第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性

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(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的值范围．

正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

考向三 函数的奇偶性与周期性

【例3】►已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1， (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．

【训练3】 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为( )．

A．－1 B．1 C．0 D．无法计算

1．判断函数的奇偶性． 2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．

3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．

考向一 判断函数的奇偶性

【例1】►下列函数： ①f(x)＝

1－x2＋

x

【复习指导】

本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．

x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋

－x

x2＋1)；④f(x)＝数是( )．

3－31－x

；⑤f(x)＝lg.其中奇函数的个21＋x

基础梳理

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

A．2 B．3 C．4 D．5 ．

【训练1】 判断下列函数的奇偶性： 4－x2

(1)f(x)＝；

|x＋3|－3(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2. ．

考向二 函数奇偶性的应用

11

【例2】►已知f(x)＝xx＋(x≠0)．

2－12(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.

【训练2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取

- 1 - 2．奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数． 3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

【拔高示例】►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．

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一条规律

奇、偶函数的定义域关于原点对称．

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称

D．直线y＝x对称

3．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．

A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数 4．(2011·福建)对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．

A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 5、（2012山东8）定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x).

当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x。则f(1)f(2)f(3)f(2012)

（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012

两个性质

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

三种方法

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．

三条结论

(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．

11(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)

fxfx是周期函数，其中一个周期为T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.

6．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.

双基自测

1．(2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，115

＝( )．A.－ B.－ f(x)＝2x(1－x)，则f－22411

C. D. 42

12．(2012·福州一中月考)f(x)＝－x的图象关于( )．

x

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