01集合及集合的表示(基础)

【学习目标】

1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．

2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．

【要点梳理】

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.

要点一、集合的有关概念

1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.

2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 3．关于集合的元素的特征

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.

4．元素与集合的关系：

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作aA 5．集合的分类

(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6．常用数集及其表示

非负整数集(或自然数集)，记作N

*

正整数集，记作N或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

要点二、集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.

1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.

23

2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x，3x+2，5y-x，22

x+y}，…；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合

1,2,3,4.

1，2，3，4 【典型例题】

类型一：集合的概念及元素的性质

例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？

(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程x90在实数范围内的解；（6）2的近似值的全体.

举一反三：

【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集. (1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数.

例2．集合A由形如m3n(mZ,nZ)的数构成的，判断

举一反三：

【变式1】设S={x|x=m+2n,m,nZ} (1)若aZ，则是否有aS？

(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？

21是不是集合A中的元素？

23

类型二：元素与集合的关系

例3.用符号“”或“”填空．

，　　32____{x|x4}；(1)23_____{x|x11}

2，nN}，　　　5___{x|xn21，nN}；(2)3___{x|xn1

，___{y|yx}，　　(11)，___{(x，y)|yx}. (3)(11)

举一反三：

【变式1】 用符号“”或“”填空

221 A；-2 A. 21（2）若Bx|2x2x10,则 B；-2 B.

2（1）若A=Z,则

类型三：集合中元素性质的应用

例4.定义集合运算：AeBz|zxy(xy),xA,yB.设集合A0,1，B2,3，则集合AeB的所有元素之和为

A. 0 B. 6 C. 12 D. 18

举一反三：

【变式1】定义集合运算：ABz|zxy,xA,yB，设A1,2，B0,2，则集合AB的所有元素之和为（ ）

A. 0 B. 2 C. 3 D. 6

■高清课程：集合的表示及运算

例5. 设集合A={xR|ax2x10}，当集合A为单元素集时，求实数a的值.

2

例6.已知集合Aa2,(a1)2,a23a3，若1A，求实数a的值及集合A.

举一反三：

【变式1】已知集合Aa2,a22，3A，求实数a的值

类型四：集合的表示方法

例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程x30的所有实数根组成的集合； (2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.

举一反三：

【变式1】用列举法表示集合：

23

(1)A={xR|(x-1)(x+2)(x-1)(x-8)=0} (2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN} (3)C={y|x+y=3，xN， yN}

2yx(4)D(x,y)

yx

yx(5)Mx

yx(6)P={x|x(x-a)=0， aR}

【变式2】用适当的方法表示下列集合： （1）比5大3的数；

（2）方程xy4x6y130的解集；

（3）二次函数yx10的图象上的所有点组成的集合。

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