十年真题-概率-全国高考理科数学

2008-20．〔12分〕

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．假设结果呈阳性则说明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；假设结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

〔Ⅰ〕求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； 〔Ⅱ〕表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

2009-19(12分)

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

〔1〕求甲获得这次比赛胜利的概率；

〔2〕设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。

2010-18( 12分)

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．假设能通过两位初审专家的评审，则予以录用；假设两位初审专家都未予通过，则不予录用；假设恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，假设能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．

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各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

2011-19〔12分〕

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大说明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方〔分别称为A配方和B配方〕做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

〔Ⅰ〕分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

〔Ⅱ〕已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X〔单位：元〕，求X的分布列及数学期望.〔以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率〕

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2012-18.〔12分〕

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进假设干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

〔1〕假设花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n

〔单位：枝，nN〕的函数解析式。

〔2〕花店记录了100天玫瑰花的日需求量〔单位：枝〕，整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

〔i〕假设花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润〔单位：元〕，求X的分布列， 数学期望及方差；

〔ii〕假设花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。

2013-20 (12分)

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

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1，各局比赛的2 2014-18

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图的频率分布直方图：

第18题图(ZX063)

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中μ近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.

(i)利用该正态分布，求P(187.8(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.

附：150≈12.2.假设Z～N(μ，2)，则p(μ－σ某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量(t)620600580560540520500480343638学习文档 仅供参考

404244464850年宣传费（千元）525456

(wiw)(xix)(yiy)(wiw)(yiy)(xix)i1i122i1i1nnnnxyw 46.6 56.3 6.8 1w8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wixi，

wii1n.

(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果答复以下问题：

年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),,(un,vn)，其回归直线的vu斜率和截距的

ˆ(uiu)(viv)i1n最小二乘估计分别为

2016-19〔12分〕

(uiu)2i1nˆu.ˆv,

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，

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得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. 〔I〕求X的分布列；

〔II〕假设要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；

〔III〕以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？

2017-19．〔12分〕

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸〔单位：cm〕．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)．

〔1〕假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在

(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

〔2〕一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

〔ⅰ〕试说明上述监控生产过程方法的合理性； 〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经

计

算

得

116xxi9.9716i1，

11611622s(xix)(xi16x2)20.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺16i116i1寸，i1,2,,16．

ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用样本平均数x作为的估计值学习文档 仅供参考

ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(数据，用剩下的数据估计和〔精确到0.01〕．

附：假设随机变量Z服从正态分布N(,2)，则

P(3Z3)0.997 4，

0.997 4160.959 2，0.0080.09．

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答案 2008-20

解：〔Ⅰ〕对于甲：

次数 概率 对于乙：

次数 概率 2 0.4 3 0.4 4 0.2 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.2 5 0.2 0.20.40.20.80.210.210.64．

〔Ⅱ〕表示依方案乙所需化验次数，的期望为

E20.430.440.22.8．

2009-19

【分析】〔1〕由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．

〔2〕由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望． 【解答】解：记Ai表示事件：第i局甲获胜，〔i=3、4、5〕 Bi表示第j局乙获胜，j=3、4

〔1〕记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利， ∵前2局中，甲、乙各胜1局，

∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局， ∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5 由于各局比赛结果相互独立，

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∴P〔B〕=P〔A3A4〕+P〔B3A4A5〕+P〔A3B4A5〕 =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648

〔2〕ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3

由于各局相互独立，得到ξ的分布列 P〔ξ=2〕=P〔A3A4+B3B4〕=0.52 P〔ξ=3〕=1﹣P〔ξ=2〕=1﹣0.52=0.48 ∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48． 2010-18

(Ⅰ)记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用.

则 D=A+B·C,

P(A)0.50.50.25,P(B)20.50.50.5,P(C)0.3, P(D)P(ABC) =P(A)P(BC) =P(A)P(B)P(C) =0.25+0.5×0.3 =0.40.

(Ⅱ)X~B(4,0.4)，其分布列为： P(X0)(10.4)40.1296,

1 P(X1)C40.4(10.4)30.3456, 2 P(X2)C40.42(10.4)20.3456,

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3 P(X3)C40.43(10.4)0.1536,

P(X4)0.440.0256. 期望EX40.41.6. 2011-19

〔Ⅰ〕由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为

228=0.3，所以用A配方生产的产品的优质10032100.42，所以用B100品率的估计值为0.3。

由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

〔Ⅱ〕用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间

90,94,94,102,102,110

的频率分别为0.04，,054,0.42，因此

P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为

X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 2012-18

〔1〕当n16时，y16(105)80

当n15时，y5n5(16n)10n80

10n80(n15) 得：y(nN)

(n16)80 〔2〕〔i〕X可取60，70，80

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P(X60)0.1,P(X70)0.2,P(X80)0.7 X的分布列为

X P 60 70 80 0.1 0.2 0.7 EX600.1700.2800.776 DX1620.1620.2420.744 〔ii〕购进17枝时，当天的利润为

y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4

76.476 得：应购进17枝 2013-20

解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”． 则A＝A1·A2.

1P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.

4(2)X的可能取值为0,1,2.

记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

1，P(X＝2)＝P(B1·B3)＝81115P(B1)P(B3)＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1，EX＝0·P(X

48489＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.

8则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝

2014-18

【测量目标】考查平均数和方差及正态分布

【考查方式】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率.

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【试题解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：平均数＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.s2＝(-30)2×0.02＋(-20)2×0.09＋(-10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(i)由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8〔I〕由散点图可以判断，ycdx作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 ……2分

〔II〕令wx，先建立y关于w的线性回归方程。由于

ˆd(ww)(yy)iii1n

(ww)ii1n2108.8681.6，

ˆ563686.8100.6ˆydwc。

ˆ100.668w，因此y关于x的回归方程为所以y关于w的回归方程为yˆ100.668x。 ……6分 y 〔III〕〔i〕由〔II〕知，当x=49时，年销售量y的预报值

ˆ100.66849576.6 yˆ576.60.24966.32。 ……9分 年利润z的预报值z 〔ii〕根据〔II〕的结果知，年利润z的预报值

ˆ0.2(100.668x)xx13.6x20.12 zx13.66.82ˆ取得最大值 ，即x=46.24时，z 所以当 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最

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大。 ……12分 2016-19

121〔I〕这100台机器更换的易损零件数为8,9,10,11时的频率为分别为，，，

5551121，故1台机器更换的易损零件数为8,9,10,11时发生的概率分别为，，，55551，每台机器更换与否相互独立，X16,17,18,19,20,21,22，故两台机器更换易5损零件个数及对应概率如下表：

18〔〕 529〔〕 5110〔〕 5111〔〕 518〔〕 5116〔〕 25217〔〕 25118〔〕 25119〔〕 252〕 5217〔〕 25418〔〕 25219〔〕 25220〔〕 259〔110〔〕 5118〔〕 25219〔〕 25120〔〕 25121〔〕 25111〔〕 5119〔〕 25220〔〕 25121〔〕 25122〔〕 25

所以求X的分布列为：

X p 16 1 2517 4 2518 6 2519 6 2520 5 2521 2 2522 1 25

111171,P(X19)，所以n的最小值为19 252252146652118.2 〔III〕EX1617181920212225252525252525〔II〕P(X18)故至少购买

2001950019件，假设买19件时费用期望为

521100015004040〔元〕， 252525214080〔元〕 假设买20件时费用期望为2002050010002525所以应选用n19.

【试题评析】此题以实际问题为背景，以频率作为概率，综合考察柱状图〔初中内容〕，列举法求概率，离散型随机变量的分布列，期望。审题较为费劲，特别

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是第三问带有创新性与平时训练题型不同，不冷静分析难以找到突破口。属于必考题，偏难. 2017-19

〔1〕PX11PX010.99741610.95920.0408

由题意可得，X满足二项分布X~B16,0.0016， 因此可得EX16,0.0016160.00160.0256 〔2〕

1由〔1〕可得PX10.04085%，属于小概率事件， ○

故而如果出现(3,3)的零件，需要进行检查。

2由题意可得9.97,0.21239.334,310.606， ○

故而在9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。 此时：x9.97169.2210.02，

15115xx0.09。 15i1

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