数学导学 赍编 周瑜芽／ｇｚｓ ｙ ｙ＠１６３．ｃｏｒｎ ◆ ｏ谭武军 圆锥曲线是中学数学中的重点内容之一，与圆锥曲线 有关的最值问题大都是综合问题，解法灵活，技巧性强，涉 及代数、三角、几何等诸方面的知识，其常见的求解策略如 下： 由融 字。 。 —所以圆ｃ的半径为，： １．定义法 因为圆Ｃ与ｙ轴相交于不同的两点Ａ，Ｂ，且圆心Ｃ到 ，所以０＜ｆ＜—Ｖ／￣厂－３ｔ２即０＜ｆ＜２Ｔ，／￣－例ｒ（２０１１年南阳市一模）已知椭圆 ＋告＝１， ｙ轴的距离ｄ＝￡，Ｆ。， 为椭圆的左、右焦点，点Ｐ为椭圆上一动点， 。 ＩＰＦ Ｉ・Ｉ ＰＦ２ １的最大值为——，最小值为所以弦长Ｉ佃１＝２ 【 ＝２ 。 ——－ｔ２： 丽。 解 由椭圆定义知，ｌ ＰＦ。ｌ＋１ ８一ｌ Ｐ ｌ。所以ｌ ＝一（Ｉ １．１ Ｉ＝８，所以Ｉ ＰＦ ｌ＝ ｌ＝Ｉ ＰＦ２ １．（８一ｌ Ｐ Ｉ） 所以ＳＡＡＢＣ：吉。ｔ ２ ＝ ×（ ）‘ ： ： 一７。 当且仅当 且 “一 。≤ 一“，’ Ｉ一４） ＋１６。又由椭圆的几何性质，知ａ—ｃ≤ 旦 ２ ｌ ｌ≤ａ＋ｃ，即３≤ｌ ｌ≤５，所以，当ｌ Ｐ ｌ＝３或 即 ： 时，等号成立。 ｌ Ｐ Ｉ＝５时，Ｉ ＰＦ ｌ・ｌ Ｐ ｌ取得最小值１５。 当ｌ Ｐ ｌ＝４时，ｌ ＰＦ。１．Ｉ 点评Ｉ取得最大值１６。 本例属于利用圆锥曲线的定义和几何意义求 所以△ＡＢｃ的面积的最大值为孳。 点＂ｒＹ－－将所求ＡＡＢＣ的面积表示成关于参数ｔ的函 数，然后转化整理，利用基本不等式求解。利用均值不等 式求最值，有时要用“配凑法”。在利用均值不等式时，要 注意满足三个条件：①每一项要取正值；②不等式的一边 最值，在求圆锥曲线的最值问题中，圆锥曲线的定义、几何 性质也是解决某些简单最值问题的关键。 ２．基本不等式法 例２（２０１１年广州调研考试试 ＝“ ２ ２ —＼ 为常数；③等号能够成立。其中正确应用“等号成立”的 条件是这种方法关键。 ３ 题改编）已知椭圆Ｅ：。等＋予＝１。 直线 ：ｔ（ｔ＞０）与曲线Ｅ交于不同 ／， ＼ ／ ＼ —的两点Ｍ，Ｎ，以线段ＭＮ为直径作圆 Ｃ，圆心为Ｃ。若圆Ｃ与Ｙ轴相交于 不同的两点Ａ，Ｂ，求３ＡＢＣ的面积的最大值。 解依题意，圆心为Ｃ（ｔ，０）（０＜ｔ＜２）。 例３（２０１１年四川省绵阳市三模）设椭圆 ＝／ １（ａ＞ｂ＞０）的左焦点为Ｆ。（一，３－，０），椭圆过点 Ｐ（＿ ， ５０高中生之友－上半月刊１—２／２０１２ 数学导学 责编 周瑜芽／ｇｚｓｚｙｚｙｙ＠１６ ｃｏ （１）求椭圆Ｃ的方程； 把交点Ｑ坐标代入双曲线方程得， （２）已知点Ｄ（１，０），直线ｌ：Ｙ＝ｋｘ＋ｍ（ｋ≠０）与椭圆Ｃ Ａ＝ 一 ＝（ ） 一（ ） ＝ １（一 ＋脚 ） 交于Ａ、Ｂ两点，以ＤＡ和ＤＢ为邻边的四边形是菱形，求ｋ 的取值范围。 １＝ —３（ｐ一了４ａ）。＋孚］。Ｐ∈（０～３ａ３ １ 解（１）由题意知，。：√ ，６：：。：一３，由 ＋ ： 当ｐ＝等，Ａ ＝ １。２，又０＜ｐ≤３ａ， ａ ａ—ｊ １得２ａ 一１ｌａ ＋１２＝０，所以（ａ 一４）（２ａ 一３）＝０，得 所以一挚＜ｐ一 ≤挚，１）￣ｉ：１２Ｉｐ一挚ｆ≤ ； ｎ ＝４或ａ２＝ ３＜ｃ （舍去），因此椭圆ｃ的方程为等＋ 当Ｐ＝３ａ时，Ａ…＝Ｏ。 ＝１。 点评把所求的最值问题转化为二次函数最值问题， ，Ｙ ｋｘ＋， 但在求最值中要注意函数的定义域。 ‘２’由ｉ亏 ＋ ：１得 ４ ＋ ＋ ｍ 十４ ｍ 一 ＝。。 ５．几何法 例５（２０１１年广，／ｊ．－ｇ・理１９）设圆Ｃ与两圆（ 十 ） 因为４ｋ ＋１＞０，△＝６４ｋ ｍ 一１６（４ｋ ＋１）（ｍ 一１） ＝４，（ 一 ） ＋ ：４中的一个内切，另一个外切。 ＝６４ｋ 一１６ｍ＋１６＞０，得４Ｊｊ｝ ＋１＞ｍ 。 ① （１）求Ｃ的圆心轨迹 的方程； 设 （ １，Ｙ。），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），ＡＢ中点为Ｍ（ ０，Ｙｏ）， （２）已知点Ｍ（ ，竽），Ｆ（ ，０），且Ｐ为址动 一 ： ， 点，求ｌ ｌｈｉｐ『一Ｉ ＦＰ ｌ Ｊ的最大值及此时点Ｐ的坐标。 豫。＝而－４ｋｍ， ・ … ， 解（１）设Ｃ的圆心的坐标为（ ，ｙ），由题设条件知 所以 ‘ －４ｋｉｎＩ￣／／ Ⅳ一 ＝ 雨Ｉ＝４，化简得 ， ）。 的方程为 一Ｙ ＝１。 设菱形的一条对角线的方程为ｙ＝一 １（ 一１）， （２）过Ｍ，Ｆ的直线ｌ方程为Ｙ＝一２（ 一 ），将其代 则有 ＝一ｋｙ＋１。将点Ｍ的坐标代入， 人 Ｘ２１得１５ ２—３２４＇５ ＋８４＝ｏ。解得， １＝６ ，８－一 ＝得一 ： ＋１， ＝一４ ｋ２＋１＿， 。② ，将②代入①，得４ ＋１＞ ， 故直线ｌ与双曲线Ｌ的交觚（ ，一竽）， ，ｆｇ￣ｉ：Ｉ）Ｊ，９ｋ ＞４ ＋ｌ，解得 ∈（一＊，一譬）ｕ（ ，＋。。）。 （百１４４￣＂， ）。因 在线段 外， 在线段 内，故 … ｌ—Ｉ ｌ １＝ＩＭＦＩ＝２，Ｉ ＩＭＴ２ Ｊ—ｌＦＴ２ Ｉ Ｉ＜ＩＭＦＩ＝２， 点评判别式是解决直线和圆锥曲线问题的一个重 若Ｐ不在直线ＭＦ上，在ＡＭＦＰ中有 要的工具，因此涉及直线和圆锥曲线中的最值问题，判别 ＩＩ朋Ｐｌ—ＩＦＰｌ ｌ＜ＩＭＦｌ＝２． 式是一个隐含的重要不等式。应用判别式法求最值问题 故Ｉ ＩＭＰＩ—ｌＦＰＩ １只在 点取得最大值２。 时，要注意二次项系数为零的特殊情况要单独讨论，同时 要注意变量取任意实数。 此时点Ｐ的坐标为（ ，一 ）。 ４．二次函数法 点评在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求 例４过动直线 ＋２ｙ＝ｐ与定直线２ｘ—Ｙ＝０的交点 解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之 （其中Ｐ∈（０，３ｎ］）的等轴双曲线系 一Ｙ。＝Ａ中，当Ｐ为 和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平几知 何值时，Ａ达到最大值与最小值？ 识求解，蕴涵了数形结合的思想。 ２ ｘ－ｙ＝ ａ（作者单位：河南省镇平县第二高级中学） 解解 由 由【 ４－２ ，得交点Ｑ（ ， ）， Ｉ ｙ 一＝Ｐ ３ ） １￣２／２０１２高中生之友・上半月刊５１
