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第一章1.2-1.2.2第2课时组合的综合应用

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第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合

第2课时 组合的综合应用

A级 基础巩固

一、选择题

1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案

有( )

A.72种 B.84种 C.120种 D.168种

解析:需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中,所

以关灯方案共有C310=120(种).故选C.

答案:C

2.4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲

的不同选法共有( )

A.12种 B.24种 C.30种 D.36种

解析:依题意,满足题意的选法共有C24×2×2=24(种).

答案:B

3.从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种,在3块不同的土地上试种,每块土地上试种一种,其中1号种子必须试种,则不同的试种方法有(

)

A.24种 B.18种 C.12种 D.96种

解析:从3块不同的土地中选1块种1号种子,有C13种方法,从其余的3

种种子中选2种种在另外的2块土地上,有A23种方法,所以所求方法有C13A23=

18(种).

答案:B

4.将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里,使得放入

每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )

A.10种 B.20种 C.36种 D.52种

解析:根据2号盒子里放球的个数分类:第一类,2号盒子里放2个球,有C24种放法,第二类,2号盒子里放3个球,有C34种放法,剩下的小球放入1号

盒中,共有不同放球方法C24+C34=10(种).

答案:A

5.某电视台连续播放5个广告,其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求最后播放的必须是公益广告,且2个公益广告不能连续播放,则

不同的播放方式有( )

A.120种 B.48种 C.36种 D.18种

解析:依题意,所求播放方式的种数为C12C13A3=2×3×6=36.

答案:C

二、填空题

6.教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范

毕业生要平均分到3所学校去任教,有________种不同的分派方法.

C26C42C2

(种),再将3组毕业生A3

解析:先把6个毕业生平均分成3组,方法有

分到3所学校,方法有A3=6(种),故6个毕业生平均分到3所学校,分派方法共

C26C42C2

A3

·

A

3

90(

)

90󰀀7.50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有________种.󰀀解析:分两类,有4件次品的抽法有C4C146种,有3件次品的抽法有C34C246种,所以不同的抽法共有C4C146+C34C246=4 186(种).答案:

4 186󰀀8.以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个.󰀀解析:先从8个顶点中任取4个的取法为C48种,其中,共面的4点有12个,则四面体的个数为

C48-12=58(个).

答案:58󰀀三、解答题

答案:90

7.50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法

共有________种.

解析:分两类,有4件次品的抽法有C4C146种,有3件次品的抽法有C34C246

种,所以不同的抽法共有C4C146+C34C246=4 186(种).

答案:4 186

8.以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个.

解析:先从8个顶点中任取4个的取法为C48种,其中,共面的4点有12个,

则四面体的个数为C48-12=58(个).

答案:58三、解答题

9.为了提高学生参加体育锻炼的热情,光明中学组织篮球比赛,共24个班参加,第一轮比赛是先分四组进行单循环赛,然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛),问要进行多少场比赛

解:第一轮每组6个队进行单循环赛,共有C26场比赛,4个组共计4C26场.第二轮每组取前两名,共计8个组,应比赛C28场,由于第一轮中在同一组 的两队不再比赛,故应减少4场,因此第二轮的比赛应进行C28=4(场).

综上,两轮比赛共进行4C26+C28-4=84(场).

10.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲,分别按下

列要求,各有多少种不同选法?

(1)男、女同学各2名;

(2)男、女同学分别至少有1名; 解:(1)(C25C24)A4=1 440.

(3)在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出.

所以男、女同学各2名共有1 440种选法.

(2)(C15C34+C25C24+C35C14)A4=2 880,

所以男、女同学分别至少有1名共有2 880种选法.

(3)[120-(C23+C14C13+C24)]A4=2 376,

所以在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2 376 种选法.

B级 能力提升

1.从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛,不同的组合

方法种数为( )A.C25C26B.C25A26

C.C25A22C26A22D.A25A26

解析:分两步进行.第一步,选出两名男选手,有C25种方法;第二步,从 6名女生中选出2名且与已选好的男生配对,有A26种.故有C25A26种组合方法.

答案:B

2.某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参观展览,至少有一名女

生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为________.

解析:设男生人数为x,则女生有(6-x)人.依题意C36-C3x=16,则6×5×4=x(x-1)(x-2)+16×6,所以x(x-1)(x-2)=2×3×4,解得x

=4.即女生有2人.

答案:2

3.有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.

将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?

解:法一 依0与1两个特殊值分析,可分三类:

(1)取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有C14种方法;0可在后两位;有C12种方法;最后需从剩下的三张中任取一张,有C13种方法;又除含0的那张外,其他两张都有正面或反面两种可能,故此时可得不同的三位数有C14

C12C13·22个.

(2)取1不取0,同上分析可得不同的三位数C24·22·A3个.

(3)0和1都不取,有不同三位数C34·23·A3个.

综上所述,不同的三位数共有

C14C12C13·22+C24·22·A23+C34·23·A3=432(个). 法二 任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A3个,

其中0在百位的有C24·22·A2个,这是不合题意的,

故可组成的不同三位数共有C35·23·A3-C24·22·A2=432(个).

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