河南省许昌、平顶山、新乡三市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U=R，A={x|x≤1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）=( ) A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|x≤2} D．{x|x≥1} 2．已知 A．﹣1
B．1
2
，其中i为虚数单位，则a+b=( )
C．2
D．3
3．若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )
A．
5．若x∈（e，1），a=lnx，b=
﹣1
B． C． D．1
，c=e，则a，b，c的大小关系为( )
lnx
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
6．从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为( ) A．
B．
C．
D．
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．
8．已知双曲线C1：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x=2py（p＞0）
2
B．10 C．30 D．24+2
的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是( ) A．
B．x=
2
y C．x=8y
2
D．x=16y
2
9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为( )
A．f（x）=2sin（x+ C．f（x）=2sin（x+
10．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn={bn}的前n项和Sn中最大值是( ) A．S6 B．S5
（n∈N），bn=log2an，则数列
*
） ）
B．f（x）=4sin（x+D．f（x）=4sin（x+
） ）
C．S4 D．S3
11．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最
大值为3，则 A．4
的最小值为( )
B．3
2
C．2
2
x
D．1
12．已知函数f（x）=x+ln（x+m）与函数g（x）=x+e﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对数的底数），则m的取值范围是( ) A．（﹣∞，
） B．（﹣∞，
） C．（﹣
，
） D．（﹣
，
）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．
14．（x﹣）展开式的常数项为__________．
15．在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量上的投影是__________．
16．设函数f（x）=1+sin2x，g（x）=2cosx+m，若存在x0∈[0，实数m的取值范围是__________．
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若
，求角C的取值范围．
=﹣
．
2
6
dx=__________．
在向量方向
]，f（x0）≥g（x0），则
18．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．
（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；
（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
19．四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点． （1）求证：SD∥平面CFA；
（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．
20．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列． （1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．
21．设函数f（x）=lnx+x﹣（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R． （Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若≥e（e为自然对数的底数），求f（b）﹣f（a）的最大值．
2
四、选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）求证：AM•MB=DF•DA．
【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ
为参数）．
（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，
），判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．
【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
河南省许昌、平顶山、新乡三市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U=R，A={x|x≤1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）=( )
A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|x≤2} D．{x|x≥1}
考点：交、并、补集的混合运算． 专题：集合．
分析：由A与B，求出两集合的并集，根据全集U=R，求出并集的补集即可． 解答： 解：∵全集U=R，A={x|x≤1}，B={x|x≥2}， ∴A∪B={x|x≤1或x≥2}，
则∁U（A∪B）={x|1＜x＜2}． 故选：A．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．已知
，其中i为虚数单位，则a+b=( )
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
考点：复数代数形式的混合运算． 专题：数系的扩充和复数．
分析：先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．
解答： 解：由另解：由
得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．
故选B．
点评：本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．
3．若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：计算题．
分析：先求得命题A，B为真时，参数的范围，再利用四种条件的定义，即可得结论． 解答： 解：A：a∈R，|a|＜1，可得﹣1＜a＜1；
2
B：x的二次方程x+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，所以f（0）=a﹣2＜0，所以a＜2；
当﹣1＜a＜1时，a﹣2＜0，∴A是B的充分条件，
当a＜2时，不能得出﹣1＜a＜1，比如a=1.5，∴A不是B的必要条件； 所以A是B的充分不必要条件 故选：A．
点评：本题以命题为载体，考查四种条件，考查方程根的研究，利用四种条件的定义进行判断是关键．
4．如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )
2
A．
B．
C．
D．1
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：执行程序框图，写出当i＜3成立时，i，m，n的值，即可求出i＜3不成立时输出n的值．
解答： 解：执行程序框图，有 i=1，m=0，n=0
i＜3成立，i=2，m=1，n= i＜3成立，i=3，m=2，n= i＜3不成立，输出n的值为．
故选：C．
点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．
5．若x∈（e，1），a=lnx，b=
﹣1
，c=e，则a，b，c的大小关系为( )
D．b＞a＞c
lnx
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c
考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较． 专题：计算题．
分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案． 解答： 解：∵x∈（e，1），a=lnx ∴a∈（﹣1，0），即a＜0； 又y=∴b=
lnx
﹣1
为减函数， ＞
﹣1
==1，即b＞1；
又c=e=x∈（e，1）， ∴b＞c＞a． 故选B．
点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．
6．从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为( ) A．
B．
C．
D．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题：计算题；概率与统计．
分析：由列举法求出所有可能的情况与不符合条件的情况，从而得到其概率．
解答： 解：从正六边形六个顶点及其中心这7个点中任取两个点共有距离等于该正六边形边长有6+6=12种， 故这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为
=．
=21种情况；
故选C．
点评：本题考查了列举法计算事件数的方法及概率的求法，属于基础题．
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．
B．10
C．30
D．24+2
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，即可得出结论．
解答： 解：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，侧棱垂直于底面的直四棱柱， 则正视图和俯视图可知该几何体的高为2，侧棱长为2，
所以该几何体的体积为=10
故选：B．
点评：本题考查有三视图还原几何体，本题是一个基础题，解题的过程中看清各个部分的数据，代入求体积公式得到结果．
8．已知双曲线C1：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x=2py（p＞0）
2
的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是( ) A．
B．x=
2
y C．x=8y
2
D．x=16y
2
考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．
解答： 解：双曲线C1：
的离心率为2．
所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：
抛物线
的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，
所以2=，因为，所以p=8．
抛物线C2的方程为x=16y． 故选D．
点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．
9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为( )
2
A．f（x）=2sin（x+ C．f（x）=2sin（x+
） B．f（x）=4sin（x+）
D．f（x）=4sin（x+
） ）
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；简单复合函数的导数． 专题：计算题；数形结合．
分析：根据题意，先求出f（x）的导函数，再根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出ω的值，进而根据导函数的最大值为2，求出A的值，把求出的ω与A的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值，将A，ω及φ的值代入即可确定出f（x）的解析式，即可得答案．
解答： 解：根据题意，对函数f（x）=Asin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωAcos（ωx+φ），
由导函数的图象可知：导函数的周期为2[则有T=
=4π，解得ω=，
﹣（﹣）]=4π，
由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω=2，即A=4， ∴导函数f′（x）=2cos（x+φ）， 把（﹣解得φ=
，2）代入得：4cos（﹣，
）．
+φ）=2，且|φ|＜
，
则f（x）=4sin（x+
故选B．
点评：此题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，涉及复合函数的导数的运算；借助导函数图象中的周期、最值，来确定A，ω及ψ的值是解本题的关键．
10．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=
（n∈N），bn=log2an，则数列
*
{bn}的前n项和Sn中最大值是( )
A．S6 B．S5 C．S4 D．S3
考点：数列的求和． 专题：计算题．
分析：由已知，探求{an}的性质，再去研究数列{bn}的性质，继而解决Sn中最大值．
解答： 解：由已知当n=1时，a1=T1=n=1时也适合上式， 数列{an}的通项公式为an=4为公差的等差数列．
，当n≥2时，an=
=，
∴bn=log2an=14﹣4n，数列{bn}是以10为首项，以﹣
=﹣2n+12n=﹣2[（n﹣3）
故选D
22﹣9
]，当n=3时取得最大值．
点评：本题主要考查了等差数列的判定，前n项公式，考查了学生对基础知识的综合运用．体现了函数思想的应用．
11．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最
大值为3，则的最小值为( )
C．2
D．1
A．4 B．3
考点：基本不等式；简单线性规划． 专题：计算题；作图题．
分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，
画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为3，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出
的最小值．
解答： 解：满足约束条件的区域是一个三角形，如图
3个顶点是A（﹣3，0），B（﹣2，0），C（ 1，2）， 由图易得目标函数在（1，2）取最大值3， 即a+2b=3． ∴
=（a+2b）•（
+
）
）
=（1+4+
≥×9=3（当且仅当a=b=1时取“=”）．
故选B．
点评：本题考查的知识点是线性规划，作出线性规划的图形是关键，明确目标函数过点C（1，2）其最优解为3是难点，属于中档题．
12．已知函数f（x）=x+ln（x+m）与函数g（x）=x+e﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对数的底数），则m的取值范围是( ) A．（﹣∞，
） B．（﹣∞，
） C．（﹣
，
） D．（﹣
，
）
2
2
x
考点：函数奇偶性的性质．
专题：数形结合法；函数的性质及应用．
分析：题目可转化为：假设对称点为（x0，y0）和（﹣x0，y0），其中：x0＞0，此时有：x0+e
（﹣x0）
2
﹣=x0+ln（x0+m），通过数形结合即可求解．
2
解答： 解：题目可转化为：假设对称点为（x0，y0）和（﹣x0，y0），其中：x0＞0 此时有：x0+e即x+e
2
（﹣x）
2（﹣x0）
﹣=x0+ln（x0+m）
2
﹣=x+ln（x+m）在x＞0时有解 ﹣=ln（x+m）
2
可化为：e
（﹣x）
通过数形结合：
显然有：m＜． 故选：A．
点评：本题主要考察函数奇偶性的性质，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．
考点：定积分．
dx=π．
专题：导数的综合应用．
分析：利用微积分基本定理的几何意义即可得出． 解答： 解：令y=
，画出图象：
=π．
由微积分基本定理的几何意义可得：
故答案为π．
点评：熟练掌握微积分基本定理的几何意义是解题的关键．
14．（x﹣）展开式的常数项为﹣20．
6
考点：二项式系数的性质． 专题：二项式定理．
分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
解答： 解：由于（x﹣）展开式的通项公式为 Tr+1=
6
6
•（﹣1）•x
r6﹣2r
，
令6﹣2r=0，求得 r=3，可得（x﹣）展开式的常数项为﹣=﹣20，
故答案为：﹣20．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
15．在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量上的投影是﹣
．
在向量
方向
考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．
分析：利用向量在向量方向上的投影=即可得出．
解答： 解：如图所示， B（4，0），C（0，2），M（2，1）． ∴
=（2，1），
在向量
=（﹣4，2）． 方向上的投影=
=
=﹣
．
∴向量
故答案为：．
点评：本题考查了向量投影的计算公式，属于基础题．
16．设函数f（x）=1+sin2x，g（x）=2cosx+m，若存在x0∈[0，
2
]，f（x0）≥g（x0），则
实数m的取值范围是m≤．
考点：三角函数中的恒等变换应用． 专题：三角函数的图像与性质．
2
分析：把问题转化为y=1+sin2x﹣2cosx在已知区间的最大值，由三角函数的知识求解即可．
解答： 解：由题意可得存在x0∈[0，故只需存在x0∈[0，
]，使1+sin2x0﹣2cosx0﹣m≥0即可满足题意，
2
2
]，m≤1+sin2x0﹣2cosx0，
2
故只需m≤（1+sin2x﹣2cosx）max，x∈[0，化简可得y=1+sin2x﹣2cosx=sin2x﹣cos2x=∵x∈[0，∴sin（2x﹣∴
]，∴2x﹣）∈[
∈[，1]，
]， ，
]，
2
]， sin（2x﹣
），
sin（2x﹣）∈[﹣1，
2
即y=1+sin2x﹣2cosx的最大值为， ∴m≤
故答案为：m≤
2
点评：本题考查三角函数的性质，转化为求y=1+sin2x﹣2cosx在已知区间的最大值是解决问题的关键，属中档题．
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若
，求角C的取值范围．
=﹣
．
考点：正弦定理；余弦定理． 专题：解三角形．
分析：（I）由已知可得2cosB=，求得sin2A=1，可得A的值．
（II）由B+C=得到C的范围．
，且 ==+tanC＞，求得tanC＞1，从而
解答： 解：（I）由已知 =﹣，可得2cosB=．
而△ABC为斜三角形，∴cosB≠0，∴sin2A=1． ∵A∈（0，π），∴2A=（II）∵B+C=
，且
，A=
．
=∴
＜C＜
．
==+tanC＞，即tanC＞1，
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、诱导公式，属于基础题．
18．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．
（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率； （Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式利用排列组合知识能求出15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率．
（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率
2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望． 解答： （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A， 则
，
，ξ可能取0，1，
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率ξ可能取0，1，2，3．____________________… 则
，
， ，
．…
∴ξ的分布列如下： ξ 0 P … ∴
．…
．…
，…
1
2
3
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用． 19．四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点． （1）求证：SD∥平面CFA；
（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定． 专题：空间角． 分析：（1）连结BD交AC于点E，连结EF，由已知条件推导出EF∥SD，由此能够证明SD∥平面CFA．
（2）以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值． 解答： （1）证明：连结BD交AC于点E，连结EF， ∵底面ABCD为平行四边形，∴E为BD的中点． 在△BSD中，F为SB的中点，∴EF∥SD， 又∵EF⊂面CFA，SD⊄面CFA， ∴SD∥平面CFA．
（2）解：以BC的中点O为坐标原点， 分别以OA，OC，OS为x，y，z轴， 建立如图所示的坐标系．
则有，
，
，∴
，， ，
，
设平面SAB的一个法向量为
由得，
令z=1得：x=1，y=﹣1∴
同理设平面SCD的一个法向量为
由，得，
令b=1得：a=﹣1，c=1，∴
设面SCD与面SAB所成二面角为θ， 则
=，
∴面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值为．
，
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列． （1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；数列与解析几何的综合；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）依题意，设椭圆C的方程为
2
2
2
，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等
差数列，即可得到a，利用b=a﹣c得到a即可得到椭圆的方程；
22
（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x+4y=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．
法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S的最大值；
法二：利用d1及d2表示出及d1d2，进而得到
，再利用二次函数的单调性即可得出其最
大值．
解答： 解：（1）依题意，设椭圆C的方程为
．
∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2． 又∵c=1，∴b=3．∴椭圆C的方程为
2
．
2
2
2
2
2
（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x+4y=12中，得（4k+3）x+8kmx+4m
﹣12=0．
2222
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64km﹣4（4k+3）（4m﹣12）=0，
22
化简得：m=4k+3． 设
，
，
法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ， 则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|， ∴
，
=，
∵m=4k+3，∴当k≠0时，
22
，
． ．
，．
当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，所以四边形F1MNF2面积S的最大值为法二：∵
，
．
∴=．
四边形F1MNF2的面积
=，
=．
当且仅当k=0时，，故
．
．
所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为
点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21．设函数f（x）=lnx+x﹣（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R． （Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若≥e（e为自然对数的底数），求f（b）﹣f（a）的最大值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）函数有两个极值点，结合定义域，知其导数有两个正实数根，得到不等式组，求出m的范围；
（Ⅱ）由题知a，b是两个极值点，结合韦达定理，得到f（b）﹣f（a）关于a，b的关系式，
2
再用换元t=，构造关于t的函数，求出g（t）的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）
则由题意得方程x﹣（m+2）x+1=0有两个正根， 故
，
2
，
解得m＞0．故实数m的取值范围是m＞0． （Ⅱ）
，
又m+2=a+b，ab=1∴
，
设
，故，构造函数
=
=
，
所以g（t）在[e，+∞）上是减函数，f（b）﹣f（a）的最大值为
．
，
点评：本题考查了，极值，韦达定理，换元法，以及构造思想．属于中档题．
四、选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）求证：AM•MB=DF•DA．
考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明． 专题：证明题． 分析：（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；
22
（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM=AM•MB，再利用切割线定理得到DC=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM． 解答： 证明：（1）连接OC，∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线， ∴∠OAC=∠FAC ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC∥AD．… ∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…
（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM=AM•MB．
2
又∵DC是⊙O的切线，∴DC=DF•DA． ∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC ∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM， ∴AM•MB=DF•DA…
2
点评：几何证明选讲重点考查相似形，圆的比例线段问题，一般来说都比较简单，只要掌握常规的证法就可以了．
【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ
为参数）．
（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，
），判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程． 专题：直线与圆． 分析：（1）把点P的极坐标化为直角坐标，把直线l的参数方程化为直角坐标方程，根据点P的坐标不满足直线l的方程，可得点P不在直线l上．
（2）把曲线C的方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d的值，根据点Q到直线l的距离的最小值为d﹣r，最大值为d+r，从而求得点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．
解答： 解：（1）把点P的极坐标为（4，）化为直角坐标为（2，2），
把直线l的参数方程 （t为参数），化为直角坐标方程为 y=x+1，
由于点P的坐标不满足直线l的方程，故点P不在直线l上． （2）∵点Q是曲线C上的一个动点，曲线C的参数方程为
2
2
（θ为参数）．
把曲线C的方程化为直角坐标方程为 （x﹣2）+y=1，表示以C（2，0）为圆心、半径等于1的圆．
圆心到直线的距离d==+，
﹣，最大值为d+r=
+，
故点Q到直线l的距离的最小值为d﹣r=
∴点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差为2．
点评：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题． 专题：综合题；压轴题；转化思想． 分析：（1）不等式f（x）≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围． 解答： 解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3， 解得a﹣3≤x≤a+3．
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
所以解得a=2．
（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|． 设g（x）=f（x）+f（x+5），
于是
所以当x＜﹣3时，g（x）＞5； 当﹣3≤x≤2时，g（x）=5； 当x＞2时，g（x）＞5．
综上可得，g（x）的最小值为5． 从而，若f（x）+f（x+5）≥m
即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．
点评：本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，
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