与双曲线性质有关的若干问题探究及其拓展

与双曲线性质有关的若干问题探究及其拓展

双曲线作为圆锥曲线之一，它与椭圆、抛物线有许多相同或相类似的性质. 借助于双曲线问题的研究，可以引申为一般圆锥曲线的相关结论. 另一方面，双曲线又不同于其它圆锥曲线，其最大区别在于渐近线. 因此探讨双曲线上的点与其渐近线的关系，又可以得到某些不同结果. 除此之外，双曲线还有不少鲜为人知的性质，在高中数学教学中，若能引导学生运用类比的方法和函数的思想，对这些性质进行探讨，不仅可以使学生获得对圆锥曲线本质的更深层次的理解，同时还可以达到在新课程理念下培养学生创新意识和综合素质的目的. 本文仅将笔者在教学中与学生共同探讨的有关结论概括阐述，希望得到同行的指正.

一、常见性质

我们知道，双曲线有许多熟知的性质，除了中学数学教材所列举的几个基本常用性质之外，通常还可以知道下面两个性质：

1双曲线的任一焦点到渐近线的距离等于其虚半轴之长.

2在双曲线的同一支上，以过焦点的弦为直径的圆必与双曲线的准线相交，且该圆被准线所截得的圆弧度数为定值.

这些结论在相关的教学参考书[1]或教辅资料[2]均有证明，在此从略.

二、探究拓展

下面我们将进一步探究双曲线以及圆锥曲线的其它性质，并且在函数背景下将双曲线的某些特征引申为一类函数的特征，从而得到一些有价值的结论. 为叙述方便，本文均借助于标准方程来表示圆锥曲线.

探究之一：内切圆与轨迹问题

定理1设双曲线方程为 （a＞0，b＞0），其左、右焦点分别为F1、F2，若P为双曲线上任一点，则△PF1F2的内切圆必与双曲线的实轴相切于双曲线的顶点.

此定理是文[3]的一个例子，现简单证明如下：如图1，不妨设P为双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆C与实轴的切点为A，与PF1、PF2的切点分别为M、N，则由双曲线的定义以及圆的切线性质易得|AF1|－|AF2|=|PF1|－|PF2|=2a. 故A为双曲线顶点. （当P在左支时同理可以证明）

由以上证明可以发现，△PF1F2的内切圆的圆心C实际上是在过双曲线顶点A的实轴的垂线上，因此，若从定理1的逆命题出发，则又可以得到关于双曲线轨迹的一个条件，即

定理2已知平面上定长为2c（c＞0）的线段F1F2，A为线段F1F2上异于F1、F2及其中点的一个定点，圆C为平面上与线段F1F2相切于点A的动圆，过F1、F2分别作圆C异于F1F2的切线F1M、F2N，则F1M、F2N的交点P的轨迹为以F1、F2为焦点，以A为顶点的一支双曲线（即靠近A点的焦点所对应的半条双曲线，根据对称性可以得到另一支）.

定理2的证明留给读者.

将上述定理在圆锥曲线中进行拓展，又可以得到下列结论：

定理3设椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若P为椭圆上任一点，则

△PF1F2在线段F1F2之外的旁切圆必与椭圆的长轴相切于椭圆的顶点.

定理4已知平面上定长为2c（c＞0）的线段F1F2，A为线段F1F2延长线上一个定点，圆C为平面上与直线F1F2相切于点A的动圆，过F1、F2分别作圆C异于F1F2的切线F1M、F2N，则F1M、F2N的交点P的轨迹为以F1、F2为焦点，以A为顶点的一个椭圆（如图2所示，准确来说是椭圆的一部分，只有当圆C的半径分别为0和无穷大时，点P的轨迹才会到达椭圆的长轴端点）.

定理5设抛物线 （p＞0）的焦点为F，若P为抛物线上任一点，过P与抛物线对称轴平行的直线为l，若与l及PF都相切的圆与抛物线的对称轴也相切，则其切点为抛物线的顶点.

定理6设抛物线 （p＞0）的顶点为O，焦点为F，P为抛物线上任一点，过点O与抛物线对称轴相切的圆若与PF也相切，则过点P的圆的切线必平行于抛物线的对称轴.

定理7l和l′为平面上两条互相垂直的直线，其交点为O，F为l上异于点O的一定点，圆C为平面上与l相切于点O的动圆，若圆C与l′另一个交点为M，过M、F分别作圆C的切线交于点P，则P的轨迹为以F为焦点，以O为顶点抛物线（如图4所示，当圆C的半径为0时，点P的轨迹经过顶点O）.

以上结论类比定理1和定理2不难证明. 从定理2、定理4和定理7中我们还可以给出圆锥曲线的另一种定义方式，限于篇幅，不再赘述.

探究之二：切线与中点问题

我们先给出关于圆的一个简单性质：

如图5，过圆外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点为A、B，则显然有

（1）P与圆心C的连线必过AB的中点M；

（2）P与AB的中点M的连线必过圆心C；

（3）AB的中点M与圆心C的连线必过点P.

现在要探讨的问题是，能否把这些性质推广到圆锥曲线中去？为此，我们先在椭圆中进行研究，发现在椭圆中仍然成立，证明如下：

设椭圆方程为 （ ），P是椭圆外一点，过P引椭圆的两条切线PQ、PT（Q、T为切点），O是原点. 先探究OP是否经过QT的中点？（证明略）

定理8过椭圆外一点P引椭圆的两条切线PQ、PT，Q、T为切点，若M为QT的中点，O为椭圆的中心，则O、M、P三点共线.

类似地，由椭圆到双曲线到抛物线，所获得的相关结论如下：

定理9过双曲线外一点P引双曲线的两条切线PQ、PT，Q、T为切点，若M为QT的中点，O为双曲线的中心，则O、M、P三点共线.

定理10过抛物线外一点P引抛物线的两条切线PQ、PT，Q、T为切点，若M为QT的中点，则MP必与抛物线的对称轴平行.（因为抛物线为无心曲线）

探究之三：面积与定值问题

根据双曲线与反比例函数的关系，可以发现，由函数 （k≠0）可得常数k的几何意义为：过函数图象上任一点分别作x轴、y轴的垂线，与两条坐标轴所围成的四边形面积为|k| . 也就是说，函数图象上任一点到两条坐标轴的距离之积为常数|k|. 而此时两条坐标轴实际上是双曲线的两条渐近线，因此我们很容易引出双曲线的一个基本性质，即：

定理11双曲线上任一点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值.

证明：不失一般性，设双曲线方程为 （a＞0，b＞0），并设P（x0，y0）为双曲线上任一点，P到双曲线的渐近线距离分别为h1、h2（证明略）

三、命题拾遗

最后，作为双曲线性质的补充，本文还给出以下结论，其证明留给读者：

1．双曲线的焦点分别为F1、F2， P为双曲线上任一点，当P在双曲线上运动时，有

（1）△PF1F2的重心轨迹为与原双曲线有共同渐近线，实轴与虚轴分别等于原双曲线实轴与虚轴 的一条双曲线；

（2）过F1作∠PF1F2的平分线的垂线，垂足为M，设F1M交PF2于G，则M、G的轨迹分别为以双曲线的中心和F2为圆心，以实半轴和实轴为半径的圆.

2．双曲线的中心为O，焦点为F，实轴和虚轴分别为2a、2b（b>a>0），过F作以O为圆心，a为半径的圆的切线交双曲线于P，若T为切点，M为FP的中点，则|MO|-|MT|=b-a.

3．连结等轴双曲线上任意不共线三点所成三角形的垂心一定在双曲线上.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文