，早晨6点整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地。乙到达A地后，停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲、乙两人同时到达B地？

分析：可从两方面考虑：

（1）时间方面：甲步行15千米的时间比乙骑车走30千米的时间多1小时（由20分钟＋40分钟得到），设甲步行每小时走x千米，易列分式方程；

（2）速度方面：乙骑车比甲步行每小时多走10千米，设甲所用时间为x小时，易列分式方程。 答案：9点钟甲、乙两人同时到达B地。

【例3】A、B两地间的路程为36千米，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分钟到达B地，乙再走1小时36分钟到达A地，求两人的速度。

分析：画线段图作辅助分析，可得多种解法，若一元方程不易列出时可考虑用方程组解，例如设甲速为x千米／小时，乙速为y千米／小时，则有：

3630(2)x(1)y3660x860  答案：

3036y10(1)y2)x6060xy探索与创新：

【问题一】先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题。

45

编写要求：

（1）分别编写一道行程问题的应用题和一道工程问题的应用题，使得根据其题意列出的方程为：

120x120x101；

（2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且其解符合实际。

略解：本题没有唯一确定的答案，但可有丰富多彩的思路，例如把此方程看作行程问题按时间等量关系来列，则可把120看作路程，x、x10看作两个不同对象的速度，前者比后者走完全程多用1小时，而两人可以是同时出发先后到达；也可是先后出发同时到达等等„„；如果从路程、从速度来看又有不同的解释。注意：所编题目应符合编写要求。正确设未知数、列、解方程，并检验作答。

答案：x1＝30，x2＝－40（舍去）

【问题二】某学生做作业时不慎打翻墨水瓶，使一道作业题上看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米／小时，运货汽车的速度为35千米／小时， ”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字），请将这道题补充完整，并列方程解答。

略解：此题也无唯一答案，仅给一例供参考，补充部分：“若两车分别从两地同时开出，相向而行，经过几小时两车相遇？”

解：设经过x小时两车相遇，依题意可得： 45x35x40 解得：x

12 答：经过

12小时两车相遇。

跟踪训练：

一、填空题：

1、某工程甲独做x天完成，乙独做y天完成，两人合做 天可完成这个工程。

2、快艇往返甲、乙两地之间，顺水速度为60千米／小时，逆水速度为40千米／小时，则该船往返一趟的平均速度是 。 二、行程问题：

1、甲、乙两人同时从张庄出发，步行15千米来到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，两人每小时各走多少千米？

2、一汽船往返于相距120千米的两地，共航行10小时，已知水流速度是5千米／小时。求这只汽船在静水中的航行速度。

3、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，若同向而行，则经过a小时快者追上慢者；若相向而行，则经过b小时两人相遇。那么快者与慢者的速度比是多少？

4、甲、乙两人同时从同一地点出发，同向而行，甲骑自行车、乙步行，如果乙先走12千米，那么甲用1小时就能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用1小时就能追上乙。求两人的速度各是多少？

2

46

5、甲、乙两人分别在A、B两地同时相向出发，当甲到半路时，乙离终点还有24千米；而乙走到半路时，甲离终点还有15千米。问甲到达终点时，乙离终点还有多少千米？

6、两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒。

（1）求两车的速度之和及两车相向而行慢车驶过快车某窗口（慢车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用时间；

（2）如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米／秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少为多少秒？

三、工程问题：

1、甲、乙两组工人合做某项工作12天后，因甲组工人另有任务而由乙组工人继续做了3天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组快6天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。

2、某厂赶制50个零件，制好18个以后，改进操作方法每天可以多制2个，这样共用7天完成任务，求改进操作方法以后每天制作的零件数。

3、某乡搞改水工程，计划用25个劳力在规定时间内挖1 000个土方，施工4天后，抽调5个劳力搞其它工作，但由于每人每天多挖1个土方，结果按计划完成，求原计划每人每天挖多少土方？

4、甲、乙共同完成一项工作需要4天，甲单独工作3天后剩下部分由乙去做，乙还需工作的天数等于甲单独完成此项工程的天数。两人单独完成这项工程各需的天数是多少？

5、正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成；需费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问：

（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？

6、某商店出售一批规格相同的钢笔，如果每支钢笔的价格增加1元，那么120元钱可以买到的钢笔数量将会减少6支，求现在每支钢笔的价格是多少元？

2-9 应用问题（二）

知识考点：

掌握列方程（组）解应用题的方法和步骤，并能灵活运用不等式（组）、函数、几何等数学知识，解决有关数字问题、增长率问题及生活中有关应用问题。 精典例题：

47

【例1】某校2002年秋季初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2003年秋季初一年级招生人数增加20％，高一年级招生人数增加15％，这样2003年秋季初一、高一年级招生人数比2002年增加18％，求2003年秋季初一、高一的计划招生人数各是多少？

分析：本题解法较多，可设直接未知数，也可设间接未知数，可列一元方程、也可列二元方程组，无论选择何种思路均要从增长率基本公式入手。

答案：初一360人，高一230人。

【例2】今年入夏以来，湖北部分地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，某水库向甲、乙两地送水。甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水：往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81万立方米。问完成甲、乙两地送水任务还各需多少天？

分析：对于比较生蔬的题型尤其要仔细审题，在充分理解题意后，再从不同侧面分析。

例如对甲地有如下信息：（1）共需送水180万立方米，前后两次已送水2＋3＝5（天），问还需送水多少天（可设x天），则：

（1）往甲地每天的送水量为

180x5；（2）前后两次各送了水

180x53和

180x52（万立方米）

对乙地进行类似地分析，即可得方程组。 答案：甲地5天，乙地3天。

【例3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

分析：（1）设每件衬衫应降价x元，则由盈利(40x)(202x)1200可解出x但要注意“尽快减少库存”决定取舍。

（2）当x取不同的值时，盈利随x变化，可配方为：2(x15)1250求最大值。 但若联系二次函数的最值求解，可设：

2y(40x)(202x)y2x60x800

结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。

所以在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。

答案：（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。

2探索与创新：

【问题一】现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。

（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；

（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？

（3）在上述方案中，哪种方案运费最省，最少运费为多少元？

48

略解：（1）设用A型车厢x节，则用B型车厢(40x)节，总运费为y万元，则： y0.6x0.8(40x)0.2x32

35x25(40x)1240 （2）依题意得： 解得：24≤x≤26

15x35(40x)880 ∴x＝24或25或26 ∴共有三种方案安排车厢。

（3）由y0.2x32知，x越大，y越小，故当x＝26时，运费最省，这时，

y0.22632＝26.8（万元）

【问题二】在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?

分析：该题联系生活实际，设计巧妙，要求学生有较强的阅读理解能力，综合应用不等式、方程、函数等方面的知识建立数学模型；对学生如何运用所学数学知识解决实际问题（即将实际问题转化为数学问题）的能力提出了较高的要求。本题解题方法多，给学生发挥才能的空间大，是一道考查学生分析问题和解决问题能力的好题。

解法1：设检票开始后每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟y人，5分

a30x30y钟内检票完毕要同时开放n个检票口，依题意得: a10x210y，由（1）、（2）消去x得

a5xn5y1530所以n≥3.5，又n为整数，因此n＝4，故至少需同时开放4个检票口。 ya（4），代入（1）得xa（5），将（4）和（5）代入（3）得aa6≤na3，而a0，

解法2：利用检票时间相等建立等量关系，即不管开放几个检票口，每位旅客的检票时间相等，得

30a30x102a10x5na5x（字母含义与解法1相同），以下解法略。

解法3：设开始检票后每分钟新增加旅客为b人，检票的速度为每分钟c人，开放检票口的个数为

y个，检票时间为x分钟，依题意，y与x之间的函数关系为yabxcx，而x＝30，y＝1；x＝10，y＝2，因此可求出函数关系为y30x2x，即x302y1，当x≤5时，y≥3.5，故至少

需同时开放4个检票口.本题还有其它解法略。

跟踪训练：

一、选择题：

1、据《人民日报》2003年6月11日道，今年1～4月福州市完成工业总产值550亿元，比去年同

49

期工业总产值增长21.46％，请估计去年同期工业总产值在（ ）

A、380～400（亿元） B、400～420（亿元） C、420～440（亿元） D、440～460（亿元） 2、如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：①2001年的利润率比2000年的利润率高2％；②2002年的利润率比2001年的利润率高8％；③这三年的利润率14％；④这三年中2002年的利润率最高。其中正确的结论共有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

资金投放总额（万元） 5030025020010020002001200240302010200020012002利润（万元） 年份（年）

年份（年）

利润率＝利润投放资金总额100％

3、甲、乙两个药品仓库共存药品45吨，为共同抗击“非典”，现从甲仓库调出库存药品的60％，从乙仓库调出40％支援疫区。结果乙仓库所余药品比甲仓库所余药品多3吨，那么甲、乙仓库原来所存药品分别为（ ）

A、24吨，21吨 B、21吨，24吨 C、25吨，20吨 D、20吨，25吨 二、解答题：

1、一次竞赛共有25道试题，每道题答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果一学生在这次竞赛中得分不低于60分，那么他至少答对了几道题？

2、一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用。已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用了2a、a次；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨。

（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？

（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元（按每运1吨付运费20元计算）？

3、某厂一月份生产甲种产品16件，第一季度中每月的增长率相同；生产乙种产品每月比上月增产10件，又知二月份甲、乙两种产品产量的比为2∶3，三月份两种产品的总产量是65件，求乙种产品一月份的产量。

4、某同学把勤工俭学挣的100元钱，按活期存入银行，如果月息是0.15％，数月后本金与利息的和为100.9元，那么该同学的钱在银行存了几个月？

50

5、王老师把500元钱按一年定期存入银行，到期后取出了300元捐给了灾区，剩下的200元和应得的利息又全部按一年定期存入，由于利息下调，第二次存款的年利率是第一次年利率的期后可得利息15元，求第一次存款的年利率。

6、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。

7、某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场。这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下：

作物品种 蔬菜 每亩地所需职工数 每亩地预计产值 1100元 35，这样到

121314 烟叶 750元 小麦 600元 请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计产值最多。

8、商场销售某种商品，今年4月份销售了若干件，共获毛利润3万元（每件商品的毛利润＝每件商品的销售价格－每件商品的成本价格），5月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销售价降低了4元，但销售量比4月份增加了500件，从而所获毛利润比4月份增加了2000元，问调价前，销售每件商品的毛利润是多少元？

51

3-1 正比例函数与反比例函数

知识考点：

1、掌握正、反比例函数的概念；2、掌握正、反比例函数的图象的性质； 3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。 精典例题：

【例1】填空：

1、若正比例函数y(m1)x是 。

2、已知点P（1，a）在反比例函数ym5m132的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式

kx（k≠0）的图像上，其中am22m3（m为

实数），则这个函数的图像在第 象限。

3、如图，正比例函数ykx（k＞0）与反比例函数y3x的图像交于A、C两点，AB⊥x轴

于B，CD⊥x轴于D，则S四边形yABCD＝ 。

yCAADOCBxPBDOx

例1图

例2图

答案：1、y3x；2、一、三；3、6；4、（2，－4）

【例2】如图，直线yxb（b＞0）与双曲线ykx（k＞0）在第一象限的一支相交于

A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点，且POPD。

（1）试用k、b表示C、P两点的坐标；

（2）若△POD的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若△OAB的面积等于43，试求△COA与△BOD的面积之和。

解析：（1）C（0，b），D（b，0） ∵PO＝PD ∴xPOD2bb2，yP2kb ∴P（

b2，

2kb）

（2）∵SPOD1，有

122kb1，化简得：k＝1 ∴y1x（x＞0）

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），由SCOASBODSCODSAOB得：

52

12bx112by212b4322，又

2y2x2b得bx1b(x2b)b283yxb1yx，即

b(x2x1)83得b(x1x2)4x1x2192，再由得x2bx10，从

而x1x2b，x1x21，从而推出(b4)(b4)(b故SCOASBOD843

212)0，所以b4。

评注：利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法。求两函数图像的交点坐标，即解由它们的解析式组成的方程组。

探索与创新：

【问题】如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA＝OB＝1。这条曲线是函数y12x的图像在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上

任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F。

（1）分别求出点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；

（2）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）； （3）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明。如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由。

（4）当点P在曲线yBFyNP(a，b)E12x上移动时，△OEF随之变动，指

OMAx出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论。

解析：（1）点E（a，1a），点F（1b，b）

（2）SEOFS矩形MONPSEMOSFNOSEPF ＝ab12a(1a)12b(1b)122(ab1) ＝

问题图 12(ab1)

（3）△AOF与△BOE一定相似，下面给出证明 ∵OA＝OB＝1 ∴∠FAO＝∠EBO BE＝AF＝

y2a(11a)(11b)b222a 2b

BF2NP(a，b)E∵点P（a，b）是曲线y12x上一点

OMAx∴2ab1，即AF·BE＝OB·OA＝1

问题图 53

∴

AFOBOABE ∴△AOF∽△BOE

（4）当点P在曲线y12x上移动时，△OEF中∠EOF一定等于450，由（3）知，∠AFO

＝∠BOE，于是由∠AFO＝∠B＋∠BOF及∠BOE＝∠BOF＋∠EOF ∴∠EOF＝∠B＝450

评注：此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了。在证明三角形相似时，∠EBO＝∠OAF是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了点P（a，b）在双曲线y相应的代数式形式是解本题的关键。

12x上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为

跟踪训练：

一、选择题： 1、下列命题中：

①函数y3x（2≤x≤5）的图像是一条直线；

②若y与3z成反比例，z与x成正比例，则y与x成反比例；

③如果一条双曲线经过点（a，b），那么它一定同时经过点（b，a）； ④如果P1（x1，y1），P2（x2，y2），是双曲线y4x同一分支上的两点，那么当x1＞x2时，y1＞y2。

正确的个数有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、已知M是反比例函数ykx（k≠0）图像上一点，MA⊥x轴于A，若SAOM4，则这个反

比例函数的解析式是（ ） A、y88 B、y8 C、y8或y D、yxxxx4x或y4

x3、在同一坐标系中函数ykx和yyyk1x的大致图像必是（ ）

yyxxxx

A B C D

4、在反比例函数y1mx2的图像上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）若x1 ＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（ ）

A、y3＞y1＞y2 B、y3＞y2＞y1 C、y1＞y2＞y3 D、y1＞y3＞y2

5、在同一坐标系内，两个反比例函数yk1x的图像与反比例函数yk3xAy的图像（k 为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（ ）

A、3 B、2 C、1 D、0 二、填空题：

1、若反比例函数y(m＝ 。

2、A、B两点关于y轴对称，A在双曲线y是 。

3、已知双曲线y2BOx选择第5题图 5)xmm72在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m1x上，点B在直线yx上，则A点坐标

kx上有一点A（m，n），且m、n是方程t24t20的两根，则k＝ ，点A到原点的距离是 。

4、已知直线y(m2n)x与双曲线y为 。

5、如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数yxm3的图像与反比例函数y3nmx相交于点（

12，2），那么它们的另一个交点

mx的图像在

第二象限的交点，且SABO1，则A点坐标是 。 三、解答题：

1、如图，直线l交x轴、y轴于点A、B，与反比例函数的图像交于C、D两点，如果A（2，0），点C、D分别在一、三象限，且OA＝OB＝AC＝BD，求反比例函数的解析式。

55

DOBCAyx第1题图 2、已知yy1y2，y1与x成正比例，y2与x1成反比例，当x＝－1时，y＝3；当x＝2时，y＝－3，

（1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x

3、如图，反比例函数y（1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积。

4、如图，已知双曲线y点，连结OP、OQ。

（1）求证：△OAQ≌△OBP；

（2）若C是OA上不与O、A重合的任意一点，CA＝a(0a1)，CD⊥AB于D，DE⊥OB于E。①a为何值时，CE＝AC？②线段OA上是否存在点C，使CE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

EOB22时，求y的值。

8x与一次函数yx2的图像交于A、B两点。 AyNMOBx第3题图 316x（x＞0）与经过点A（1，0），B（0，1）的直线交于P、Q两

yPDQCaAx第4题图 3-2 一次函数

知识考点：

1、掌握一次函数的概念及图像；2、掌握一次函数的性质，并能求解有关实际问题； 3、会用待定系数法求一次函数的解析式。 精典例题：

【例1】已知直线ykxb（k≠0）与x轴的交点在x轴的正半轴上，下列结论：①k＞0，

b＞0；②k＞0，b＜0；③k＜0，b＞0；④k＜0，b＜0，其中正确结论的个数为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

解：根据题意知，直线ykxb（k≠0）的图像可以如图1，这时k＞0，b＜0；也可以如图2，这时k＜0，b＞0。故选B。

56

yyyOOxOxBABx例1图1

例1图2

例2图

评注：本题关键是掌握一次函数ykxb中的系数k、b与图像性质之间的关系。

【例2】一直线与y轴相交于点A（0，－2），与x轴相交于点B，且tan∠OAB＝1，求这条直线

3的解析式。

分析：欲求直线的解析式，需要两个的条件建立关于k、b的方程组，结合题目条件，本题要分两种情况讨论，如上图所示。

答案：y3x2或y3x2

【例3】如下图，已知直线ykxb与ymxn交于点P（1，4），它们分别与x轴交于A、B，PA＝PB，PB＝25。

（1）求两个函数的解析式； （2）若BP交y轴于点C，求四边形PCOA的面积。 解析：

（1）作PH⊥AO，则PH＝4，OH＝1，BH＝

(25)4222

2 ∴B（－1，0）。设A（a，0），则AH＝a1，AP＝AB＝a1，(a1)(a1)4，

22解得a4。∴A（4，0），故直线PB：y2x2；直线AP：y43x163。

（2）S四边形PCOASABPSOBC9

评注：灵活运用勾股定理等几何知识求线段长，进而求点的坐标，是解函数题的常用方法。

yBPCBOHAyByNMx

OCAx

OCAx

例3图 问题一图 问题一解析图

探索与创新：

【问题一】如上图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线ykxb（k≠0）经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分。

（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求经过C的直线解析式； （2）若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5，求经过C的直线解析式。

57

解析：（1）如上图，过B（0，2），C（1，0）的直线解析式为y2x2； （2）设ykxb与OB交于M（0，h），分△AOB面积为1∶5得：

SOMC122 SOAB，则11h1122 解得h，所以M（0，）

63326223），则SOMCSCAN，因N（a，

经过点M作直线MN∥OA交AB于N（a，

23）在直

线yx2上，所以a43，故N（

43，） ∴直线CM：y2323x23，直线CN：y2x2

评注：本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。

【问题二】某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，（1微克＝103毫克），接着逐步衰减，10小时时血

液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示。当成

－

人按规定剂量服用后：

（1）分别求出x≤2和x≥2时y与x之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的时间是多长？

解析：（1）设x≤2时，ykx，把坐标（2，6）代入得：y3x；设x≥2时，ykxb，把坐标（2，6），

63O210y（微克）（10，3）代入得：y38x274。

x（小时）问题二图 （2）把y4代入y3x与y38x274中得：x143，x2223，则

tx2x1223436（小时），因此这个有效时间为6小时。

评注：本题是一道一次函数与医药学综合的题目，解题的关键是要将函数图像抽象成解析式，然后结合函数的知识求解。本题趣味性强，能从中了解医药的一些知识。

跟踪训练：

一、选择题：

1、若函数yxb与y2x4的图像交于x轴上一点A，且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积积为（ ） A、6 B、422 C、42 D、2

2、已知M（3，2），N（1，－1），点P在y轴上，且PM＋PN最短，则点P的坐标是（ ）

58

A、（0，

12） B、（0，0） C、（0，

116） D、（0，14）

3、若一次函数y(12k)xk的图像不经过第二象限，则k的取值范围是（ ）

A、k＜

12 B、0＜k＜

12 C、0≤k＜

12 D、k＜0或k＞

12

4、直线ykxb经过点A（－1，m）与点B（m，1），其中m＞1，则必有（ ）

A、k＞0，b＞0 B、k＞0，b＜0 C、k＜0，b＞0 D、k＜0，b＜0 5、小李以每千克0.80元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜后余下的每千克降价0.40元，全部售完。销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小李赚（ ）

A、32元 B、36元 C、38元 D、44元 二、填空题： 1、若

O40质量（千克）76金额（元）选择第5题图 abcbaccab12p，则直线ypxp一定经过第 象限。

2、一次函数ykxb的图像经过点A（0，1），B（3，0），若将该图像沿着x轴向左平移4个单位，则此图像沿y轴向下平移了 单位。

3、如图，已知直线PA：yx1交y轴于Q，直线PB：y2xm。QyP若四边形PQOB的面积为

56，则m＝ 。

AOBx填空第3题图 4、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，一段时间风速保持不变，。当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米，最终停止。结合风速与时间的图像填空：

①在y轴（ ）内填入相应的数值；

（ ）O（ ）y（千米／小时）41025x（小时）②沙尘暴从发生到结束共经过 小时；

③当x≥25时，风速y（千米／小时）与时间x（小时）之间的函数关系式是 。 三、解答题：

填空第4题图 1、一位投资者有两种选择：①中国银行发行五年期国债，年利率为2.63％。②中国人寿保险公司涪陵分公司推出的一种保险―鸿泰分红保险，投资者一次性交保费10000元（10份），保险期为5年，5年后可得本息和10486.60元，一般还可再分得一些红利，，但分红的金额不固定，有时可能多，有时可能少。

（1）写出购买国债的金额x（元）与5年后银行支付的本息和y1（元）的函数关系式； （2）求鸿泰分红保险的年利率，并写出支付保费x（元）与5年后保险公司还付的本息和y2（元）的函数关系式（红利除外）；

59

（3）请你帮助投资者分析两种投资的利弊。

2、如图，已知一次函数y13x1的图像与x轴、y轴分别交By于A、B两点，点C、D都在x轴的正半轴上，D点坐标为（2，0），若两钝角∠ABD＝∠BCD。

（1）求直线BC的解析式； （2）若P是直线BD上一点，且S

3、如图，直线yCDP12AOCDxSCDB，求P点坐标。 第2题图 12x2分别交x轴、y轴于A、C，P是该直

CyP线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴于B，SABP9。

（1）求点P的坐标；

（2）设点R与点P在同一反比例函数的图像上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T，当以B、R、T为顶点的三角形与△AOC相似时，求点R的坐标。

AROBTx第3题图 4、如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA、OB的长是方程，P为直线l上A、B两点之x14x4(AB2)0的两个根（OB＞OA）间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA于点Q。

（1）求tan∠BAO的值； （2）若SPAQ2lByP13S四边形OQPB时，请确定点P在AB上的位置，并求出线OQAx段PQ的长。

（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形。若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

第4题图 3-3 二次函数（一）

知识考点：

掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题：

【例1】二次函数yax2y2bxc的图像如图所示，那么abc、-1O1b4ac、2ab、4a2bc这四个代数式中，值为正的有（ ）

60

x 例1图 A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 解析：∵xb2a＜1 ∴2ab＞0 答案：A

评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定b24ac的符号，若x轴标出了1和－1，则结合

函数值可判定2ab、abc、abc的符号。

【例2】已知abc0，a≠0，把抛物线yax2bxc向下平移1个单位，再向左

平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由abc0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为ya(x2)，则原抛物线的解析式为ya(x25)1，又易知原抛物线过点（1，0）

∴0a(125)1，解得a22214 ∴原抛物线的解析式为：y14(x3)1

2评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，

并注意逆向思维的应用。

另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a反号；②两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；③两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称； 探索与创新：

【问题】已知，抛物线ya(xt1)t（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，如图

所示，抛物线yx2222x1的顶点是B。

2（1）判断点A是否在抛物线yx2x1上，为什么？

2（2）如果抛物线ya(xt1)t经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

解析：（1）抛物线ya(xt1)t的顶点A（t1，t），而xt1当时，yx所以点A在抛物线yx222222y2x1(x1)(x11)＝t，

2222x1上。

2OBx问题图 （2）①顶点B（1，0），a(1t1)22t2∵t0，∴a1；0，

②设抛物线ya(xt1)t与x轴的另一交点为C，∴B（1，0），C（2t1，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过A作AD⊥x轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，t2；当点C在点B的右边时，t1(t1)，解得t1或t0（舍）

2(t1)1，

61

解得t1或t0（舍）。故t1。

评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。

跟踪训练：

一、选择题： 1、二次函数yax2bxc的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论：

2 ①abc＜0；②4acb；③acb1；

y④2ab0；⑤OAOB其中正确的有（ ）

ca；⑥4a2bc0。

-2AOC1Bx A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 第1题图 2、二次函数yx2bxc的图像向右平移3个单位，再向下

2平移2个单位，得到函数图像的解析式为yx分别等于（ ）

A、6、4 B、－8、14

C、4、6 D、－8、－14

2x1，则b与cEAF3、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC边上的高h4，D为BC上一点，BEF∥BC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，那么y关于x的函数图像大致是（ ）

DC第3题图 y42Oy4242y42Oyx O2424x O24x

A B C D

4、若抛物线yax224x

与四条直线x1，x2，y1，y2围成的正方形有公共点，则a的

取值范围是（ ） A、

14≤a≤1 B、

12≤a≤2 C、

12≤a≤1 D、

14≤a≤2

5、如图，一次函数ykxb与二次函数yax2bxc的大致图像是（ ） yyyOyO

Ox

xx

Ox

A B C D

62

二、填空题：

1、若抛物线y(m1)x2、二次函数y4x222mx3m2的最低点在x轴上，则m的值为 。

mx5，当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的

增大而增大。则当x1时，y的值是 。

3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。 4、已知抛物线y(m22)x4mxn的对称轴是x2，且它的最高点在直线y212x1上，则它的顶点为 ，n＝ 。 三、解答题：

1、已知函数yx2，设其图像与x轴交于点A、B，(m2)xm的图像过点（－1，15）

点C在图像上，且SABC1，求点C的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

3、抛物线yx，y2 4 32 1 O -1 S（万元）1 2 3456 t（月） 月12x和直线xa（a＞0）

2-2 -3 第2题图 分别交于A、B两点，已知∠AOB＝900。

（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式； （2）为使直线y

2xb与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合？

63

4、如图，抛物线yax2。 4axt与x轴的一个交点为A（－1，0）y（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

第4题图 CD BAOx3-4二次函数（二）

知识考点：

1、掌握抛物线解析式的三种常用形式，并会根据题目条件灵活运用，使问题简捷获解； 2、会利用图像的对称性求解有关顶点、与x轴交点、三角形等问题。 精典例题：

【例1】已知抛物线yax2bxc与抛物线yx3x7的形状相同，顶点在直线

2x1上，且顶点到x轴的距离为5，则此抛物线的解析式为 。

解析：a1，顶点（1，5）或（1，－5）。因此y(x1)5或y(x1)5或

22y(x1)5或y(x1)5展开即可。

评注：此题两抛物线形状相同，有a1，一般地，已知抛物线上三个点的坐标，选用一般式；已知抛物线的顶点坐标（或对称轴和最值），选顶点式；已知抛物线与x轴两交点的坐标，选交点式。

【例2】如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面宽4线后几小时淹到拱桥顶？

解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点M在y轴上，且A（23），D（2223米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒

y CD6，0），B（26，0），C（23，

，设抛物线的解析式为ya(x26)(x26)，代入3，3）

ABOD点得y14x6，顶点M（0，6），所以(63)0.2512（小时）

2x例2图

评注：本题是函数知识的实际应用问题，解决的关键是学会“数学模型”，并合理建立直角坐标系来解决实际问题。

探索与创新：

【问题】如图，开口向上的抛物线yax2bxc与x轴

yOAB交于A（x1，0）和B（x2，0）两点，x1和x2是方程

xx2x30的两个根（x1x2），而且抛物线交y轴于点

C，∠ACB不小于90。

（1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴； （2）求系数a的取值范围；

0

2 C问题图 （3）在a的取值范围内，当y取到最小值时，抛物线上有点P，使SAPB23，求所有满足条件的点P的坐标。

解析：（1）A（－3，0）B（1，0），对称轴x1 （2）9a3bc0abc02 化简得b2ac3a OC＝3a。

若∠ACB＝900，则OCOAOB，OC3，a3333；

若∠ACB＞900，则OC3，a33；所以0a

（3）由（2）有yax22ax3a，当a在取值范围内，y取到最小值时，a33，

y33x2233x3，由AB＝314，SAPB23得：yP3。当7，x217，∴P1（1＋7，3），P2（1，P4（－2，3）

。 3）

；7，3）

yP3时，x11当yP3时，x30，x42，∴P3（0，评注：本问题是一道函数与几何的综合题，后两问需准确把握图形的变化，灵活运用函数知识求解。

跟踪训练：

一、选择题：

1、已知二次函数的图像与y轴的交点坐标为（0，a），与x轴的交点坐标为（b，0）和（b，0），若a＞0，则函数解析式为（ ） A、yab22xa B、yab2aa2xa C、y2x2a D、y2x2a

bb2、形状与抛物线yxA、yx222相同，对称轴是x2，且过点（0，3）的抛物线是（ ）

24x3 B、yx4x3

65

C、yx24x3 D、yx4x3或yx4x3

2223、已知一次函数y2x3的图像与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数yxbxc的图像过点C且与一次函数图像在第二象限交于另一点B，若AC∶CB＝1∶2，则二次函数图像的顶点坐标为（ ） A、（－1，3） B、（14，

114） C、（12，

114） D、（12，

118）

4、已知二次函数yax23x5a的最大值是2，它的图像交x轴于A、B两点，交y轴于C点，

则SABC＝ 。 二、填空题：

1、已抛物线过点A（－1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，且BC＝32，则这条抛物线的解析式为 。

2、已知二次函数的图像交x轴于A、B两点，对称轴方程为x2，若AB＝6，且此二次函数的最大值为5，则此二次函数的解析式为 。 3、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。（精确到0.1米） 4、已知抛物线yax22 6米 4米 AOB8米 bxc与抛物线yx7x12的形状相同，顶

3，则此抛物线的解析式为 。

第3题图 点在直线x1，且顶点到x轴的距离为三、解答题：

1、已知抛物线yax2bxc交x轴于A、B两点，点A在y轴左侧，该图像对称轴为

1ax1，最高点的纵坐标为4，且OA（1）求此二次函数的解析式；

2。

（2）若点M在x轴上方的抛物线上，且SMAB6，求点M的坐标。

2、如图，直线y34kx3(k0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，

PyB点P是线段AB的中点，抛物线y83xbxc经过点A、P、O（原点）。

2 AOx（1）求过A、P、O的抛物线解析式；

（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使∠QAO＝45，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

0

第2题图 66

3、设抛物线yax2，B（2，－1）两点，且与y轴相交于点M。 bxc经过A（－1，2）

（1）求b和c（用含a的代数式表示）； （2）求抛物线yax2bxc1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；

2（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线yax和x轴的位置关系，并说明理由。

bxc上，试判断直线AM

3-5 函数与一元二次方程

知识考点：

1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 精典例题：

【例1】已抛物线y(m1)x2。 (m2)x1（m为实数）

（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。

m10略解：（1）由已知有，解得m0且m1 2m0 （2）由x0得C（0，－1）

又∵ABamm1∴SABC1223ABOC12mm16512

∴m43或m45 ∴y13x22x1或y15x2x1

【例2】已知抛物线yx2(m8)x2(m6)。

2（1）求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上；

（2）设抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求

m的值。

（3）在（2）的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P？

67

解析：（1）(m证。

24)0，由x1x2m80，x1x22(m6)0可得

222（2）BCx1x2 ＝m2(x1x2)4x1x22(m8)8(m6)

2224

2 OA2(m6)

1222又∵SABC48 ∴

(m4)2(m6)48

解得m（3）yx222或m212（舍去） ∴m2

，BC6 10x16，顶点（5，－9）

∵96 ∴⊙M不经过抛物线的顶点P。

评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。

探索与创新：

【问题】如图，抛物线yx∠C的对边。

（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；

（2）设有直线yaxbc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为xa，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形；

（2）当SABCOPFMQ EN2(ab)xc24，其中a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、

yx3时，设抛物线与x轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）(ab)2问题图 c2(abc)(abc)

∵abc0，abc0 ∴0 （2）由

ab2a得ab

2c22cyx(ab)x 由ac0 4得：x3ax4yaxbc 设E（x1，y1），F（x2，y2），那么：x1x23a，x1x2c24ac

68

由SMNE∶SMNF＝5∶1得：x15x2 ∴x15x2或x15x2

由x1x20知x15x2应舍去。

NyEOPFMQ x 由x1x23ax15x22解得x2a22

问题图 2a ∴52c24ac，即5a4acc0

∴ ac或5ac0（舍去） ∴ abc

∴△ABC是等边三角形。 （3）SABC3，即

34a23 ∴a2或a2（舍去）

2 ∴abc2，此时抛物线yx标为P（2，Q（23，0）

4x1的对称轴是x2，与x轴的两交点坐

3，0）

2设过P、Q两点的圆与y轴的切点坐标为（0，t），由切割线定理有：t ∴tOPOQ

1 故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）

评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。

跟踪训练：

一、选择题： 1、已知抛物线y5x2(m1)xm与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于

4925，

则m的值为（ ）

A、－2 B、12 C、24 D、－2或24 2、已知二次函数y1ax2bxc（a≠0）与一次函数y2kxm（k≠0）的图像交于点A

（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1y2成立的x的取值范围是（ ） A、x2 B、x8 C、2x8 D、x2或x8

69

yAyy ABO OEB xAOBx第2题图 x

2第3题图

第4题图 3、如图，抛物线yaxbxc与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，

（ ） c其中正确的有

2AE＝BE，则下列关系：①ac0；②b0；③ac1；④SABE A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 4、设函数yx22(m1)xm1的图像如图所示，它与x轴交于A、B两点，线段OA与

OB的比为1∶3，则m的值为（ ） A、

13或2 B、

13 C、1 D、2

二、填空题：

1、已知抛物线yx2，B（，0），且(k1)x3k2与x轴交于两点A（，0）

2217，则k＝ 。

22、抛物线yx（x1，0），B（x2，0），且(2m1)x2m与x轴的两交点坐标分别是A

x1x21，

则m的值为 。 3、若抛物线y＝ 。 4、已知二次函数ykx212xmxm1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且∠ACB＝900，则m2(2k1)x1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2)，则对于下列

2结论：①当x2时，y1；②当xx2时，y0；③方程kx(2k1)x1＝0有两

2个不相等的实数根x1、x2；④x11，x21；⑤x2x1结论是 （只填写顺号）。 三、解答题：

1、已知二次函数yax214kk，其中所有正确的

，对称轴为x1，它的图bxc（a≠0）的图像过点E（2，3）

22像与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，x1x2（1）求这个二次函数的解析式；

10。

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

70

2、已知抛物线yx2，B（x2，0）两点，(m4)x2m4与x轴交于点A（x1，0）

与y轴交于点C，且x1x2，x12x20，若点A关于y轴的对称点是点D。

（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；

（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；

3、已知抛物线y12x232mx2m交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）两点，交y轴于

2点C，且x10x2，(AOBO)（1）求抛物线的解析式；

12CO1。

（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。

3-6 函数的综合运用

知识考点：

会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。 精典例题：

【例1】如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于C点，与x轴交于D点，OB＝10，tan∠DOB＝

（1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m之间的函数关系式；并写出自变量m的取值范围。

（3）当△OCD的面积等于S时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3？

213。

如果能，求出此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。

解析：（1）yD（m3，0）

y3x （2）A（m，3m），直线AB：y1mx3mmA，BCDOx例1图 71

SSBDOSADO12m3(13m29m（ 易得：，0m30m3） )S2m（3）由SOCDS2有

(3m)2m219m，解得m11，m23（舍去） 22m22∴A（1，3），过A、B两点的抛物线的解析式为yax(12a)x23a，设抛物线与x23aa轴两交点的横坐标为x1、x2，则x1x2212aa，x1x2

若x1x2223a12a49 3有aa4a10，由于△＝－12＜0方程无实根

整理得7a故过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

评注：解此题要善于利用反比例函数、一次函数、二次函数以及三角形面积等知识，并注意挖掘

问题中的隐含条件。

【例2】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

（4）商店要想月销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大月销售利润是多少？ 解析：（1）(5540)500(5550)106750（元） （2）y(x40)500(x50)10 10x （3）当y8000时，x180，x260（舍去）

（4）y10(x70)9000，销售单价定为70元时，月销售利润最大为9000元。

221400x40000

评注：本题是一道实际生活中经济效益的决策性应用问题，解答时要认真审题，从实际问题中建

立二次函数的解析式，然后应用其性质求解。

探索与创新：

【问题】如图，A（－8，0），B（2，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C。

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求顶点M的坐标和直线MC的解析式；

（3）判定（2）中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由； （4）过原点O作直线BC的平行线OG，与（2）中的直线MC交于点G，连结AG，求出G点的坐标，并证明AG⊥MC。

PACOByx M 72

G问题图 解析：（1）OC2OAOB，y14x232x4；

（2）M（－3，

2），直线MC：y34x4

（3）直线MC交x轴于N（

163，0），易证PC2CN2PN2，直线MC与⊙P相切；

y2x （4）直线BC：y2x4，直线OG：y2x，由解得： 3yx44G（165，325），∵BC∥OG，∴

BNCNONGN，易证△NBC∽△NGA，有

BNCNCNNA

∴

ONGNCNNA，又∠CNO＝∠ANG，∴△NOC∽△NGA，∴∠AGN＝∠CON＝900，故AG⊥MC。

评注：这是一道代数、几何横向联系的综合开放题，解这类问题的关键是运用数形结合的思想方法，从数量关系与图形特征两个方面入手来解决。 跟踪训练： 一、选择题： 1、若抛物线yx22mxmm1的顶点在第二象限，则常数m的取值范围是（ ）

2A、m1或m2 B、1m0C、1m2 D、m0 2、抛物线yax2，B（x2，0）两点，bxc（a＞0）与y轴交于P，与x轴交于A（x1，0）

且x10x2，若OA1292OB13OP，则b的值是（ ）

A、

23 B、 C、32 D、92

3、某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ）

A、8元或10元 B、12元 C、8元 D、10元 二、填空题： 1、函数yax2ax3x1的图像与x轴有且只有一个交点，那么a的值是 ，与x轴

的交点坐标为 。

2、已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y12x上，点N在直线yx3上， 设点

M（a，b），则抛物线yabx2(ab)x的顶点坐标为 。

73

3、将抛物线y3x26x5绕顶点旋转1800，再沿对称轴平移，得到一条与直线yx2交

于点（2，m）的新抛物线，新抛物线的解析式为 。 4、已知抛物线y2x2B两点，顶点为C，连结AC、BC，点A1、A2、A3、„8x4与x轴交于A、

An1把ACn等分，过各分点作x轴的平行线，分别交BC于B1、B2、B3、„Bn1，线段A1B1、

A2B2、A3B3、„、An1Bn1的和为 。（用含n的式子表示） 三、解答题：

1、汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米／小时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米。查有关资料知：甲种车的刹车距离S甲（米）与车速x（千米／小时）之间有下列关系，S甲0.01x20.1x；乙种车的刹车距离S乙（米）与车速x（千米／小时）的

关系如图所示。请你就两车的速度方面分析相碰的原因。

O15S（米）60x（千米／时）第1题图 2、如图，已知直线l与x轴交于点P（－1，0），与x轴所夹的锐角为，县tan＝

23，直线l与抛物线yax2bxc(a0)交于点A（m，

POylA2）和点B（－3，n）

（1）求A、B两点的坐标，并用含a的代数式表示b和c； （2）设关于x的方程x26ax3a32x0的两实数根为x1、x2，

B第2题图 且x1x20，

x1x22，求此时抛物线的解析式；

（3）若点Q是由（2）所得的抛物线上一点，且在x轴上方，当满足∠AOQ＝900时，求点Q的坐标及△AOQ外接圆的面积。

74

3、如图，抛物线C1经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。

（1）求抛物线C1的解析式； （2）求四边形ABDE的面积；

（3）△AOB与△BDA是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由。

（4）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过

-2yD B33)C(2，A-1OEx第3题图 点E（抛物线C1与抛物线C2不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴交于点G，且以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形全等，求a、b的值（只须写出结果，不必写出解答过程）。

4、如图，直线y33x3与x轴、y轴交于点A、B，

yBM⊙M经过原点O及A、B两点。

（1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，写出经过O、C、A三点的二次函数解析式；

（3）若延长BC到E，使DE＝2，连结AE，试判断直线EA与⊙M的位置关系，并说明理由。

EADOCx第4题图

5、如图，P为x轴正半轴上一点，半圆P交x轴于A、B两点，交y轴于C点，弦AE分别交

OC、CB于点D、F，已知ACCE。

（1）求证：AD＝CD； （2）若DF＝C三点的抛物线的解析式；

（3）设M为x轴负半轴上一点，OM＝

，tan∠ECB＝

34，求经过A、B、

CyEF12DAE，是否存在过点M的直线，AOPBx第5题图 使该直线与（2）中所得的抛物线的两个交点到y轴距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由。

75

4-1 平均数、众数与中位数

知识考点：

1、了解总体、个体、样本及样本容量等基本概念；

2、理解平均数、加权平均数、众数及中位数的概念，掌握它们的计算方法；会用它们描述一组数据的平均水平及集中趋势；会用样本平均数去估计总体平均数。 精典例题：

【例1】为了检查一批电风扇的使用寿命，从中抽取10台电风扇进行检测，以下说法正确的是（ ） A、这一批电风扇是总体； B、从中抽取的10台电风扇是总体的一个样本； C、10台电风扇的使用寿命是样本容量； D、每台电风扇的使用寿命是全体。

分析：本题中的考察对象是电风扇的使用寿命，不是电风扇本身，因此这批电风扇的使用寿命是总体，每台电风扇的使用寿命是个体，从中抽取的10台电风扇的使用寿命是总体的一个样本，样本容量是10。故应选D。

【例2】公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下（单位：岁）： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，，57。 解答下列问题（直接填在横线上）：

（1）甲群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是 。

（2）乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是 。

分析：平均数、中位数及众数都是反映数据集中趋势的量，当一组数据的大小比较接近时（如甲群游客），平均数、中位数与众数也比较接近；当一组数据中有个别数特别大或特别小时（如乙群游客），它就会影响平均数的大小，但不影响中位数、众数，此时可由中位数或众数反映这缴数据的集中趋势。

答案：（1）15，15，15；平均数、中位数、众数； （2）15，5.5，6；中位数、众数。

探索与创新：

【问题一】某校为举行百年校庆，决定从高二年级300名男生中挑选80人组成仪仗方队，现随机抽测10名高二男生的身高如下（单位：米）：

1.69，1.75，1.70，1.65，1.72，1.69，1.71，1.68，1.71，1.69 试确定参加仪仗方队学生的最佳身高值。

分析：理想的仪仗方队应由身材较高，且高矮一致的人组成，因此身高的挑选标准应由身高中出现次数最多的数值所确定。

解：上面10个数据中的众数为1.69米，说明全年级身高为1.69米的男生最多，估计约有90人，因此将挑选标准定在1.69米，便于组成身高整齐的仪仗方队。

【问题二】某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施提高工作效率，为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随机抽取20人统计其某月产量如下： 每人生产零件数 人 数 260 1 270 1 280 5 290 4 300 3 310 4 350 1 520 1 （1）请应用所学的统计知识。为制定生产定额的管理者提供有用的参考数据； （2）你认为管理者将每月每人的生产定额定为多少最合适？为什么？ （3）估计该车间全年可生产零件多少个？

分析：在确定生产定额时，需参考的数据应当有：平均数、众数、中位数。 合理的生产定额应确定在使多数人经过努力能够完成或超额完成的基础上。

如果将众数280定为生产定额，则绝大多数工人不需太努力就可完成任务，但不利于提高工作效率；若将平均数305定为生产定额，则多数工人不可能超产，甚至完不成定额，会挫伤工人的积极性。

解：（1）平均数305，国位数290，众数280；

76

（2）取中位数290作为生产定额较合适，原因是这个定额使多数工人经过努力能完成或超额完成。 （3）305×12×200＝7.32×105（个），估计全年总产量约为7.32×105个。

跟踪训练：

一、选择题：

1、为了了解一种新型机床的性能，从中抽取10台进行测试。在这个问题中，这10台机床的性能指标是（ ）

A、总体 B、个体 C、样本 D、样本容量

2、某市教委为了了解全市初三学生的身体状况，从中抽取了500名学生的体重进行分析。在这个问题中，下列说法正确的是（ ）

A、全市初三学生的身体是总体； B、从中抽取的500名学生是总体的一个样本；

C、其中每一名学生的体重是个体； D、500名学生的体重是样本容量。

3、某商场一天中售出李宁牌运动鞋10双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，则这10双鞋的尺码组成的一组数所中，众数和中位数分别为（ ） 鞋的尺寸（单位：厘米） 销售量（单位：双） 23.5 1 24 2 24.5 2 25 4 26 1 A、25，25 B、24.5，25 C、26，25 D、25，24. 75

4、某校四个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，x，8，已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是（ ）

A、8 B、9 C、10 D、12 二、填空题：

1、某校举办建党80周年歌咏比赛，六位评委给某班演出评分如下：90，96，91，96，92，94，则这组数据中众数和中位数分别是 （单位：分）。

2、某商场4月份随机抽查了5天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.7，3.0，3.1，试估计该商场4月份的总营业额大约是 万元。

3、若数据x1，x2，x3，„，xn的众数、中位数、平均数分别是m、n、x，则ax1b，ax2b， ax3b，„，axnb的众数＝ ，中位数＝ ，平均数＝ 。4、王老汉为了与客户签订购销合同，对自己鱼塘中的鱼的总重量进行估计。第一次捞出100条，称得重量为184千克；并将每条鱼作上记号放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得重量为416千克，且带有记号的鱼有20条，王老汉的鱼塘中估计有鱼 条，共重 千克。

5、有七个数由小到大依次排列，其平均数是38，如果这组数的前四个数的平均数是33，后四个数的平均数是42，则它们的中位数是 。 三、解答题：

1、某餐厅共有11名员工，所有员工的工资情况如下表所示（单位：元） 人员 人数 工资额 经理 1 3000 厨师甲 1 700 厨师乙 1 500 会计 1 400 服务员甲 4 360 服务员乙 2 340 勤杂工 1 320 解答下列问题（直接填在横线上）：

（1）餐厅所有员工的平均工资是 元； （2）所有员工工资的中位数是 ； （3）用平均数还是中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？答： 。

（4）去掉经理的工资后，其它员工的平均工资是 元，是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？答： 。

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2、小李通过对某地区1998年至2000年快餐公司发展情况的调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图如图所示，和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图，利用这些信息解答下列问题：

快餐公司个数情况表个805950快餐公司盒饭年销量平均数情况图万盒／个2.01.51.0199819992000年份

199819992000年份

（1）1999年该地区销售盒饭共 万盒；

（2）该地区盒饭销量最大的年份是 个，这一年的年销量是 万盒。 （3）这三年中该地区每年平均销售盒饭多少万盒？

3、某公司销售部有营销人员16人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这16人每人的销售量如下：

每人销售件数 人 数 1200 1 740 1 280 4 240 6 230 2 160 2 （1）求这16位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；

（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为330件，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你制定一个较为合理的营销定额，并说明理由。

4-2 方差

知识考点：

了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，掌握它们的计算方法，并能以此比较同类问题的两组数据的波动情况，了解用样本方差估计总体方差的思想方法。 精典例题：

【例1】选用恰当的公式，求下列各数据的方差。

（1）－2，1，4 （2）－1，1，2 （3）79，81，82 分析：由于（1）中各数据及它们的平均数为较小整数，因此选用公式：

S21n(x1x)(x2x)(xnx)2222（2）中各数据虽为较小整数，求方差较简便；

但它们的平均数为分数，因此选用公式：S____12222(x1x2xn)nx求方差较简便；n（3）中数据较大且接近80，因此取a80运用公式：

S2____1222x2xn)nx2求方差较简便。 (x1n答案：（1）S26；（2）S2159；（3）S2159

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【例2】甲、乙两人在相同条件下，各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示，

环数109876321一甲二三四五乙六七十次数

方差 1.2 中位数 命中9环以上次数 1 （1）请填写下表：

甲 乙 平均数 7 （2）请从下面四个不同的角度，对这次测试结果进行分析。

①从平均数和方差相结合看； ②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）； ③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力） 解：（1）略；

（2）①∵平均数相同，S2甲S2乙，∴甲的成绩比乙稳定；

②∵平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些； ③∵平均数相同，命中9环以上环数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些；

④甲成绩的平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，

乙较有潜力。

评注：方差、标准差都是反映数据波动大小的量，波动大小是数据的属性，而不是判断好坏的标准。

探索与创新：

【问题一】某工人加工一种轴，轴的直径要求是20±5毫米，他先加工了8件，量得直径分别为（单位：毫米）：19.7、20.2、19.6、19.8、20.2、20.3、19.8、20.0。当他加工完10件后，发现这10件的直径平均数为20毫米，标准差为0.3毫米，请问此工人最后加工的两件轴的直径符合要求吗？为什么？

分析：要想作出正确的判断，需首先根据已知的平均数和标准差求出最后加工的两件轴的直径。 解：此工人最后加工的两件轴中，只有一件的直径符合要求。

设最后加工的两件轴的直径分别为x毫米，y毫米（x≤y），令x20m，y20n，

____取a20，则xxa20200。

__由x110110(0.30.20.40.20.20.30.20mn)得：mn0.4

由S2(0.3)220.2(0.4)m222n)0.3得：m222n20.4

∴有方程组mn0.4mn20.4，解得：m0.2n0.679

∴x0.22019.8，y0.62020.6

因此该工人最后加工的两件轴中有一件是符合要求的（直径为19.8毫米的），一件是不符合要求的（直径为20.6毫米的）。

跟踪训练：

一、选择题：

1、已知一组数据－1，x，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是（ ） A、

2 B、2 C、4 D、10

2、某工厂对一个生产小组的零件进行抽样调查，在10天中，这个生产小组每天出的次品数为（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，在这10天中，该生产小组生产零件所出的次品数的（ ） A、平均数是2 B、众数是3 C、中位数是1.5 D、方差是1.25 3、设x1、x2、„、xn的方差是S A、5S B、5S222，则5x11、5x21„、5xn1的方差是（ ）

221 C、25S D、25S1

4、下列各组数据中，满足条件“容量为5，平均数为4，方差为2”的是（ ） A、3，4，4，3，5 B、4，4.5，3.5，6，2 C、4二、填空题：

1、为了考查一个养鸡场里鸡的生长情况，从中抽取5只，称得它们的重量如下（单位：千克）：3.3，3.0，3.4，3.1，3.2，在这个问题中，样本方差S22，3，6，3，42 D、5，3，4，7，1

＝ 。

2、一名学生军训时连续射靶10次，命中的环数分别为4、7、8、6、5、9、10、7、6、8，则这名学生射击环数的标准差是 。

3、若a、4、2、5、3的平均数是b，且a、b是方程x24x30的两个根，则这组数据的方

差为 。 4、已知样本99、101、102、x、y（x≤y）的平均数为100，方差为2，则x＝ ，y＝ 。 5、现有A、B两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验，每名参加者可获得0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分这几种不同分值中的一种。测试结果A班的成绩如下表所示，B班的成绩如图所示。

人数A班B班分数 0 1 1 3 2 5 3 7 4 6 5 8 6 6 7 4 8 3 9 2 人数 分数

（1）由观察所得， 班的标准差较大；

（2）若两班合计共有60人及格，问参加者最少获 分值可以及格。 三、解答题：

1、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下（单位：cm）： 甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8 乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11

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如果你也经过了这次考察，请你经过计算后回答下列问题：

（1）哪种农作物的10株苗长的比较高？（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？

2、甲、乙两个小组各10名同学进行英语口语会话练习，各练5次，他们每个同学合格的次数分别如下：

甲组：4，1，2，2，1，3，3，1，2，1 乙组：4，3，0，2，1，3，3，0，1，3

（1）如果合格3次以上（含3次）作为及格标准，请你说明哪个小组的及格率高？ （2）请你比较哪个小组的口语会话的合格次数较稳定？

3、甲、乙两个班举行电脑汉字输入速度比赛，各选10名学生参加，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表： 输入汉字（个） 甲班学生（人） 乙班学生（人） 132 1 0 133 0 1 134 1 4 135 5 1 136 2 2 137 1 2 众数 135 中位数 135 平均数 135 方差 1.6 请你填写上表中乙班学生的相关数据，再根据所学的统计学知识，从不同方面评价甲、乙两班学生的比赛成绩（至少从两个方面进行评价）。

4、一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已知算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学的统计学知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由。

分数 人数 甲组 乙组 50 2 4 60 5 4

70 10 16 80 13 2 90 14 12 100 6 12 4-3 频率分布

知识考点：

1、理解频数、频率的概念，了解频率分布的意义和作用，掌握整理数据的步骤和方法，会画频率分布直方图；

2、初步建立统计观念，提高运用统计知识来解决实际问题的能力。 精典例题：

【例1】为制定本市初中一、二、三年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：

A、测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高； B、查阅有关外地180名男生的统计资料；

C、在本市的市区和郊县各任选一所完全中学，两所初级中学，在这六所学校有关年级的一班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高。

（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比

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较合理？为什么？（答案分别填在空格内）

答： ；理由： 。 （2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的。 ①根据表中数据，填写表中空格；

人数 年级七年级 12 18 24 6 0 八年级 3 9 33 15 0 九年级 0 6 39 12 3 总计（频数） （cm） 身高143～153 153～163 163～173 173～183 183～193

②根据填写的数据，在下图1中绘制频率分布直方图；

人数人数143 153 163 173 183 193 身高（厘米）143 153 163 173 183 193 身高（厘米）图2

解：（1）选C；理由：方案C采用了随机抽样的方法，随机抽样比较具有代表性，可以被用来估计

图1 总体。

（1）①表格中频数从上往下依次是：15，33，96，33，3；②频率分布直方图如图2所示。

【例2】当今青少年视力水平的下降已引起全社会的关注，为了了解某中学毕业年级300名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生的视力，进行数据整理后：

（1）在这个问题中总体是 ； （2）填写频率分布表中未完成的部分；

（3）若视力为4.9，5.0，5.1均属正常，不需娇正，试估计该校毕业年级学生视力正常的人数约为多少？

分组 3.95～4.25 4.55～4.85 4.85～5.15 5.15～5.45 合计 频数 2 6 23 1 频率 0.04 0.12 0.02 1.00 解：（1）某中学毕业年级300名学生视力的全体情况。

（2）频率分布表的第一列应填4.25～4.55；第二列从上到下依次为：18，50；第三列从上到下依次为：0.46，0.36，

（3）由于300×0.36＝108（名），于是可以估计该校毕业年级学生视力正常的约有108名。 评注：在填写频率分布表时应注意：①分组时各组的组距相同，并且前组的终点是后面一组的起点；②各小组的频数之和等于数据的总和；③各小组的频率之和等于1；④由于小组的

82

频数数据总数

＝频率，在频数、数据总数、频率三者之间，已知二量。可求得第三量。

探索与创新：

【问题】为增强学生的身体素质，某校坚持长年的全员体育锻炼，并定期进行体育测试，图1是将某班学生的立定跳远成绩（精确到0.01米）进行整理后，分成五组，画出的频率分布直方图的一部分，已知从左到右四个小组的频率分别是0.05、0.15、0.30、0.35，第五小组的频数是9。

（1）请将频率分布直方图补充完整； （2）该班参加这次测试的学生有多少人？ （3）若成绩在2.00米以上（含2.00米）的为合格，问该班成绩的合格率是多少？

（4）这次测验中你能肯定该班学生成绩的众数和中位数各落在哪一小组内吗？（只须写出能或不能，不必说明理由）

分析与结论：

（1）第五小组的频率为：1－（0.05＋0.15＋0.30＋0.35）＝0.15，与第二小组的频率相同，因此表示第五小组频率的长方形与第二小组的相同，把直方图补充完整如图2所示。

频率组距频率组距1.595 1.795 1..995 2.195 2.395 成绩（米）1.595 1.795 1..995 2.195 2.395 2.595 成绩（米）图1

图2

（2）因为第五小组的频率为0.15，频数是9，所以该班参加这次测试的学生人数是：

90.15。 ＝60（人）

（3）因为第三、四、五各小组的频率之和为0.80，所以该班成绩的合格率是80％。 （4）不能肯定众数和中位数落在哪一小组内。

跟踪训练：

一、选择题：

1、要了解全市初三学生身高在某一范围内的学生所占比例的大小，需知道相应样本的（ ） A、平均数 B、方差 C、众数 D、频率分布 2、下列语句中正确的是（ ）

A、组距是最大值与最小值的差 B、频数是落在各组内的数据的和

C、在频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1 D、对100个数据分组时，可分5组，每组恰好有20个数据

3、样本容量为140，最大、最小值的差为23，确定组距为4，某小组的频数为42，则组数和这个小组的频率是（ ）

A、6，3 B、6，0.3 C、6，0.5 D、5.5，0.2 二、填空题：

1、某校初中三年级共有学生400人，为了解这些学生的视力情况，抽查20名学生的视力，对所得数据进行整理，在得到的频率分布表中，各小组频数之和等于 ，若某一小组的频数为4，则该小组的频率为 ；若数据在0.95～1.15这一小组的频率为0.3，则估计该校初三年级学生视力在0.95～1.15这一范围内的人数约为 。

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2、已知一个样本含20个数据：68，69，70，66，68，65，，65，69，62，67，66，65，67，63，65，，61，65，66，在列频率分布表时，如果取组距为2，应分成 组，. 5～66. 5这一小组的频率为 ，上述样本的容量是 。

3、在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比，初三（三）班将本班50篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数），列出了频率分布表，并画出了频率分布直方图如图所示。

分组 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～.5 .5～99.5 合 计 频率 0.04 0.04 0.16 0.34 0.42 1.00 频率组距49.5 59.5 69.5 79.5 .5 99.5 分数

根据以上信息，回答下列问题：

（1）该班90分以上（含90分）的调查报告共有 篇；

（2）该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占 ％； （3）补全频率分布直方图。

4、国家卫生部信息统计中心根据新闻办公室授权发布的全国内地5月21日至5月25日非典型性肺炎发病情况，按年龄段进行统计分析中，各年龄段发病的总人数如图所示（发病的病人年龄在0～80岁之间），请你观察图形，回答下面的问题：

（1）全国内地5月21日至5月25日平均每天有 人患非典型性肺炎； （2）年龄在29.5～39.5这一组的频数是 ；频率是 ； （3）根据统计图，年龄在 范围内的人发病最多。

人数人数培训前培训后9.5 19.5 29.5 39.5 49..5 59.5 69.5 80 年龄不合格合格优秀等级第4题图

第5题图

5、某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级，为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示，试结合图示信息回答下列问题：

（1）这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是 ，培训后考分的中位数所在的等级是 。

（2）这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 下降到 。

（3）估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有多少名。答： 。

（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？

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答： 。理由： 。 三、解答题：

1、为了了解学生的身高情况，抽测了某校17岁学生中50名男生的身高，数据如下： 身高（cm） 人 数 身高（cm） 人 数 157 1 169 8 159 1 170 7 160 2 171 2 162 2 172 3 163 3 173 2 1 2 174 1 165 1 175 2 166 6 176 1 168 5 177 1 将数据分成7组，组距为3，填写频率分布表，并回答下列问题： （1）样本数据中，17岁男生身高的众数、中位数分别是多少？

（2）依据样本数据，估计该校17岁男生身高不低于165cm，且不高于170cm的学生所占比例； （3）指出该校17岁男生中，身高在哪个范围内的频率最大？若该校17岁男生共500人，那么在这个范围内的人数估计是多少人？

2、我省某城镇邮政局对甲、乙两个支局的报刊发行部2002年度报纸的发行量进行了统计，并绘成统计图如下：

发行量／百份1086.422.03.52.421.55.52.11.38.4发行量／百份1087.05.18.8人民日报 中 国青年报大众日报甲支局齐鲁晚报参考消息其它报纸人民日报 中 国青年报大众日报乙支局齐鲁晚报参考消息其它报纸

请根据上面统计图所反映的信息，回答问题： （1）哪个支局发行《齐鲁晚报》的份数多？多多少？

30（2）分别写出两个统计图中提供的6个统计数据的中位数；

O45O60（3）已知甲、乙两个支局所服务的居民区住户分别是11280户、8600户，哪个居民区平均每户订阅报纸的份数多？试说明理由。

3、对某班学生的一次数学测验成绩进行分析，各分数段的人数如图所示，请观察图形，回答下面的问题：

（1）该班有多少名学生？

（2）.5～99.5这一组的频数、频率分别是多少？ （3）估计该班这次测验的平均成绩。

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49.5 59.5 69.5 79.5 .5 99.5 分数人数第3题图