高中数学 三角函数 板块四 三角函数的综合题完整讲义(学生版)

题型一：与三角恒等变换的综合题

π【例1】 函数f(x)sin2x22sin2x的最小正周期是 ．

4

2x【例2】 设函数fxcosxπ2cos2，xR．

32⑴求fx的值域；

c，c3，⑵记△ABC的内角A、若fB1，b，C的对边长分别为a，b1，B、

求a的值．

ππ【例3】 已知函数fx1cotxsin2xmsinxsinx．

44π3π⑴当m0时，求fx在区间，上的取值范围；

84⑵当tan2时，fx

3，求m的值． 5【例4】 已知函数f(x)23sinxcosx2cos2x1(xR)

π⑴求函数f(x)的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；

26ππ⑵若f(x0)，x0，，求cos2x0的值．

542

【例5】 已知函数f(x)sinx0,||π的图象如图所示．

⑴求,的值；

π⑵设g(x)f(x)fx，求函数g(x)的单调递增区间．

4y1Oπ4π2x-1

【例6】 已知函数fx3asin2x2asinxcosx33acos2xb0x的值域为

2[3,2]，求a、b的值．

13【例7】 已知函数ycos2xsinxcosx1，xR．

22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图象可由ysinxxR的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

【例8】 已知函数fxAsinx，xR（其中A0，0，分图象如图所示．

y1ππ，其部）

22-π4Oπ4x-1⑴求fx的解析式； π⑵求函数g(x)fx4

ππfx在区间0,上的最大值及相应的x值．

42

ππ【例9】 已知函数f(x)asinxbcosx的图象经过点,0，,1．

63⑴求实数a、b的值；

π⑵若x0,，求函数f(x)的最大值及此时x的值．

2

π1【例10】 设函数f(x)3sinxcosxcosxsinx．

22⑴求f(x)的最小正周期；

π⑵当x0,时，求函数f(x)的最大值和最小值．

2

π【例11】 已知函数f(x)cos2xsin2xcos2x

3⑴求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程；

⑵设函数g(x)[f(x)]2f(x)，求g(x)的值域．

xxxx【例12】 已知函数f(x)2asincossin2cos2(aR)

2222⑴当a1时，求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程式；

⑵当a2时，在f(x)0的条件下，求

cos2x的值．

1sin2x

题型二：与二次函数的综合题

π【例13】 已知x≤，求函数ycos2xsinx的最小值

4 【例14】 求函数y22sinxcos2x的最大值和最小值。

【例15】 设二次函数f(x)x2bxc(b,cR)，已知不论,为何实数，恒有

（1）求证：bc1；（2）求证c3。 f(sin)0，f(2cos)0，

【例16】 已知函数ycos2xsinx3，x[

【例17】 当方程4sin2x4sinxk2k20有解时，求k的取值范围. 【例18】 求函数y2sin2x2sinx1的值域.

【例19】 求函数y22acosxsin2x的最大值与最小值.

6,2]，求函数的最大值。

53π【例20】 求函数ysin2xacosxa(0≤x≤)的最大值

822 【例21】 函数f(x)12acosx2sin2x2a的最小值为g(a)，aR.

⑴求g(a)

【例22】 若函数f(x)cos2xasinxb的最大值为0，最小值为4，且a0，求a,b的

值

⑵若g(a)1，求a及此时f(x)的最大值 2【例23】 若sin2xcosxa0有实数根，试确定实数a的取值范围.

π【例24】 为使方程cos2xsinxa0在0,内有解，则a的取值范围是( )

25A.1≤a≤1 B.1a≤1 C.1≤a0 D.a≤

4

【例25】 已知函数ysin2xasinx1的最小值为1，求a的值.

【例26】 已知函数f(x)2cos2xsin2x4cosx．

π（Ⅰ）求f的值；

3（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值．

题型三：与不等式的综合题

【例27】 已知定义在(,4]上的减函数f(x)，使得f(msinx)≤f(12m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围 .

【例28】 已知b,c是实数，函数f(x)x2bxc对任意,R有：

①f(sin)≥0②f(2cos)≤0 ⑴求f(1)的值；

⑵证明：c≥3；

⑶设f(sin)的最大值为 10，求f(x).

11π【例29】 已知lg[9cos(x)]≤1，求函数ycot2x2cotx5的值域.

26

7cos2x)，4【例30】 关于x的不等式a22asin2x2acosx≥2的解集是全体实数，求实数a的取值范

围

【例31】 已知关于实数

x的不等式

(tan1)2(tan1)2|x|22，

x23(tan1)x2(3tan1)0的解集分别为M，N，且MN，则这样的

存在吗？若存在，求出的取值范围。

题型四：与数形结合的综合题 【例32】 求方程lgxsinx0的解的个数；

【例33】 求方程100sinxx的解的个数．

【例34】 函数yx2x与ycos(10πx)的图象交点有 个． 【例35】 方程sin2x12在[2π,2π]内解的个数为 ．

【例36】 如图，方程sin2xsinx在区间(0,2π)内解的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

ysin2x2Oxsinx

题型五：与其它函数综合题

【例37】 函数f(x)sin(x2),1x0x1，若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为（e,x≥0A.1 B.1,2 C.2 D.2221,2

【例38】 求函数ycosxsinx12的定义域。

【例39】 求下列函数的定义域：

（1）f(x)3tanx；

（2）f(x)tan(sinx)； （3）f(x)2cosx1lg(tanx1)．

）

ππ【例40】 求函数ylog2(1sinx)log2(1sinx)，x,的值域．

64

【例41】 已知0x2，化简：

xπlgcosxtanx12sin2lg2cosxlg1sin2x．

24

【例42】 求函数y

【例43】 y

【例44】 求函数y3的最大（小）值及取得最大（小）值时x的值.

(2cosx)(5cosx)3sin2x(xkπ,kZ)的值域． 2sinx(1sinx)(3sinx)的最值及对应的x的集合

2sinx

题型六：与向量的综合题

【例45】 在ABC中，AB3，AC2，BC10，则ABAC（ ）

3223A． B． C． D．

2332

1)， 【例46】 已知a，B，C的对边，向量m(3，b，c为ABC的三个内角A，n(cosA，sinA)．若mn，且acosBbcosAcsinC，则角B ．

【例47】 已知向量msinB,1cosB，且与向量n2,0的夹角为

，其中A, B, C是3（I）求角B的大小； （II）求sinAsinC的取值范围 △ABC的内角．

3【例48】 已知A、 B(0,3)、C(cos,sin)，C三点的坐标分别为A(3,0)、(,)，B、

222sin2sin2（I）若ACBC，求角的值；（II）若ACBC1，求的值

1tan

【例49】 设函数f(x)mn，其中向量m(2cosx,1)，n(cosx,（1）求f(x)的最小正周期与单调递减区间；

3sin2x)，xR

（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f(x)2，b1，△ABC

的面积为

【例50】 已知向量ncos,sin 和n3bc，求的值。 2sinBsinC2sin,cos，,2． 82时，求cos的值 528(1)求|mn|的最大值；(2)当|mn|=

【例51】 已知△ABC的面积S满足3S3, 且ABBC6, AB与BC的夹角为

(I) 求的取值范围;

(II)求函数f()sin22sincos3cos2的最小值

【例52】 已知△ABC的面积为3，且满足g(x)3a2lnxb，设AB和AC的夹角为．

（I）求的取值范围；

π（II）求函数f()2sin23cos2的最大值与最小值．

4

【例53】 已知、(0,2)，a(sin,1cos)，b(sin,cos)，且ab3cos 2（1）求向量a与b的夹角； （2）求、的值.

【例54】 已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，两向量p(22sinA,cosAsinA)，

q(sinAcosA,1sinA)，若p与q是共线向量.

（1）求A的大小； （2）求函数y2sin2Bcos

C3B取最大值时，B的大小 2【例55】 已知向量m(sinA，cosA)，n3，1，mn1，且A为锐角．

⑴求角A的大小；⑵求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域．

【例56】 已知向量m(sinA，cosA)，n(1，2)且mn0

⑴求tanA的值；

⑵求函数f(x)cos2xtanAsinx(xR)的值域．

题型七：三角函数杂题

【例57】 设fx满足2f(sinx)3f(sinx)4sinxcosx(

【例58】 圆x2y2k2至少覆盖函数f(x)3sin实数k的取值范围．

【例59】 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为

yP4x4)，求f(x)的表达式.

πx的一个最大值点与一个最小值点，求k2，2，角

OP0x

d2Otd22O34t A．

d22O4t B．

d2O4t

C． D．

【例60】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角,，它们的终边分

别与单位圆交于A,B两点．已知A,B的横坐标分别为572． ,510⑴求tan()的值； ⑵求2的值．

yAOBx

【例61】 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险

等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船．

⑴求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；

⑵设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA成角， 求fxsin2sinxcos2cosxxR的值域．

北A20B10C

π【例62】 已知函数fxsin2x，gxcos2x，直线xttR与函数fx、gx6的图象分别交于M、N两点， ⑴当t

ππ时，求|MN|的值；⑵求|MN|在t0，时的最大值． 42