中考数学压轴题(十)

△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=2√3 .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点. （1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°<α<120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积. AFA AM FG EE

N N

BDC BDC图1BC图2 备用图解：（1）∵△ABC为等边三角形，又∵AD⊥BC于点D，

∴∠DAC=30°即∠EAG=30°。

∵△AEF是等边三角形， ∴∠AEG=60°， ∴∠AGE=90°，∴∠CGE=90°。 ∵N为CE的中点，∴NG=2CE。

∵△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D， ∴CD=4，AD=43 。 ∵AE=2√3 ，∴DE=2√3.。 在Rt△CDE中，∠CDE=90°，

∵CE2=CD2+DE2 ∴CE=1612=28=27, ∴NG=7 （2）∠DNM的大小为定值120°。

连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图. ∵点D是CB的中点，点N是CE的中点， ∴DN是△BCE的中位线， ∴BE∥DN， ∴∠DGC=∠BHC。

∵点M是EF的中点，点N是CE的中点，

1

∴MN是△CEF的中位线，∴MN∥CF。 ∴∠ENM=∠ECF。

∵△ABC和△AEF是等边三角形，

∴AB=AC,AE=AF,∠BAE=∠CAF， ∴△ABE≌△ACF, ∴∠ABE=∠ACF。

FAHEGBD图2NM∵∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60° ∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°

∵∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF ∴∠DNC+∠ACF-∠ECF=∠ACF+60° ∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM

C∴∠DNE=180°-∠DNC=180°-(60°+∠ENM)=120°-∠ENM, ∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=(120°-∠ENM)+∠ENM=120°, ∴∠DNM的大小为定值120°。

AFFEAEPNQOPNBDCBDC（3）△AND的面积为7√3

如图，取AC中点P，∵BP+PN≥BN，∴当B、P、N在一直线上，BN最大。 易得BN=BP+PN=BP+1/2AE=4√3+√3=5√3 设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图. ∵NQ∥DB, ∴△ONQ∽△OBD, ∴NQ/BD=ON/BO ∵点0是△ABC的重心，∴BO=3BP=

1

2

8√37√3，ON=，BD=4，可求得33

NQ= 2.

7

∴△AND的面积为：2×AD×NQ=7√3. 【小结】

知识点：本体主题架构是探究旋转变换中不变的量和变换过程中变化量的极值。等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、中位线和中位线定理、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形内外角的性质、相似三角形的判定和性质、三角形重心的性质以及旋转的性质等知识，此题综合性很强，牵涉的知识点多，难度较大。

常用辅助线：由中点构造中位线；通过平行线构造相似三角形。

试题来源：重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B卷）