2020-2021学年广西南宁三中八年级(下)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广西南宁三中八年级（下）期末数学试卷

题号 得分 一 二

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1.

中，最简二次根式有( )

三 总分 A. 1个

2

B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 估计√(2√6+3√5)的值在下列哪两个整数之间( )

3

A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间

3. 已知△𝐴𝐵𝐶的三边长a、b、c满足√𝑎−1+|𝑏−1|+(𝑐−√2)2=0，则△𝐴𝐵𝐶一定

是( )三角形．

A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 一般

4. 四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平

行四边形的是( )

A. 𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶 C. 𝐴𝑂=𝐶𝑂，𝐵𝑂=𝐷𝑂

B. 𝐴𝐵=𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶 D. 𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶

5. 于一次函数𝑦=−2𝑥+8，若𝑥>0，则( )

A. 𝑦>4 B. 𝑦<4 C. 𝑦>8 D. 𝑦<8

6. 一组数据：3，4，5，x，8的众数是5，则这组数据的方差是( )

A. 2 B. 2.4 C. 2.8 D. 3

7. 如图，是某次射击比赛中，一位选手五次射击成绩的条形统计图，则关于这位选手

的成绩(单位：环)，下列说法错误的是( )

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A. 众数是8 B. 平均数是8 C. 中位数是8 D. 方差是1.04

8. 函数𝑦=𝑎𝑥+1与𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1(𝑎≠0)的图象可能是( )

A. B.

C.

D.

9. 第二届全国青年运动会(简称：二青会)将于2019年8月在山西太原开幕，甲、乙

两名自行车运动员正在积极备战．如图是教练员记录的甲、乙两选手在骑车时，在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( )

A. 乙前4秒行驶的路程为48米

B. 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒 C. 甲、乙到第3秒时行驶的路程相等 D. 在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度

10. 如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为

4cm，B是GF的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是( )

A. 5cm B. √29𝑐𝑚 C. (2√2+3)𝑐𝑚 D. (2+√13)𝑐𝑚

E是CD上的点，𝐶𝐸=1，11. 如图，在正方形ABCD中，若𝐵𝐸=3，

则正方形ABCD的对角线的长为( )

A. 8 B. 4√2

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C. 6 D. 4

12. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，

将△𝐴𝐷𝐸沿AE对折至△𝐴𝐹𝐸，延长交BC于点G，连接𝐴𝐺.则BG的长( )

A. 1 B. 2 C. √3 D. 3

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 𝑦=√𝑥−2+√2−𝑥−3，则𝑦𝑥=______．

14. 已知函数𝑦=−3𝑥+𝑏，当𝑥=−3时，𝑦=1，则𝑏=______． 𝐴𝐶=6𝑐𝑚，𝐵𝐷=8𝑐𝑚，15. 如图，在平行四边形ABCD中，

则AB的取值范围是______ ．

16. 如图，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏与直线𝑦=𝑚𝑥+𝑛分别与x

轴交于点(−1,0)、(3,0)，则不等式(𝑘𝑥+𝑏)(𝑚𝑥+𝑛)>0的解集为______

17. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=5，E是AB上一

点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则AE的长为______ ．

18. 如图，矩形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，

A点坐标为(0,2)，点D是线段OC上的一个动点，连结AD，以AD为边作矩形ADEF，使边EF过点B，连接OF，当点D与点C重合时，所作矩形ADEF的面积为6.在点D的运动过程中，当线段OF有最小值时，直线OF的解析式为______．

1

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三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）

19. (1)计算：|√3−1|−√12+(2020−𝜋)0+(2)−1；

(2)解方程：(𝑥−3)2+2𝑥−6=0．

20. 化简下列各式：

(1)𝑥3𝑦(−4𝑦)2+(−7𝑥𝑦)2⋅(−𝑥𝑦)−5𝑥𝑦3⋅(−3𝑥)2； (2)[𝑥(𝑥2𝑦2−𝑥𝑦)−𝑦(𝑥2−𝑥3𝑦)]÷3𝑥2．

𝑦=2𝑥+𝑏与直线𝐼2：𝑦=𝑘𝑥+7交于点𝐴(2,4)，21. 如图，在平面直角坐标系中，直线𝐼1：

直线𝐼1与x轴交于点C，与y轴交于点B，将直线𝐼1向下平移7个单位得到直线𝐼3，𝐼3与y轴交于点D，与𝐼2交于点E，连接AD．

1

1

(1)求交点E的坐标； (2)求△𝐴𝐷𝐸的面积．

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22. 学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了

条形统计图如下：

(1)求这30名学生参加活动次数的众数和平均数；

(2)这个学校有3600名学生，如果参加活动次数超过2次的学生人数达到2520人，则该校可获得“学雷锋示范学校”称号．该校能获得这一荣誉吗？请说明理由．

23. 如图，四边形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，点E在边AB上．

①当𝐷𝐸⊥𝐶𝐸，𝐷𝐸=𝐶𝐸时，求证：△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐶； ②当△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐶时，设𝐴𝐷=𝑎，𝐴𝐸=𝑏，𝐷𝐸=𝑐，请利用如图，证明勾股定理：𝑎2+𝑏2=𝑐2．

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24. 【背景资料】数学家高斯5岁时，便能熟练计算：1+2+3+⋯+100，他的方法

是：

原式=2(1+2+3+⋯+100+100+99…+2+1)=2(100+1)×100． 【问题解决】

(1)请你直接写出结果：1+2+3+⋯+(𝑛−1)+𝑛= ______ ；

(2)某公司从2012年9月初开始销售中档家用汽车，当月销售额为b万元，以后逐月增加k万元，至开业一周年之际，已累计销售732万元，至今年9月初已累计销售1752万元，今年9月以来，行情猛涨，每月销售额均比上月增长25%，这样，今年9、10两个月的销售额正好等于开业初n个月的累计销售额，求n的值．

25. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐷=2𝐴𝐵=8，点E是边AD的中点.连结EC，P、Q分

别是射线AD、EC上的动点，且𝐸𝑄=√2𝐴𝑃.连结BP，𝑃𝑄.过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F．

(1)当点P在线段AE上(不包含端点)时， ①求证：四边形BFQP是正方形．

②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长．

(2)如图2，连结PF，若点C在对角线PF上，求△𝐵𝐹𝐶的面积(直接写出答案)．

1

1

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26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数𝑦=4𝑥与一次函数𝑦=−𝑥+7的

图象交于点A，x轴上有一点𝑃(𝑎,0)． (1)求点A的坐标；

(2)若△𝑂𝐴𝑃为等腰三角形，则𝑎=______；

(3)过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧)、分别交𝑦=4𝑥和𝑦=−𝑥+7的图象于点B、C，连接𝑂𝐶.若𝐵𝐶=5𝑂𝐴，求△𝑂𝐵𝐶的面积．

7

3

3

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】本题主要考查最简二次根式的概念.判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．

=

，故是最简二次根式，√𝑎2+𝑏2符合最简二次根式的定义，√8𝑎=

，

，被开方数含有开得尽方的因数，不符合最简二次根式的定义，故不是最

简二次根式，被开方数含有分母，不符合最简二次根式的定义，故不是最简二次根

式，所以最简二次根式有2个． 故选：B．

2.【答案】D

【解析】解：√(2√6+3√5)=√(2√6+3√5)=33∵5<√30<6，

∴5+4<4+√30<6+4， 即9<4+√10<10，

∴√(2√6+3√5)在9和10之间．

3故选：D．

先根据实数的混合运算化简可得4+√30，再估算√30的值即可解答． 本题考查了估算无理数大小的知识，注意夹逼法的运用是解题关键．

2

2

62×63

+√6×√5=4+√30，

3.【答案】C

【解析】 【分析】

本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．

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首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形． 【解答】

解：∵√𝑎−1+|𝑏−1|+(𝑐−√2)2=0， ∴𝑎=1，𝑏=1，𝑐=√2，

∵𝑎2+𝑏2=1+1=2，𝑐2=(√2)2=2， ∴𝑎2+𝑏2=𝑐2， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形， 故选：C．

4.【答案】D

【解析】 【分析】

本题考查了平行四边形的判定.根据平行四边形的判定定理进行判断即可得到结论． 【解答】

解：𝐴.由“𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；

B.由“𝐴𝐵=𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故B选项不符合题意；

C.由“𝐴𝑂=𝐶𝑂，𝐵𝑂=𝐷𝑂”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故C选项不符合题意；

D.由“𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故D选项符合题意， 故选D．

5.【答案】D

【解析】解：一次函数𝑦=−2𝑥+8中当𝑥=0时𝑦=8， ∵比例系数𝑘=−2<0， ∴𝑦随着x的增大而减小，

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∴当𝑥>0时，𝑦<8， 故选：D．

根据一次函数的增减性结合其与y轴的交点坐标确定答案即可．

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是确定其增减性及与y轴的交点坐标，难度不大．

6.【答案】C

【解析】解：∵一组数据3，4，5，x，8的众数是5， ∴𝑥=5，

∴这组数据的平均数为5×(3+4+5+5+8)=5，

则这组数据的方差为5×[(3−5)2+(4−5)2+2×(5−5)2+(8−5)2]=2.8． 故选：C．

根据数据的众数确定出x的值，进而求出方差即可．

此题考查了方差，众数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

11

7.【答案】B

【解析】解：由题意可得， 这位选手的平均成绩是：

7×1+8×2+9×1+10×1

5

=8.4(环)，故选项B错误，

众数是8，故选项A正确， 中位数是8，故选项C正确， 方差是：

(7−8.4)2+(8−8.4)2×2+(9−8.4)2+(10−8.4)2

5

=1.04，故选项D正确；

故选：B．

根据题意和条形统计图中的数据，可以计算出各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．

本题考查条形统计图、加权平均数、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】C

【解析】试题分析：根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于(0,1)，逐一排除； 当𝑎>0时，函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1(𝑎≠0)的图象开口向上，函数𝑦=𝑎𝑥+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；

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当𝑎<0时，函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1(𝑎≠0)的图象开口向下，函数𝑦=𝑎𝑥+1的图象应在一二四象限，故可排除B；

当𝑥=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于(0,1)，可排除A． 正确的只有C． 故选C．

9.【答案】C

【解析】解：A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4=48米，故A正确；

B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加8=4米/秒，故B正确；

C、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得𝑣=4𝑡(𝑣、t分别表示速度、时间)，将𝑣=12𝑚/𝑠代入𝑣=4𝑡得𝑡=3𝑠，则𝑡=3𝑠前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C错误；

D、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D正确；

由于该题选择错误的， 故选：C．

前4s内，乙的速度−时间图象是一条平行于x轴的直线，即速度不变，速度×时间=路程．

甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加；

求出两图象的交点坐标，3秒时两速度大小相等，3s前甲的图象在乙的下方，所以3秒前路程不相等；

图象在上方的，说明速度大．

本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

32

10.【答案】A

【解析】解：将长方体展开，连接DB，

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根据题意可得，𝐻𝐵=2+2=4，𝐷𝐻=3，

由勾股定理得：𝐷𝐵=√𝐷𝐻2+𝐻𝐵2=√32+42=5， 则它需要爬行的最短距离是5cm； 故选：A．

求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

本题考查了平面展开−最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

11.【答案】D

【解析】 【分析】

本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理的有关知识，连接BD，利用勾股定理求出BC，再根据𝐵𝐷=√2𝐵𝐶进行求解即可． 【解答】

解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠𝐶=90°， ∵𝐵𝐸=3，𝐶𝐸=1， ∴𝐵𝐶=√𝐵𝐸2−𝐶𝐸2=2√2， ∴𝐵𝐷=√2𝐵𝐶=√2×2√2=4． 故选D．

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12.【答案】B

【解析】 【分析】

本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，此类题目，要注意翻折变换前后的对应角和对应边分别相等，本题关键在于最后利用勾股定理列出方程．

𝐴𝐹=𝐴𝐷，根据线段中点的定义求出𝐷𝐸=𝐸𝐶=3，再根据翻折变换的性质可得𝐸𝐹=𝐷𝐸，然后利用“HL”证明𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐺和𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺全等，根据全等三角形对应边相等可得𝐵𝐺=𝐹𝐺，设𝐵𝐺=𝑥，然后表示出CG、EG，再利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】

解：∵𝐸是边CD的中点，正方形ABCD的边长为6， ∴𝐷𝐸=𝐸𝐶=3，

∵△𝐴𝐷𝐸沿AE对折至△𝐴𝐹𝐸， ∴𝐸𝐹=𝐷𝐸=3，𝐴𝐹=𝐴𝐷=6， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐹=6，

𝐴𝐺=𝐴𝐺

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐺和𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺中，{，

𝐴𝐵=𝐴𝐹∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐺≌𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐺(𝐻𝐿)， ∴𝐵𝐺=𝐹𝐺，

设𝐵𝐺=𝑥，则𝐶𝐺=6−𝑥，𝐸𝐺=3+𝑥，

在𝑅𝑡△𝐶𝐺𝐸中，由勾股定理得，𝐶𝐺2+𝐸𝐶2=𝐸𝐺2， 即(6−𝑥)2+32=(3+𝑥)2， 解得𝑥=2， 即𝐵𝐺=2． 故选B．

13.【答案】9

𝑥−2≥0

【解析】解：依题意有{，

2−𝑥≥0解得𝑥=2， 所以𝑦=−3，

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故𝑦𝑥=9． 故答案为9．

由于中𝑥−2与2−𝑥互为相反数，根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式组求x，再求y，然后求𝑥𝑦． 本题主要考查了二次根式的概念．

二次根式的概念：式子√𝑎(𝑎≥0)叫二次根式．

二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

14.【答案】−2

【解析】解：把𝑥=−3，𝑦=1代入𝑦=−3𝑥+𝑏， 可得：1=−3×(−3)+𝑏， 解得：𝑏=−2， 故答案为：−2

根据待定系数法得出函数解析式即可．

本题考查了待定系数法求一次函数，代入解析式确定出b的值，是解答本题的关键．

1

1

15.【答案】1𝑐𝑚<𝐴𝐵<7𝑐𝑚

【解析】解：如图，∵在平行四边形ABCD中，𝐴𝐶=6𝑐𝑚，𝐵𝐷=8𝑐𝑚， ∴𝑂𝐴=2𝐴𝐶=3𝑐𝑚，𝑂𝐵=2𝐵𝐷=4𝑐𝑚，

∴在△𝐴𝑂𝐵中，𝑂𝐵−𝑂𝐴<𝐴𝐵<𝑂𝐴+𝑂𝐵，即1𝑐𝑚<𝐴𝐵<7𝑐𝑚． 故答案是：1𝑐𝑚<𝐴𝐵<7𝑐𝑚．

𝑂𝐵=4𝑐𝑚.然后根据△𝐴𝑂𝐵由“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知𝑂𝐴=3𝑐𝑚，的三边关系来求AB边的取值范围．

本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系． 平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分．

1

1

16.【答案】−1<𝑥<3

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【解析】解：∵直线𝑦1=𝑘𝑥+𝑏与直线𝑦2=𝑚𝑥+𝑛分别交x轴于点𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)， ∴不等式(𝑘𝑥+𝑏)(𝑚𝑥+𝑛)>0的解集为−1<𝑥<3， 故答案为：−1<𝑥<3

看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．

本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．

17.【答案】2

【解析】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=𝐵𝐶=5．

由翻折的性质可知：𝐹𝐶=𝐵𝐶=5，𝐸𝐹=𝐵𝐸， 在𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐶中，𝐷𝐹=√𝐶𝐹2−𝐶𝐷2=√52−42=3． ∴𝐴𝐹=𝐴𝐷−𝐷𝐹=5−3=2， ∵𝐴𝐸2+𝐴𝐹2=𝐸𝐹2， ∴𝐴𝐸2+4=(4−𝐴𝐸)2，

3

∴𝐴𝐸=

2

故答案为：2．

由翻折的性质可得到𝐹𝐶=5，然后在△𝐹𝐷𝐶中，依据勾股定理可求得DF的长，可得𝐴𝐹=2，由勾股定理可求AE的长．

本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理，求得AF的长是解题的关键．

3

3

18.【答案】𝑦=

116

𝑥

【解析】解：当点D与点C重合时，如图1， ∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑆矩形𝐴𝑂𝐶𝐵=3， ∴𝑆矩形𝐴𝑂𝐶𝐵=6，

1

∵𝐴点坐标为(0,2)， ∴𝑂𝐴=2， ∴2𝑂𝐶=6，

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∴𝑂𝐶=3，

如图2，过F作𝐹𝐺⊥𝑦轴于G

∵∠𝐹𝐴𝐷=90°

易得△𝐹𝐺𝐴∽△𝐴𝑂𝐷

∴

设|𝐹𝐺|=2𝑎，|𝐴𝐺|=3𝑎

由勾股定理得：𝑂𝐹=√𝑂𝐺2+𝐹𝐺2=√(2+3𝑎)2+(2𝑎)2=√13𝑎2+12𝑎+4 令𝑡=13𝑎2+12𝑎+4，

∴𝑡=13𝑎2+12𝑎+4=13(𝑎+13)2+4， ∴当𝑎=−13时，t有最小值． ∴|𝐹𝐺|=|2×(−)|=

13126

12

6

6

𝐹𝐺𝑂𝐴2

== 𝐴𝐺𝑂𝐶3，|𝐴𝐺|=|3×(−13)|=13 13

18

44

618

点F的横坐标为：13，纵坐标为13+2=13 设OF解析式为𝑦=𝑘𝑥 求得𝑘=

11

，故函数的解析式为𝑦=3

113

113

𝑥．

故答案为：𝑦=

𝑥

先根据点D与点C重合时求出矩形的长和宽，再根据相似三角形求出OF的最小值，再求出F的横纵坐标，最后得出一次函数的表达式．

此题稍有难度，关键是找到辅助线找到相似三角形，考查了用待定系数法求函数解析式．

19.【答案】解：(1)原式=√3−1−2√3+1+2

=2−√3；

(2)原方程化为：(𝑥−3)2+2(𝑥−3)=0， ∴(𝑥−3)(𝑥−3+2)=0， ∴𝑥=3或𝑥=1．

【解析】(1)根据实数的运算法则即可求出答案． (2)根据因式分解法即可求出答案．

本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用实数的运算法则以及方程的解法，本题属于基础题型．

20.【答案】解：(1)𝑥3𝑦(−4𝑦)2+(−7𝑥𝑦)2⋅(−𝑥𝑦)−5𝑥𝑦3⋅(−3𝑥)2

=16𝑥3𝑦3−49𝑥3𝑦3−5𝑥𝑦3×9𝑥2

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=−78𝑥3𝑦3；

(2)[𝑥(𝑥2𝑦2−𝑥𝑦)−𝑦(𝑥2−𝑥3𝑦)]÷3𝑥2 =(𝑥3𝑦2−𝑥2𝑦−𝑥2𝑦+𝑥3𝑦2)÷3𝑥2 =(2𝑥3𝑦2−2𝑥2𝑦)

22=𝑥𝑦2−𝑦. 33

【解析】(1)首先利用单项式乘以单项式运算法则化简，进而合并同类项得出即可； (2)首先利用单项式乘以多项式运算法则化简，进而利用多项式除法运算法则得出即可． 此题主要考查了整式的混合运算，正确把握运算法则是解题关键．

21.【答案】解：(1)∵直线𝐼1：𝑦=2𝑥+𝑏与直线𝐼2：𝑦=𝑘𝑥+7交于点𝐴(2,4)，

∴4=2×2+𝑏，4=2𝑘+7， ∴𝑏=3，𝑘=−2，

∴直线𝐼1的解析式为𝑦=2𝑥+3，直线𝐼2的解析式为𝑦=−2𝑥+7， ∴直线𝐼1与y轴交点B的坐标为(0,3)，

∵将直线𝐼1向下平移7个单位得到直线𝐼3，𝐼3与y轴交于点D， ∴𝐷(0,−4)，直线𝐼3的解析式为𝑦=2𝑥−4． 𝑥=2𝑦=−2𝑥+7

{由{，解得15，

𝑦=2𝑥−4𝑦=−4∴交点E的坐标为(2,−4)；

(2)∵𝐼1//𝐼3，

∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐵𝐷𝐸=2×7×

1

112

11

5

3

11

1

1

3

3

1

1

=

774

．

【解析】【试题解析】

𝑦=2𝑥+𝑏与直线𝐼2：𝑘=−2，(1)将点𝐴(2,4)分别代入直线𝐼1：𝑦=𝑘𝑥+7，求出𝑏=3，那么直线𝐼1的解析式为𝑦=2𝑥+3，直线𝐼2的解析式为𝑦=−2𝑥+7，点B的坐标为(0,3)，根据平移规律得出𝐷(0,−4)，直线𝐼3的解析式为𝑦=2𝑥−4.联立𝐼3与𝐼2的解析式得到方程

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1

1

3

1

3

𝑦=−2𝑥+7组{，解方程组求出交点E的坐标； 1

𝑦=𝑥−4

2

3

(2)由𝐼1//𝐼3，可得𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐵𝐷𝐸，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，两直线交点坐标的求法，三角形的面积．都是基础知识，需牢固掌握．

22.【答案】解：(1)参加“学雷锋社会实践”活动的次数最多的是3次或4次，因此众

数是3或4，

平均数为：(1×3+2×5+3×11+4×11)÷30=3次

答：这30名学生参加活动次数的众数为3或4次，平均数为3次； (2)3600×

11+1130

=20人，20>2520，因此能获得这一荣誉，

答：能获得这一荣誉．

【解析】(1)参加“学雷锋社会实践活动”的次数出现最多的数，为众数，求出30人的平均参加实践活动的次数，

(2)样本估计总体，样本中参加活动次数超过2次的学生人数占调查人数的30，因此估计总体中，参加活动次数超过2次的学生人数也占30，再求出3600人中参加活动次数超过2次的学生人数，与2520人比较得出答案．

考查条形统计图的意义及制作方法，众数、平均数的意义以及样本估计总体的统计方法，掌握众数、平均数的意义是解决问题的前提．

22

22

23.【答案】解：

①证明：

∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐷， ∴∠𝐴=∠𝐵=90°， ∴∠𝐵𝐶𝐸+∠𝐵𝐸𝐶=90°， ∵𝐷𝐸⊥𝐶𝐸，

∴∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐵𝐸𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐶𝐸， 在△𝐴𝐷𝐸和△𝐵𝐸𝐶中

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∠𝐴=∠𝐵

{∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵𝐸𝐶 𝐷𝐸=𝐸𝐶

∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐶(𝐴𝐴𝑆)； ②当△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐶时， 则有∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐶， ∵∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐴𝐷𝐸=90°， ∴∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐵𝐸𝐶=90°， ∴∠𝐷𝐸𝐶=90°，且𝐷𝐸=𝐶𝐸，

∴𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷=2(𝐴𝐷+𝐵𝐶)𝐴𝐵=2(𝑎+𝑏)2，𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐵𝐸𝐶=𝑎𝑏，𝑆△𝐷𝐸𝐶=𝑐2，

2

2

1

1

1

1

∵𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐷𝐸+𝑆△𝐵𝐸𝐶+𝑆△𝐷𝐸𝐶， ∴2(𝑎+𝑏)=𝑎𝑏+2， 整理可得𝑎2+𝑏2=𝑐2．

1

2

12

(1)由平行线的性质可得∠𝐴=∠𝐵=90°，【解析】由条件可得∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐶𝐸，利用AAS可证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐸𝐶；

(2)由全等三角形的性质可证明𝐷𝐸⊥𝐸𝐶，且𝐷𝐸=𝐸𝐶，可利用𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐷𝐸+𝑆△𝐵𝐸𝐶+𝑆△𝐷𝐸𝐶，可得到关于a、b、c的等式，整理可得𝑎2+𝑏2=𝑐2．

本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

24.【答案】

𝑛(𝑛+1)2

【解析】解：(1)1+2+3+⋯+(𝑛−1)+𝑛=

𝑛(𝑛+1)2

；

(2)设月销售额𝑦(万元)与月数x之间的函数关系式为𝑦=𝑘(𝑥+1)+𝑏，依题意有 𝑘+2𝑘+⋯+11𝑘+12𝑘=732

{， 𝑘+2𝑘+⋯+23𝑘+24𝑘=175266𝑘+12𝑏=732即{， 12×23𝑘+24𝑏=1752𝑘=2解得{．

𝑏=50

则𝑦=2(𝑥−1)+50=2𝑥+48，

至今年9月初，即𝑥=24时，𝑦=96(万元)，

故今年9，10月共销售：96×(1+25%)+96×(1+25%)2=270(万元)，

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开业初几个月的累计销售额为50𝑛+则𝑛2+49𝑛−270=0， 解得𝑛1=5，𝑛2=−(舍去)． 故n的值为5． 故答案为：

𝑛(𝑛+1)2

𝑛(𝑛−2)2

×2=𝑛2+49𝑛，

．

(1)根据高斯求和公式即可求解；

(2)根据待定系数法得到月销售额𝑦(万元)与月数x之间的函数关系式，根据今年9、10两个月的销售额正好等于开业初n个月的累计销售额，列出方程求解即可．

考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

25.【答案】(1)①证明：∵𝑃𝑄//𝐵𝐹，𝐵𝑃//𝑃𝑄，

∴四边形PBFQ是平行四边形，

过点Q作𝑄𝐻⊥𝐴𝐷于H，如图1−1所示： 设𝐴𝑃=𝑥，则𝐸𝑄=√2𝐴𝑃=√2𝑥，

𝐴𝐷=𝐵𝐶=2𝐴𝐵=2𝐶𝐷=8，∠𝐴=在矩形ABCD中，∠𝐴𝐷𝐶=90°， ∵点E是AD的中点， ∴𝐸𝐷=𝐴𝐷=𝐶𝐷=4，

21

∴∠𝐷𝐸𝐶=45°， ∵∠𝐸𝐻𝑄=90°，

∴△𝐸𝐻𝑄是等腰直角三角形， ∴𝐸𝐻=𝐻𝑄=𝐴𝑃=𝑥， ∵𝑃𝐸=𝐴𝐸−𝐴𝑃=4−𝑥，

∴𝑃𝐻=𝑃𝐸+𝐸𝐻═𝑃𝐸+𝐴𝑃=𝐴𝐸=4， ∴𝐴𝐵=𝑃𝐻，

𝐴𝐵=𝑃𝐻

在△𝐴𝐵𝑃和△𝐻𝑃𝑄中，{∠𝐵𝐴𝑃=∠𝑃𝐻𝑄=90°，

𝐴𝑃=𝐻𝑄∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐻𝑃𝑄(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐻𝑃𝑄，𝐵𝑃=𝑄𝑃，

∴∠𝐴𝐵𝑃+∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐻𝑃𝑄+∠𝐴𝑃𝐵=90°， ∴∠𝐵𝑃𝑄=90°，

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∴平行四边形PBFQ是矩形， ∵𝐵𝑃=𝑄𝑃，

∴矩形PBFQ是正方形；

②解：过点F、Q作BC的垂线段，垂足分别为点M、N，如图1−2所示： 则四边形ABNH是矩形， ∴𝐻𝑁=𝐴𝐵=4， ∵四边形BFQP是正方形， ∴𝑆△𝐵𝑃𝐾=2𝑆正方形𝐵𝐹𝑄𝑃，

∵𝐵𝐶将四边形BFQP的面积分为1：3两部分， ∴𝑆△𝐵𝐹𝐾=𝑆正方形𝐵𝐹𝑄𝑃，

411

∴𝑆△𝑃𝑄𝐾=𝑆正方形𝐵𝐹𝑄𝑃，

4

1

∴𝐹𝐾=𝑄𝐾，

∠𝐹𝑀𝐾=∠𝑄𝑁𝐾=90°

在△𝐾𝑀𝐹和△𝐾𝑁𝑄中，{∠𝑀𝐾𝐹=∠𝑁𝐾𝑄，

𝐹𝐾=𝑄𝐾∴△𝐾𝑀𝐹≌△𝐾𝑁𝑄(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑀𝐹=𝑄𝑁，

∵四边形BFPQ是正方形，

∴𝐵𝑃=𝐵𝐹，∠𝑃𝐵𝐹=∠𝐵𝐹𝐾=90°， ∵∠𝐴𝐵𝑃+∠𝑃𝐵𝐾=∠𝐹𝐵𝑀+∠𝑃𝐵𝐾=90°， ∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐹𝐵𝑀，

∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐹𝐵𝑀

在△𝐵𝐴𝑃和△𝐵𝑀𝐹中，{∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐵𝑀𝐹=90°，

𝐵𝑃=𝐵𝐹∴△𝐵𝐴𝑃≌△𝐵𝑀𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑀𝐹=𝐴𝑃=𝑄𝑁=𝑥， ∴𝐻𝑁=𝐻𝑄+𝑄𝑁=2𝑥=4， 解得：𝑥=2， ∴𝐴𝑃=2；

(2)解：过点F作𝐹𝐾⊥𝐵𝐶于K，过点Q作𝑄𝐻⊥𝐴𝑃于H，如图2所示： ∵四边形PBFQ是正方形，

∴∠𝐵𝑃𝑄=∠𝑃𝐵𝐹=90°，𝐵𝑃=𝑃𝑄=𝐹𝐵，

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∴∠𝐴𝑃𝐵+∠𝐻𝑃𝑄=90°， ∵∠𝐴𝑃𝐵+∠𝐴𝐵𝑃=90°， ∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐻𝑃𝑄，

∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐻𝑃𝑄

在△𝐴𝐵𝑃和△𝑃𝐻𝑄中，{∠𝐵𝐴𝑃=∠𝑃𝐻𝑄=90°，

𝐵𝑃=𝑃𝑄∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝑃𝐻𝑄(𝐴𝐴𝑆)，

∵∠𝐴𝐵𝑃+∠𝐶𝐵𝑃=∠𝐾𝐵𝐹+∠𝐶𝐵𝑃=90°， ∴∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐾𝐵𝐹，

∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐾𝐵𝐹

在△𝐴𝐵𝑃和△𝐾𝐵𝐹中，{∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐵𝐾𝐹=90°，

𝐵𝑃=𝐹𝐵∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐾𝐵𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐾𝐵𝐹≌△𝑃𝐻𝑄， ∴𝐴𝐵=𝑃𝐻=4，𝐻𝑄=𝐾𝐹，

设𝐷𝑃=𝑥，则𝐸𝐻=𝐸𝐷+𝑃𝐻+𝐷𝑃=8+𝑥， ∵𝐷𝐸=𝐶𝐷，∠𝐸𝐷𝐶=90°， ∴△𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形， ∴𝐶𝐸=√2𝐶𝐷=4√2， ∵四边形BFQP是正方形， ∴由轴对称可得：𝐵𝐶=𝐶𝑄=8， ∴𝐸𝑄=𝐸𝐶+𝐶𝑄=4√2+8， ∵∠𝐸𝐻𝑄=90°，∠𝐷𝐸𝐶=45°， ∴△𝐸𝐻𝑄是等腰直角三角形， ∴𝐸𝑄=√2𝐸𝐻， ∴4√2+8=√2(8+𝑥)， 解得：𝑥=4√2−4，

∴𝐾𝐹=𝐻𝑄=𝐸𝐻=8+𝑥=4√2+4，

∴𝑆△𝐵𝐹𝐶=2𝐵𝐶⋅𝐾𝐹=2×8×(4√2+4)=16√2+16．

1

1

【解析】(1)①易证四边形PBFQ是平行四边形，过点Q作𝑄𝐻⊥𝐴𝐷于H，设𝐴𝑃=𝑥，则𝐸𝑄=√2𝐴𝑃=√2𝑥，证△𝐸𝐻𝑄是等腰直角三角形，得𝐸𝐻=𝐻𝑄=𝐴𝑃=𝑥，由SAS证△𝐴𝐵𝑃≌△𝐻𝑃𝑄，得∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐻𝑃𝑄，𝐵𝑃=𝑄𝑃，推出∠𝐵𝑃𝑄=90°，即可得出结论； ②过点F、Q作BC的垂线段，垂足分别为点M、N，则四边形ABNH是矩形，得𝐻𝑁=

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𝐴𝐵=4，由面积证得𝐹𝐾=𝑄𝐾，由AAS证得△𝐾𝑀𝐹≌△𝐾𝑁𝑄，得𝑀𝐹=𝑄𝑁，由AAS证得△𝐵𝑀𝐹≌△𝐵𝐴𝑃，得𝑀𝐹=𝐴𝑃=𝑄𝑁=𝑥，则𝐻𝑁=𝐻𝑄+𝑄𝑁=2𝑥=4，解得𝑥=2，即可得出结果；

(2)过点F作𝐹𝐾⊥𝐵𝐶于K，过点Q作𝑄𝐻⊥𝐴𝑃于H，易证△𝐵𝐾𝐹≌△𝐵𝐴𝑃≌△𝑄𝐻𝑃，得出𝐴𝐵=𝑃𝐻=4，𝐻𝑄=𝐾𝐹，设𝐷𝑃=𝑥，则𝐸𝐻=𝐸𝐷+𝑃𝐻+𝐷𝑃=8+𝑥，证△𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形，得𝐶𝐸=√2𝐶𝐷=4√2，由轴对称可得𝐵𝐶=𝐶𝑄=8，则𝐸𝑄=𝐸𝐶+证△𝐸𝐻𝑄是等腰直角三角形，得𝐸𝑄=√2𝐸𝐻，则4√2+8=√2(8+𝑥)，𝐶𝑄=4√2+8，

解得𝑥=4√2−4，求出𝐾𝐹=𝐻𝑄=𝐸𝐻=8+𝑥=4√2+4，由𝑆△𝐵𝐹𝐶=2𝐵𝐶⋅𝐾𝐹，即可得出结果．

本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．

1

26.【答案】±5或8或8

【解析】解：(1)联立𝑦=4𝑥与一次函数𝑦=−𝑥+7并解得：𝑥=4， 故点𝐴(4,3)；

(2)点𝐴(4,3)，则𝑂𝐴=5， ①当𝑂𝐴=𝑃𝑂时， 𝑂𝐴=5=𝑃𝑂，即𝑎=±5 ②当𝑂𝐴=𝐴𝑃时， 则点𝑃(8,0)，即𝑎=8；

③当𝐴𝑃=𝑂𝑃时，如图所示，连接AP，过点A作𝐴𝐻⊥𝑥轴于点H，

3

27

𝐴𝑃=𝑃𝑂=𝑎，则𝑃𝐻=4−𝑎，则(4−𝑎)2+9=𝑎2，

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解得：𝑎=

278

；

27

综上，𝑎=±5或8或8； 故答案为：±5或8或8；

(3)∵𝑃(𝑎,0)，则点B、C的坐标分别为：(𝑎,4𝑎)、(𝑎,−𝑎+7)， ∴𝐵𝐶=𝑎+𝑎−7=×5=7，解得：𝑎=8，故点𝑃(8,0)，即𝑂𝑃=8；

4

5

3

7

3

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△𝑂𝐵𝐶的面积=2×𝐵𝐶×𝑂𝑃=2×7×8=28． (1)联立𝑦=4𝑥与一次函数𝑦=−𝑥+7，即可求解；

(2)分𝑂𝐴=𝑃𝑂、𝑂𝐴=𝐴𝑃、𝐴𝑃=𝑂𝑃适中情况，分别求解即可；

C的坐标分别为：(𝑎,4𝑎)、𝐵𝐶=4𝑎+𝑎−7=5×5=7，(3)𝑃(𝑎,0)，(𝑎,−𝑎+7)，则点B、解得：𝑎=8，故点𝑃(8,0)，即𝑂𝑃=8，即可求解．

本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．

3

3

7

3

11

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