杆件的内力.截面法.

一、基本要求

1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念； 2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力； 3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。

二、内容提要 1．轴向拉伸和压缩 1）轴向拉伸或压缩的概念 受力特点：外力或合外力与轴线重合； 变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。 计算简图为： 图2-1 2）轴力 轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为轴力。一般用FN表示，单位为牛顿（N）。 轴力的正负号规定：拉为正，压为负。 3）轴力图 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。

2．扭转 1）扭转的概念 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。 变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。计算简图为： 轴 2）外力偶矩 传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。 当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 Me99P(N.m) n当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为

Me7024P(N.m) n3）扭矩、扭矩图 当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的内力偶矩—扭矩，用T表示。 扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）。 表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相似。正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。 3．弯曲内力 1）基本概念 弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。其力学模型如图2-3所示。 2）梁的计算简图 静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。 静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分别如图2-4（a）、（b）、（c）所示。3）剪力和弯矩 图2-4 剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，称为剪力，用FS表示。 弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用M表示。 剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为dx的微段，若横截面上的剪力使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力FS规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负），如图2-5（a）、（b）所示；若弯矩使dx微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩M规定为正，反之为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反轴线 图2-3 纵向对称面 之为负），如图2-5（c）、（d）所示 。图2-5 根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。

5）剪力图和弯矩图

为了直观地表达剪力FS和弯矩M沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：

（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：

第一，求支座反力。

第二，根据截荷情况分段列出FS(x)和M(x)。

在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。

第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明

FSFS(x)

MM(x)FSmax、Mmax的数值。

（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。 载荷集度q（x）、剪力FS（x）与弯矩M（x）之间的关系为:

dFS(x)q(x) dxdM(x)FS(x) dxd2M(x)dFS(x)q(x) 2dxdx根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。

(a)若某段梁上无分布载荷，即q(x)0，则该段梁的剪力FS（x）为常量，剪力图为平行于x轴的直线；而弯矩M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。

(b)若某段梁上的分布载荷q(x)q（常量），则该段梁的剪力FS（x）为x的一次函数，剪力图为斜直线；而M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。当q0（q向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当q0（q向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。

dM(x)0，该截面的弯矩为极值。 (c)若某截面的剪力FS（x）=0，根据

dx利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：

第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；

第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；

第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； 第四，确定FSmax和Mmax。

FSmax可能出现的地方：①集中力F作用处；②支座处。Mmax可能出现的地方：①剪力

FS=0的截面；②集中力F作用处；③集中力偶M作用处。

6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力

刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。

平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。 各杆连接处称为刚节点。

刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。

平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。

平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。

三、典型例题分析

例2-1 在图2-6（a）中，沿杆件轴线作用F1、F2、F3、F4。已知：F1=6kN，F2=18kN，F3=8kN，F4=4kN。试求各段横截面上的轴力，并作轴力图。 解：1．计算各段轴力 AC段：以截面1-1将杆分为两段，取左段部分（图（b））。

由Fx0得

FN1F16kN （拉力） CD段：以截面2-2将杆分为两段，取左段部分（图(c)）。

由Fx0得

FN2F1F212kN（压力） 121122D1226kNFN2的方向与图中所示方向相反。 DB段：以截面3-3将杆分为两段，取右段部分（图(d)）。

由Fx0得

FN3F44kN（压力） 4kN12kN图2-6FN3的方向与图中所示方向相反。 2．绘轴力图

以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力FN，选取适当比例，绘出轴力图（图（e））。在轴力图中正的轴力（拉力）画在x轴上侧，负的轴力（压力）画在x轴下侧。

例2-2 传动轴在图2-7（a）所示。主动轮A输入功率为PA＝36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB＝PC＝11kW，PD＝14kW，轴的转速为n＝300r/min。试作轴的扭矩图。 解：1．计算各轮上的外力偶矩 ⅠⅡⅢMA99PA1146Nm nPB350Nm nⅠⅡⅢMBMC99MD99PD446Nm n.446N m2．计算各段扭矩 BC段：以截面I—I将轴分为两段，取左段部分（图(b)）。由平衡方程 T1MB0 得

.350N m.700N m图2-7TMB350Nm 负号说明T1所假定的方向与实际扭矩相反 同理，在CA段内， T2MCMB0 T2MCMB700Nm 在AD段内，

T3MD0 T3MD446Nm

3．以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘出扭矩图。正的扭矩画在x轴上侧，负的扭矩画在x轴下侧。

例2-3 图示简支梁受集中力F作用，试利用剪力方程和弯矩方程绘出该梁的剪力图和 弯矩图。解：1.求支反力。 由Fy0,MA(F)0，得 FAFbFa,FB ll2.列剪力、弯矩方程 在ＡＣ段内，

FS(x)FAFb,0xal图2-8M(x)FAxFbx,0xa lFa,axl l在BC段内

FS(x)FBFalx,axl3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。 lFS图：在AC、CB段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于x轴的直线。

M(x)FBlx在集中力F作用处，FSC左－FaFb，FSC右，左、右两侧截面的剪力值发生突变，突变量llFbFa()F；M图：在AC、CB段内，弯矩方程M(x)均是x的一次函数，因此两段llFab，标在Mx坐标系中，并l弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩MAMB0，MC分别连成直线，即得该梁的弯矩图。显然在集中力F作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯矩图斜率发生突变，因此在集中力F作用处弯矩图上为折角点。

例2-4 受均布载荷作用的简支梁，如图2-9所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力 lFAyFByql2 2.列剪力、弯矩方程 FS(x)FAyqxqlqx,0xl 2ql/2ql/2ql2/8xqlqx2M(x)FAyxqxx,0xl 222 3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。 FS0qlql,FSl 22图2-92lql M00,Ml0,M28qlql2FSmax,Mmax

28在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且在FS=0处弯矩

M取得极值。

例2-5 如图2-10所示简支梁，在C点处受矩为Me的集中力偶作用，试作梁的剪力图和弯矩图。

解：1.求支反力

由平衡方程MB(F)0和MA(F)0得 FAFBMe l2.列剪力、弯矩方程 在AC段内 FS1(x)FAym0,0xalm0x,0xa l图2-10M1(x)FAyx在BC段内 FS2(x)FBymm0,axlM2(x)FBylx0lx,axl ll3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。 FS0FSlMe lMeaMb，M右＝e llMbMa在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为eeMe，而剪力图无改ll变。

M0Ml0，M左＝－

例2-6 如图2-11所示简支梁。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：1.求支反力。

由平衡方程MB(F)0和MA(F)0求得 FA31ql，FBql 88l2l22.列剪力、弯矩方程 AC段：

FS(x)FAqx3lqlqx (0x) 823ql83l81ql2ql12812ql16131M(x)FAxqx2qlxqx2

282l(0x)

2图2-11CB段：

1lFS(x)FBql (xl)

82M(x)FB(lx)1lql(lx) (xl) 823．求控制截面内力，绘Q、M图

FS图：AC段内，剪力方程FS(x)是x的一次函数，剪力图为斜直线，求出两个端截面的剪力值，FSA31ql，FSCql，标在FSx坐标系中，连接两点即得该段的剪力图。CB88段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图2-11(b)所示。

M图：AC段内，弯矩方程M(x)是x的二次函数，弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，MA0，MC12ql，分别标在Mx坐标系中。在FS0处弯矩取得极值。令剪16339ql2，标在Mx坐标系中。根据上面三点力方程FS(x)0，解得xl，求得M(l)88128绘出该段的弯矩图。CB段内，弯矩方程M(x)是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，标在Mx坐标系中，并连成直线。AB梁的M图如图2-11(c)所示。

例2-7 梁的受力如图2-12（a）所示，试利用微分关系作梁的FS、M图。 解：1.求支反力。 F=3kNm=3.6kN.mq=10kN/m由平衡方程MB(F)0和MA(F)0求得 FA10kN，FB5kN 2.分段确定曲线形状 由于载荷在A、D处不连续，应将梁分为三段绘内力图。

根据微分关系

dFS(x)dM(x)FS(x)，q(x)，dxdx0.6m0.6m7kN1.2m0.5m3kN2.4kN.m1.25kN.m5kNd2M(x)dFS(x)q(x)，在CA和AD段内，q0，1.2kN.m1.8kN.mdxdx2剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；DB段内，图2-12q常数，且为负值，剪力图为斜直线，M图为向上凸的抛物线。 3.求控制截面的内力值，绘FS、M图 FS图：FSC右3kN，FSA右7kN，据此可作出CA和AD两段FS图的水平线。

FSD右7kN，FSB左5kN，据此作出DB段FS图的斜直线。

M图：MC0，MA左1.8KNm，据此可以作出CA段弯矩图的斜直线。A支座的约

束反力FA只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故

MA左MA右MA1.8KNm，MD左2.4kNm，据此可作出AD段弯矩图的斜直线。D处的集中力偶会使D截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出MD右1.2KNm，MB0；由DB段的剪力图知在E处FS0，该处弯矩为极值。根据BE段的平衡条件Fy0，知BE段的长度为0.5m，于是求得ME1.25kNm。根据上述三个截面的弯矩值可作出DB段的M图。

对作出的FS、M图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如DB段内的均布载荷为负值，该段FS图的斜率应为负；CA段的FS为负值，该段M图的斜率应为负；AD段的FS为正值，该段M图的斜率应为正；支座A处剪力图应发生突变，突变值应为10kN；D处有集中力偶，D截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6kNm；支座B和自由端C处的弯矩应为零等。

例2-7 刚架受力如图2-13（a）所示。试绘出刚架的内力图。 图图2图图2-13 解：1.分段列出内力方程 对CA段距右端为x1的截面FNx10，FSx1F，Mx1Fx1(0x1a) 对BA段距B端为x2的截面

12FNx2F，FSx2qx2，Mx2Faqx2(0x2l)

22.作内力图 由内力方程绘出内力图，FN图和FS图可以画在杆轴的任一侧，一般正值画在刚架外侧，并标明正负号。弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。 例2-8 曲杆受力如图2-14（a）示。试绘出曲杆的弯矩图 θθ图(d)FS图(e)FN图图2-14解：1.建立内力方程 用圆心角为的横截面取隔离体，其受力图如图2-14（b）所示。由平衡条件求得 M()FRsinFS()Fcos 0 2FN()Fsin （3）绘曲杆内力图 由内力方程绘出的内力图如图（c）、(d)、（e）所示。