第９卷第４期 江南大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．９ Ｎｏ．４ ２０１０年８月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ａｕｇ． ２Ｏｌ０ 基于粒子群优化的核函数参数选优 李蓉一， 赵瑾 ， 申忠宇 （南京师范大学电气与自动化工程学院，江苏南京２１００４２） 摘 要：核主元分析的性能受本身核函数参数的影响，为了优化核函数参数，提高核主元分析的性 能，在研究粒子群优化算法的基础上，提出了基于粒子群优化的核函数参数选优方法，有效地提高 了核函数参数的优化，减少了其设置的盲目性。该方法综合考虑样本的类内离散度和类间距离，建 立核函数参数优化的数学模型，应用粒子群优化算法对其寻优，通过仿真验证了该方法的有效性。 关键词：粒子群优化；核主元分析；核函数参数 中图分类号：ＴＰ ２７３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—７１４７（２０１０）０４—０４４４—０４ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ Ｋｅｒｎｅｌ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ＬＩ Ｒｏｎｇ－ｙｉ，ＺＨＡＯ Ｊｉｎ ，ＳＨＥＮ Ｚｈｏｎｇ—ｙｕ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｎｊｉｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００４２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｋｅｒｎｅｌ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｓｅｔｔｉｎｇ ａ ｇｏｏｄ ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｓ ｖｉｔａｌｌｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ．Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｏｐｔｉｍｉｚｅ ｔｈｅ ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｋｅｒｎｅｌ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｅｄ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ，ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｂｙ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｒａｉｓｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｋｅｒｎｅｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ｂｌｉｎｄｎｅｓｓ ｏｆ ｉｔｓ ｓｅｔｔｉｎｇ．Ｂｙ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｗｉｔｈｉｎ—ｃｌａｓｓ ｓｃａｔｔｅｒ ａｎｄ ｂｅｔｗｅｅｎ—ｃｌａｓｓ ｓｃａｔｔｅｒ ｏｆ ｓａｍｐｌｅｓ ｆｅａｔｕｒｅ，ｔｈｅ ｏｂｊｅｅｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｏｐｔｉｍｉｚｅ ｉｔ．Ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｏ ｖａｌｉｄａｔｅ ｔｈｅ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ｋｅｒｎｅｌ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ 核主元分析（Ｋｅｒｎｅｌ Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ 空间中的线性问题。这一非线性映射是在原空间中 Ａｎａｌｙｓｉｓ，ＫＰＣＡ）是一种非线性方法，它引入某种 利用核函数内积运算实现的，无需知道变换的具体 非线性映射将原空间中的非线性问题转化为映射 形式。通过核函数方法，ＫＰＣＡ将ＰＣＡ拓展到非线性 收稿日期：２０１０—０５—１８； 修订日期：２０１０—０６—２０。 基金项目：江苏省高校自然科学基础研究项目（０８ＫＪＤ５１００１６；０９ＫＪＢ５１０００Ｂ）。 作者简介：李蓉一（１９８６一），女，江苏江阴人，控制理论与控制工程专业硕士研究生。 通信作者：赵瑾（１９６１一），女，浙江诸暨人，副教授，硕士生导师。主要从事动态系统的故障检测与诊断研究。 Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｏｊｉｎ＠ｎｊｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 第４期 李蓉一等：基于粒子群优化的核函数参数选优 ４４５ 领域，为处理非线性过程监测和控制提供了一个较 好方法。 学家Ｊａｍｅｓ Ｋｅｎｎｅｄｙ和电气工程师Ｒｕｓｓｅｌ Ｅｂｅｒｈａｒｔ 共同提出的，其基本思想是受他们早期对许多鸟类 的群体行为进行建模与仿真研究结果的启发。粒子 群算法 ５ 是一种优化算法，简单易于实现且具有很 强的全局收敛能力。ＰＳＯ求解优化问题时，问题的解 对应于搜索空间中一只鸟的位置，这些鸟被称为 核主元分析方法的性能受核函数参数的影响 （核函数参数的选取影响了样本的分类和核主元的 提取），因此，研究核参数优化方法对核主元分析方 法性能的提高及应用具有重要的意义。Ｏｌｉｖｉｅｒ Ｃｈａｐｅｌｌｅ…和Ｋｅｅｒｔｈｉ＿２ 提出采用梯度下降算法解 决核函数多个参数的优化问题，但是该算法需要计 算目标函数对优化参数的偏导数（梯度）。如果目标 “粒子”。所有的粒子都有一个由被优化函数决定的 适应值，每个粒子还有一个速度向量决定飞行方向 和距离，然后粒子就追随当前的最优粒子在解空间 函数对某个参数的偏导数不存在或由于计算复杂 而无法求解时，采用梯度下降法无法实现核参数的 优化问题。王新峰 提出一种基于矩阵相似度的核 函数选优方法。首先给出一种具有较好分类能力的 核函数矩阵，然后利用矩阵间的相似度量关系，在 一定范围内寻找能近似此矩阵的核函数参数值。何 学文 提出利用改进的遗传算法对核函数参数寻 优，但是采用遗传算法存在编码和遗传操作的复杂 过程。 粒子群优化算法（Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｈｏｎ，ＰＳＯ）是一种基于种群的全局并行寻 优方法，通过迭代搜寻最优值。 文中结合Ｆｉｓｈｅｒ判别准则和粒子群优化算法， 首先利用Ｆｉｓｈｅｒ判别函数的思想建立核参数优化模 型，然后利用粒子群优化算法求出参数优化模型的 全局最优解，最后通过仿真实例验证方法的有 效性。 １ 基于粒子群优化的核参数选优 １．１ 核函数 由于径向基函数具有某些良好的性态，在支持 向量机、人工神经网络等领域取得了广泛的应用。 因此，选择径向基函数作为核主元分析的核函数， 并且这种核函数只涉及一个参数的优化，其表达式 如下： ｋ（ ，Ｙ）＝ｅｘｐ［一Ｉｌ —Ｙ ｌ１ ／ｏｒ／ （１） 核函数参数 被称作核宽度，大量实验表明， 径向基核函数中参数ｏｒ的选取对核函数的性能影 响很大，合适的 是核函数具有良好性能保证。过 大的 ，样本的“势力范围”会过大，以至于一些毫 无关系的训练样本会干扰对新的测试样本做出正 确判断；过小的 则会导致核函数只有记忆功能而 无法对新的样本进行判断。所以，选择合适的核宽 度需要在两者之间进行权衡。 １．２ ＰＳＯ的基本原理 粒子群算法最早是在１９９５年由美国社会心理 中的搜索。 ＰＳＯ初始化为一群随机粒子（随机解），然后通 过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟 踪两个极值来更新自己。第一个就是粒子本身所找 到的最优解Ｐ ，这个极值称为个体极值；另一个 极值是整个种群到当前时刻找到的最优解Ｐ ，这 个极值是全局极值。在找到这两个最优值时，粒子 根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置 Ｊ： （ｔ＋１）＝ｔｏｙ（ｔ）＋Ｃ１ｒｌ（Ｐ ｂｅ。 （ｔ）一 （ ））＋ ｃ２ｒ２（Ｐ 。 （ｔ）一 （ｔ）） （２） （ｔ＋１）＝ （ｔ）＋ （ｔ＋１） 式中，Ｃ，，Ｃ 为正常数，称为加速因子，分别调节向全 局最好粒子和个体最好粒子方向飞行的最大步长， 合适的Ｃ ，Ｃ：可以加快收敛且不易陷入局部最优；∞ 称惯性因子，ｔｏ较大全局搜索能力较好，而ｔｏ较小则 局部搜索能力较强。式（２）中３个部分共同决定了 粒子的空间搜索能力，共同作用下粒子才能有效地 到达最好的位置。 １．３ 粒子群优化核函数参数模型的建立 粒子群优化模型建立如下 ］：设 １（ １１， ｌ２，…， ｌｉ），Ｘ２（ ２１， ２２，…， ２ ） ｉ：１，２，…，ｎｌ，Ｊ＝１，２，…，１７，２ 是特征空间的两类特征样本，两类样本在特征空间 中的均值向量分别为 ． Ⅱ１ ＸＩ ＝ｌ １∑ （ 。１ ） （Ｌ３）ｊ ｎ２ １ ＸＩ２＝ ∑ （２ Ｊ＝１ ２ｊ） （Ｌ４）斗 类间距离的平方和为 ｓ６＝ｌＩ １一ｔｔ２ ＩＩ ＝ （ １一 ２） （ｘＩ１一 ２）＝ １ ｎ１ ｎ２ １ ｎ１ ｎ２ 者 ）一 Ｘｌｉ￣２ｊ）＋ （５） 江南大学学报（自然科学版） 第９卷 ｓ ＝∑Ｉ （Ｉ ）一 Ｉ ＝Ｉ ‘ １ ２ 仿真 为了验证基于粒子群优化的核函数参数优化 方法的有效性，进行仿真研究。 参数选取规则： ２．１ 惯性权重选取 ｎＩ ∑ （ 。 ） （ 。 ）～ｎ Ｔ 。＝ ｚ：】 １ －． ｎＩ ｎ２ ∑ （ ， ）一Ｅ∑ｋ（ｘ ， ）（６） ＇．．ｌ：１ ｎｌ １ １ Ｊ １ ｓ以＝∑Ｉｌ （ ： ）一 ｌｌ ＝ ｉ＝ｌ ． 采用Ｓｈｉ＿９ 建议的线性递减权重（Ｌｉｎｅａｒｌｙ Ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ Ｗｅｉｇｈｔ，ＬＤＷ） ＝ 一 ｔ １ ∑Ｊｉ｝（ ， ≈）一 １∑∑ （ ， ） ＝１ ２ １，＝１ 建立粒子群优化的适应度函数 ，（Ｏｒ）：（５ ｌ＋Ｓ以）／ｓ６ 为最优核宽度。 对于径向基核函数，由于ｋ（ｘ∽ ）和ｋ（ｘ∽ ，（７） 式中：∞ 和 ｉ 是惯性权重的最大和最小值，典型 取值 ２．２寻求适应度函数Ｆ（ ）的极小值，所得极小值点ｏｒ ：０．９～１．４， Ⅲｉｎ＝０．４；ｆ是当前进化代 数； 为最大迭代次数。 种群粒子数选取 ）的值等于１，所以对径向基核函数式（６）可以简 １ 种群粒子数的多少根据问题的复杂程度自行 决定。对于一般的优化问题取２Ｏ～４Ｏ个粒子完全 可以得到很好的结果，对于比较简单的问题１０个粒 子已经足够可以取得好的结果，对于比较复杂的问 题或者特定类别的问题，粒子数可以取到１００以上。 ２．３ 加速常数的选取 化为 １ ｓ ｌ ｎｌ一 一２÷∑∑ （１ ＿，２１ Ｌ ｌ ｉ，ＸＩｊ） ＝ｎ。一Ｊ＝１ Ⅱ２ １ ｌ ５以 ｎ２一 １∑∑ｋ（ｘ２ｉ，ｘ２ｊ） ｓ以＝ｎ：一 坤２ ｉ＝１』＝１ （Ｌ ８） １．４ 粒子群优化核函数参数步骤 学习因子使粒子具有自我总结和向群体中优 根据以上介绍的优化原理和方法，实现基于粒 子群优化的核函数参数优化算法具体流程： １）通过式（５），（６）分别计算出类间距离平方 ｓ 及类内离散度平方ｓ ｓ ；通过式（７）构造作为 粒子群优化算法的适应度函数； ２）给定ｏｒ的取值范围（ｏｒ ｉ ，ｏｒ ），以及ＰＳＯ的 秀个体学习的能力，从而向群体内或邻域内最优点 靠近。Ｒａｔｎａｗｅｅｒａ＿】 等通过对６个基准函数的仿真 研究，得出Ｃ 和Ｃ 各自最好的取值范围为：２．５— ０．５和０．５～２．５，一般固定为常数，并且取值为２。 也有一些其他的取值方法，常见的有同步变化和异 步变化。两个学习因子在优化过程中随时间进行相 同的变化称之为同步变化的学习因子，而两个学习 因子在优化过程中随时间进行不同的变化称之为 粒子数目Ⅳ，学习因子取值范围［ｃ ｉ ，ｃ…］，惯性权 重的最大和最小值ｃ￡，…， 速度Ｖｍ ； ３）随机产生初始种群，计算个体的适应度值和 种群的整体适应度值； ４）进行粒子位置更新和速度更新； ５）判断迭代次数是否达到终止条件，如果小于 最大迭代次数 ，最大 异步变化的学习因子Ｌ】¨。相对而言同步变化更简 单，因此文中采用同步变化的学习因子，即将学习 因子ｃ 和ｃ 的取值范围设定为［ｃ ，ｃ ］，第ｆ次迭 代时的学习因子取值为 ｃ ＝ｃ：＝ｃ一一 ｔ 最大迭代次数，继续３），４），５）步骤；否则将当前 解作为最优解输出，算法终止。 根据上述参数选取规则，参数设置如表１所示。 表１ 粒子群优化算法参数设置 Ｔａｂ．１ ＰＳＯ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｔｔｉｎｇ 粒子群优化的适应度进化过程曲线如图１ 所示。 收敛到规定的精度要求时，Ｆ（ｏｒ）取得最优值，它确 保核主元分析结果类离散度最大和类间离散度最 小，此时 取得２．２６９ ３。 由图１可见，当进化到约５９代，且适应度函数 第４期 一６０＿【×】越 蜊 李蓉一等：基于粒子群优化的核函数参数选优 ４４７ 根据 的最优设置，对数据进行核主元分析， 与未经优化的核函数主元分析比较，得出经优化的 核函数主元分析有更好的分类效果；有效提取主 元，减少变量维数，可见核函数参数优化对核主元 分析的重要性。 ３ 结语 粒子群优化是一种全局并行的优化方法，文中 进化代数 提出了基于粒子群优化的核函数参数选优方法，将 其应用于核函数参数的自动优化问题，仿真结果表 明，该方法能有效求取核函数参数的全局最优解， 进而提高核主元分析的性能。 图１ 适应度曲线 Ｆｉｇ．１ Ｆｉｔｎｅｓｓ ｃｕｒｖｅ 参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）： ［１］Ｏｌｉｖｉｅｒ Ｃｈａｐｅｌｌｅ，Ｖｌａｄｉｍｉｒ Ｖａｐｎｉｋ，Ｏｌｉｖｅｒ Ｂｏｕｓｑｕｅｔ，ｅｔ ａ１．Ｃｈｏｏｓｉｎｇ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｆｏｒ ｓｕｐｐｏ￣ｖｅｃｔｏｒ ｍａｃｈｉｎｅｓ［Ｊ］． Ｍａｃｈｉｎｅ Ｌｅａｒｎｉｎｇ，２００２，４６（１）：１－１５９． ［２］Ｓａｔｈｉｙａ Ｋｅｅｒｔｈｉ Ｓ．Ｅｆｉｃｉｆｅｎｔ ｔｕｎｉｎｇ ｏｆ ＳＶＭ ｈｙｐｅｒｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｕｓｉｎｇ ｒａｄｉｕｓ／ｍａｒｇｉｎ ｂｏｕｎｄ ａｎｄ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｎｅｕｒｌａ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，２００２，１３（５）：２２５—１２２９． ［３］王新峰，邱静，刘冠军．核主元分析中核函数选优方法研究［Ｊ］．振动、测试与诊断，２００７，２７（１）：６２－６４． ＷＡＮＧ Ｘｉｎ－ｆｅｎｇ，ＱＩＵ Ｊｉｎｇ，ＬＩＵ Ｇｕａｎ－ｊｕｎ．Ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｋｅｒｎｅｌ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｆｅａｔｕｒｅ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅｒ ａｆａｕｌｔｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ａｎｄ Ｄｉａｇｎｏｓｉｓ，２００７，２７（１）：６２－６４．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［４］何学文．基于支持向量机的故障智能诊断理论与方法研究［Ｄ］．长沙：中南大学，２００４． ［５］Ｋｅｎｎｅｄｙ Ｊ，Ｅｂｅｒｈａｒｔ Ｒ．Ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｉｎ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ ｏｆ ＩＥＥＥ Ｉｎｔ Ｃｏｎｆ ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ Ｓｅｒｖｉｃｅ Ｃｅｎｔｅｒ，１９９５：１９４２－１９４８． ［６］Ｅｂｅｒｈａｒｔ Ｒ Ｃ，Ｓｈｉ Ｙ．Ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｉ／ｎ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ：ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ，ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ ｏｎ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ２００１．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ，ＮＪ：ＩＥＥＥ Ｐｒｅｓｓ，２００１：８１—８６． ［７］Ｌｅｅ Ｊｏｎｇ－Ｍｉｎ，Ｙｏｏ ＣｈａｎｇＫｙＯＯ，Ｃｈｏｉ Ｓａｎｇ Ｗｏｏｋ．ｅｔ ａ１．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｃｅｓｓ ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ ｕｓｉｎｇ ｋｅｒｎｅｌ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｎａａｌｙｓｉｓ ［Ｊ］．Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００４，５９（２）：２２３．２３４． ［８］魏秀业，潘宏侠，黄晋英，等．基于粒子群优化的核主元分析的故障状态识别［Ｊ］．机械科学与技术，２００９，２８（１２）： １５４６—１５５０． ＷＥＩ Ｘｉｕ—ｙｅ，ＰＡＮ Ｈｏｎｇ—ｘｉａ，ＨＵＡＮＧ Ｊｉ－ｙｉｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｆａｕｌｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｋｅｒｎｅｌ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｆｏｒ Ａｅｒｏｓｐａｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００９，２８（１２）：１５４６—１５５０． （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［９］ＳＨＩ Ｙｕ－ｈｕｉ，Ｅｂｅｒｈａｒｔ Ｒ Ｃ．Ａ ｍｏｄｉｉｆｅｄ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚｅｒ［Ｃ］／／ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ａｎｃｈｏｒａｇｅ，Ａｌａｓｋａ：１９９８：６９－７３． ［１０］Ｒａｔｎａｗｅｅｒａ Ａ，Ｈａｌｇａｍｕｇｅ Ｓ Ｋ，Ｗａｔｓｏｎ Ｈ Ｃ．Ｓｅｌｆ－ｏｒｇａｎｉｚｉｎｇ ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｔｈ ｏｐｔｉｍｉｚｅｒ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ・ｖａｒｙｉｎｇ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｃｏｅｉｃｆｉｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００４，８（３）：２４０－２５５． ［１１］龚纯，王正林．精通ＭＡＴＬＡＢ最优化计算［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００９． （责任编辑：杨勇）
