小学数学竞赛第四讲 速算与巧算(二)

1．直接利用乘法结合律的速算

利用乘法结合律，可以把两个因数相乘积是整十、整百、整千的先进行计算，使计算简便。为了计算迅速，可以把有些较常用的乘法算式记熟，例如：25×4＝100，125×8＝1000，12×5＝60，…… 例1 计算236×4×25 解：236×4×25 ＝236×（4×25） ＝236×100 ＝23600

2．乘法交换律、结合律同时运用的速算

几个因数相乘，先交换因数的位置，使因数相乘积为整十、整百、整千的凑在一起，根据结合律分组计算比较简便。 例2 125×2×8×25×5×4

解：原式＝（125×8）×（25×4）×（5×2） ＝1000×100×10 ＝1000000

3．直接利用乘法分配律的简算 例3 计算：

（1）175×34×175×66

（2）67×12＋67×35＋67×52＋67 解：（1）根据乘法分配律： 原式＝175×（34＋66） ＝175×100 ＝17500

（2）把67看作 67×1后，利用乘法分配律简算。 原式＝67×（12＋35＋52＋1） ＝67×100 ＝6700

4．把一个因数拆分成两个因数，利用交换律、结合律进行巧算。 例4 计算（1）28×25 （2）48×125 （3）125×5×32×5 解：（1）原式＝4×7×25 ＝7×（4×25） ＝7×100 ＝700

（2）原式＝6×8×125＝6×（8×125） ＝6×1000 ＝6000

（3）原式＝125×8×4×5×5 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000

5．间接利用乘法分配律进行巧算 例5 计算（1）26×99 （2）1236×199 （3）713×101 解：（1）由99＝100－1，

原式＝26×（100－1） ＝26×100－26×1 ＝2600－26 ＝2574

（2）由199＝200－1， 原式＝1236×（200－1） ＝1236×200－1236×1 ＝247200－1236 ＝246000－36 ＝2459

（3）原式＝713×（100＋1） ＝713×100＋713×1 ＝71300＋713 ＝72013

6．几种常见的特殊因数乘积的巧算

（1）任何一个自然数乘以0，其积都等于0。 例6 计算1326＋427×9×42×0－315 解：原式＝1326＋0－315 ＝1011

（2）在乘法算式中，任何一个数乘以1，还得原来的数。 例7 8736×49＋8736×40－8736×88 解：根据乘法分配律，

原式＝8736×（49＋40－88） ＝8736×1

＝8736

（3）求一个数乘以5的积 例8 计算128732×5

解：一个数乘以5，实际上就是乘以10的一半，因此可以把被乘数末尾添上一个0（扩大10倍），再把所得的数除以2（减半）即可。 原式＝1287320÷2 ＝323660

（4）求一个数乘以11的积 例9 132638×11

解：把被乘数依次排开，先写上这个数首尾两数字，中间再添上相邻两数之和（够10进1），就是这个数乘以11的积。

132638×11＝145801018

同学们把这种乘以11的速算总结成一句话，叫作“两边一拉，中间相加”。

（5）求十几乘以十几的积 例10 计算18×12

解：如果两个因数都是十几的数，可以用一个因数加上另一个因数个位上的数，乘以10，再加上它们个位数的积。 原式＝（18＋2）×10＋2×8 ＝200＋16 ＝216

二、除法中的速算与巧算

1．利用商不变性质的简便运算

我们已经学过，如果被除数和除数同时乘以或除以相同的数（这个数不等于零），所得的商不变。这就是商不变的性质。根据这个性质，可以使一些除法算式计算简便。 例11 计算： （1）12400÷25 （2）374000÷125

解：（1）原式＝（12400×4）÷（25×4） ＝49600÷100 ＝496

计算熟练后可直接列式为：原式＝124×4＝496 （2）原式＝（374000×8）÷（125×8） ＝2992000÷1000 ＝2992

计算熟练后，可直接列式为：原式＝374×8＝2992 2．连除式题的巧算

我们已经学过乘法交换律。交换因数的位置积不变。在连除式题中也同样可以交换除数的位置，商不变。在连除运算中有这样的性质： 一个数除以另一个数所得的商，再除以第三个数，等于第一个数除以第三个数所得的商，再除以第二个数。用字母表示为： a÷b÷c＝a÷c÷b

利用这个性质可以使连除运算简便。 例12 45000÷125÷15 解：原式＝45000÷15÷125 ＝3000÷125 ＝3×8

＝24

3．连除运算中利用添括号法则的巧算

在连除算式中，一个数除以另一个数所得的商再除以第三个数，等于第一个数除以第二、三两个数的积。即添上括号后，因为括号前面是除号，所以括号中的运算符号要变为乘号。用字母表示为：a÷b÷c＝a÷（b×c） 利用这个法则可以把两个除数相乘。如果积是整十、整百、整千，可以使计算简便。 例13 计算：

（1）4900÷4÷25 （2）24024÷4÷6

解：（1）原式＝4900÷（4×25） ＝4900÷100 ＝49

（2）原式＝24024÷（4×6） ＝24024÷24 ＝1001

4．利用乘除混合运算性质的巧算

在乘除混合运算中，可以把乘数、除数带符号“搬家”。也可以“去括号”或“添括号”。当“去的括号”（或“添的括号”）前面是乘号时，则“要去的括号”（或“要添的括号”）内运算符号不变；当“要去的括号”（或“要添的括号”）前面是除号时，则“要去的括号”（或“要添的括号”）内运算符号要改变。原来乘号变为除号，原来的除号变为乘号。用字母表示为：

a×b÷c＝a÷c×b＝a×（b÷c） a÷b÷c＝a÷（b×c） a÷b×c＝a÷（b÷c）

利用以上乘除混合运算性质，可以使计算简便。

例14 计算

（1）150×40÷50 （2）1320×500÷250 （3）72000÷（125×9） （4）210÷42×6 解：（1）原式＝150÷50×10 ＝3×40 ＝120

（2）原式＝1320×（500÷250） ＝1320×2 ＝20

（3）原式＝72000÷125÷9 ＝（72000÷9）÷125 ＝8000÷125 ＝8×8＝

（4）原式＝210÷（42÷6） ＝210÷7 ＝30