宝山区 2018 学年第二学期期中
高三年级数学学科教学质量监测试卷
（120 分钟，150 分）
考生注意：
1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
2．所有作答务必书写在答题纸上与题号对应的区域上，不得错位.在试题上作答一律不 得分；
3．答题前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚.
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分），
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1.已知 i 为虚数单位，则集合 A x | x i n, n Z中元素的个数为______.
2.圆 x 2 y 2 2 x 6 y 6 的半径 r _______.
3.过点 A(2,4) ，且开口向左的抛物线的标准方程是_______ .
z 2
i ，其中 i 为虚数单位，则 z . 4.设 z C ，且
z 2 _______
5.在 (1 x)5 (1 x3 ) 的展开式中， x 3的系数为________.（结果用数值表示）
x y 2，
6.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(2,1)，若 Q( x, y) 为平面区域 x2， 上的一个
y 1，
uuur uuur
动点，则 OP OQ 的取值范围是_______.
7.将半径为 1 和 2 的两个铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球的表面积是_______.
sec x 3 08.方程 的解集为________.
1 sin x
9.如图，扇形 OAB 的半径为 1，圆心角为
2
，若 P 为弧 AB 上
异于 A ， B 的点，且 PQ OB 交 OB 于 Q 点，当 POQ 的面
3
积大于 时， POQ 的大小范围为_______.
8
第9题
10.一个袋中装有 9 个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2, ,9 ，随机摸出两个球，
则两个球编号之和大于 9 的概率是_________（结果用分数表示）.
9 9
11.已知无穷等比数列 a , a , a , 各项的和为 ，且 a 2 ，若 S 104 ，则 n 的
1 2 3 2 n 2 2
最小值为________.
12.在线段 A A 的两端点各置一个光源，已知 A，A 光源的发光强度之比为 1: 2 ，则该线
1 2
1 2
段上光照度最小的一点到 A，A 的距离之比为________.（光学定律：P 点的光照度与 P 到 光源距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比。）
1
2
二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.
2n 1 n
对任意 n k ，（ n, k N ）的自然数都成立，则 k 的 13.用数学归纳法证明
2n 1 n 1
最小值为（ ）
（A）1 .
1
2
r uuur uuur uuu
14.设点 A(a , a ) ， B(b , b ) ， C (c , c ) 均非原点，则“OC 能表示成 OA 和 OB 的线性组
1
2
1
2
（B） 2 . （C） 3 . （D） 4 .
a x b y c ， 合”是“方程组 1 1 1 有唯一解”的（ x b y c ， a
2
2
2
）
（A）充分不必要条件.
（B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
x2 y 2
1 (a b 0) 的右焦点为 F (c,0) ，直线 y k ( x c) 与双曲线的 15.已知双曲线
a2 b2
右支有两个交点，则（
）
（A） | k | .
ba
b
（B） | k | .
a
c c
（C） | k | . （D） | k | .
a a
r r
v c, d ,1，其中 a2 b2 c2 d 2 1，则下列判断错误的是 16.设向量 u a, b,0 、
（ ）
r
（A）向量 v 与 z 轴正方向的夹角为定值（与 c、d 之值无关）.
r r
（B） u v 的最大值为 2 .
r r
3
（C） u 与 v 夹角的最大值为 .
4
（D） ad bc 的最大值为1 .
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
如图，已知点 P 在圆柱 OO 的底面圆 O 上，AOP 120 ，圆O 的直径 AB 4 ，圆
1
柱的高 OO 3 。
（1）求圆柱的表面积和三棱锥 A APB 的体积； （2）求点 A 到平面 A PO 的距离。
1
1
1
A
O
1
1 B
1
A
O
B
第 17 题
P
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
1
已知 f ( x) 3 sin x cos x cos2 x 。
2
x0,（1）若 ，求f(x)的取值范围；
2
1
（2）设 ABC 的三边分别是 a, b, c ，周长为 1，若 f (B) ，求 ABC 面积的最大值.
2
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
对年利率为 r 的连续复利，要在 x 年后达到本利和 A ，则现在投资值为 B Aerx ，e 是
自然对数的底数.
如果项目 P 的投资年利率为 r 6% 的连续复利.
（1）现在投资 5 万元，写出满 n 年的本利和，并求满 10 年的本利和；（精确到 0.1 万 元）
（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P 投资 2 万元， 那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?（精确到 1 年）
20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
x2 y2
已知椭圆 ： 1(0 b 3) 的左右焦点为 F , F ，M 是
1 2 9 b2
椭圆上半部分的动点，连接 M 和长轴的左右两个端点所得两直线
交 y 正半轴于 A ， B 两点（点 A 在 B 的上方或重合）。
（1）当 MF F 面积 S MFF最大时，求椭圆的方程；
1 2
1
2
第 20 题
（2）当 b 2 时，若 B 是线段 OA 的中点，求直线 MA 的方程；
uuur uur
（3）当 b 1 时，在 x 轴上是否存在点 P 使得 PM PA 为定值，若存在，求 P 点的坐标，
若不存在，说明理由。
21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
已知函数 f ( x), g ( x) 的在数集 D 上都有定义，对于任意的 x , x D ，当 x x 时，
1
2
1
2
f ( x ) f(x)f(x)f ( x ) g ( x ) 1 2 g ( x ) 或 g ( x ) 1 2 g ( x ) 成立，则称 g ( x) 是数集
2 2 1 1 x x x x
1
2
1 2
D 上 f ( x) 的限制函数。
（1）求 f ( x) 在 D (0, ) 上的限制函数 g ( x) 的解析式；
1
x
（2）证明：如果 g ( x) 在区间 D D 上恒为正值，则 f ( x) 在 D 上是增函数；
1
1
[注：如果 g ( x) 在区间 D D 上恒为负值，则 f ( x) 在区间 D 上是减函数。此结论无 需证明，可以直接应用。]
1
1
（3）利用（2）的结论，求函数 f ( x) x 2 2 x 在 D [0, ) 上的单调区间。
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