2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组B卷).doc

邀请赛决赛试卷（小高组B卷）

2016 年第二十一届 华罗庚金杯 少年数学邀请赛 决赛试卷（小高组 B 卷） 一、填空题（每题 10 分，共 80 分） 1．（10 分）计算：（ ﹣ ） ﹣2.4= ． 2．（10 分）如图，有 30 个棱长为 1 米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？ 3．（10 分）有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草； 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完．那么草场上每天长出来的草够 头牛吃一天． 4．（10 分）如图所示，将一个三角形纸片 ABC 折叠，使得点 C 落在三角形 ABC所在平面上，折痕为 DE．已知ABE=74，DAB=70，CEB=20，那么 CDA等于 ． 5．（10 分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟．如果在出发后第 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是 分钟． 6． （10 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 5，E，F 为正方形外两点，满足 AE=CF=4，BE=DF=3，那么 EF 2 = ． 7．（10 分）如果 23 8 能表示成 k 个连续正整数的和，则 k 的最大值为 ． 8．（10 分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，，中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B= ． 二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分） 9．（10 分）计算：（ + ++ ）+（ + ++ ）+（ + ++ ）++（ + ）+ ． 10．（10 分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每 100 元可得一张价值50 元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用； 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过 1550 元的现金，她能买到价值 2300 元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案； 如果不能，说明理由． 11．（10 分）如图，等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEF 之 间的面积为20，BD=2，EC=4，求三角形 ABC 的面积． 12．（10 分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是 11 的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被 11 整除的数． 三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13．（15 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 CD 边的中点，E，F 是 BC边上的两点，且 BE═EF=FC．连接 AE，DF 分别交 BM 分别于 H，G．求四边形EFGH 的面积． 14．（15 分）现有如图左边所示的四连方纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的 55 方格网上，放四连方，四连方可以翻转，四连方的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个四连方不能有重

叠部分．那么最少放几个四连方就不能再放了？

2016 年第二十一届 华罗庚金杯 少年数学邀请赛 决赛试卷（小高组 B 卷） 参

与试题解析 一、填空题（每题 10 分，共 80 分） 1．（10 分）计算：（ ﹣ ） ﹣2.4= 4.1 ． 【分析】先从括号里算起，先化简，将原式进行巧算，最后求得原式结果． 【解答】解：根据分析，原式=（ ﹣ ） ﹣2.4 =（ ） ﹣2.4 =（ ）11 =（ ） ﹣2.4 = ﹣2.4 = ﹣2.4 = = ﹣2.4 = ﹣2.4 = ﹣2.4 =6.5﹣2.4 =4.1 故答案是：4.1． 【点评】本题考查了分数的巧算，突破点是：利用分数的巧算，将分数化简，最

后求得结果． 2．（10 分）如图，有 30 个棱长为 1 米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？ 【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16 个面；从下面看有 16 个面；从前面看有 10 个面；从后面看有 10 个面；从左面看有 10 个面；从右面看有 10 个面．由此即可解决问题． 【解答】解：图中几何体露出的面有：104+162=72（个） 所以这个几何体的表面积是：1172=72（平方米） 答：这个立体图形的表面积等于 72 平方米． 【点评】此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；应抓住这个几何体的表面积是露出的小正方体的面的面积之和是解决此类问题的关键． 3．（10 分）有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草； 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够 5 头牛吃一天． 【分析】转换思想，将 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完转换成 13 头牛吃 5 天即可解决问题． 【解答】解：依题意可知： 108﹣（15+14+13+12+11）=15（份）． 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完可以转换成 13 头牛吃 5天． 15（8﹣5）=5（份）

故答案为：5 【点评】本题考查对牛吃草问题的理解和运用，关键问题是找到转换过程，问题解决． 4．（10 分）如图所示，将一个三角形纸片 ABC 折叠，使得点 C 落在三角形 ABC所在平面上，折痕为 DE．已知ABE=74，DAB=70，CEB=20，那么 CDA等于 92 ． 【分析】在折叠前，可利用三角形内角和，求得C 的度数，折叠后，利用三角形外角和以及四边形的内角和求得CDA． 【解答】解：根据分析，折叠前，由三角形内角和，C=180﹣74﹣70=36，折叠后， EOD=C+CEO=36+20=56； BOD=180﹣DOE=180﹣56=124， CDA=360﹣ABE﹣BAE﹣BOD=360﹣70﹣74﹣124=92． 故答案是：92． 【点评】本题考查了剪切和拼接，突破点是：利用折叠前三角形内角和，求得C 的度数，折叠后，利用三角形外角和以及四边形的内角和求得CDA 5．（10 分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟．如果在出发后第 45 分钟甲、乙二人相遇，

那么乙走一圈的时间是 126 分钟． 【分析】甲剩下的路程就是乙已走的路程，那么甲走 25 分钟路程与乙走 45 分钟的路程相同，两者的速度与时间成反比例；行完全程时，再根据速度比，求出乙行完全程的时间． 【解答】解：70﹣45=25（分钟）， 甲走 25 分钟路程与乙走 45 分钟的路程相同， 那么甲的速度：乙的速度=45：25， 行完全程两者所用的时间比就是：25：45； 乙走一圈用的时间是：7025=126（分）． 答：乙走一圈的时间是 126 分钟． 故答案为：126． 【点评】本题的关键是根据两者的行走的路程相同，找出速度的比和时间的比，再根据甲的时间和时间的比求解． 6． （10 分）如图，

正方形 ABCD 的边长为 5，E，F 为正方形外两点，满足 AE=CF=4，BE=DF=3，那么 EF 2 = 98 ． 【分析】可以将 EA、FD、FC、EB 分别延长这样就把图形扩展成一个大的正方形，再利用勾股定理，不难求得 EF 2 ． 【解答】解：根据分析，如图：将 EA、FD、FC、EB 分别延长，这样就把图形扩展成一个大的正方形，

∵AE=CF=4，BE=DF=3， CM=OA=DF=EB=3，BM=OD=CF=AE=4 又∵DF 2 +CF 2 =CD 2 ，AE 2 +EB 2 =AB 2 ， OA 2 +OD 2 =AD 2 ，CM 2 +BM 2 =BC 2

AEB=DFC=AOD=BMC=90， EO=FO=3+4=7 EF 2 =OE 2 +OF 2 =7 2 +7 2 =98 故答案是：98 【点评】本题考查了勾股定理，突破点是：利用正方形的边长和勾股定理，求得EF 2 7．（10 分）如果 23 8 能表示成 k 个连续正整数的和，则 k 的最大值为 108 ． 【分析】首先可将 k 个连续的正整数设出来，求其和，抓住 k 取最大进行求解． 【解答】解：设 k 的连续整数分别是 n+1，n+2，n+3，，n+k， 则和= = ，由于 k 最大，则 n 最小， 且 k＜2n+k+1， =23 8 ，即 k（2n+k+1）=2 2 3 8 =（2 2 3 4 ）3 4 =3 5 （2 2 3 3 ）， 因此 k 的最大值为 3 4 =108． 故答案为：108． 【点评】本题的突破口在于能根据题目要求正确地将和的式子进行分解． 8．（10 分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，，中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B= ． 【分析】可以根据已知，先根据表格中的数字规律求得□，○是哪个运算符号，然后再算 A○B 的结果． 【解答】解：根据分析，由表格中的数字可得： □ ○1=13；2□2○1=5， □ ○1=13； 由 2□2○1=5，可知 2+2+1=5，22+1=5，若 2+2+1=5， 则 + +1=13 不成立，故排除，所以 22+1=5； 综上，□为，○为+，由表可知，A=2□ ○1=2 +1= ； B= □2○1= = ， A○B=A+B= + = ． 故答案是： ． 【点评】本题考查了定义新运算，本题突破点是：根据表格中的数字规律，求得□和○的符号，再求 A○B． 二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分） 9．（10 分）计算：（ + ++ ）+（ + ++ ）+（ + ++ ）++（ + ）+ ． 【分析】先根据算式找规律，把同分母的分数合成一组，然后根据高斯求和公式

解答即可． 【解答】解：（ + ++ ）+（ + ++ ）+（ + ++ ）++（+ ）+ = +（ + ）+（ + + ）++（ + ++ ）+（ + ++ ） = +1+ ++ + = + + ++ + = =1015560 【点评】本题考查了分数的巧算，关键是把分数分组，难点是利用高斯求和公式求出分子． 10．（10 分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每 100 元可得一张价值50 元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用； 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过 1550 元的现金，她能买到价值 2300 元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案； 如果不能，说明理由． 【分析】此题首先看一下 1550 最多能得多少代金券，即 15002=750，而

2300=1550+750 刚好不多不少，也就是说，1550 现金必须和所有能得到的 750代金券全部消费掉才能买到价值 2300 的商品．怎样才能把代金券和现金一起消费掉？我们从最后一次消费考虑就不难得出结论了．经过分析，如果最后一次消费是 100 或 150 以上均无法买到价值 2300 的商品，原因是后面所换的代金券不能单独用，题目是要求代金券必须和现金一起用．由此推断，要想买到价值

2300 的商品，最后一次消费必须是 50 现金+50 代金券（为什么是50 代金券，而不是 100 代金券，也是题意要求，现金不少于支付商品价值的一半）由 50 元代金券可知上次消费的现金是 100，而和同步用的代金券也必须是 100，如是推理，请看如下所示：

50+50（代金券） 100+100（代金券） 200+200（代金券） 400+400（代金券） 800 左边是现金 800+400+200+100+50=1550 元，右边是代金券

400+200+100+50=750元，这样能买到的商品价值是 1550+750=2300 元，故能买到．据此解答即可． 【解答】解：根据题意可知： （1）由于最后一次购买东西换的代金券是不能使用的，因为有 1500 元的钱需要换 750 元的购物券，到最后一次最多可以用 50 元现金； （2）为了尽可能多的使用代金券，每次尽量用到一半的代金券，每一次的代金券由上一次购物获得； （3）第一次只能用现金． 这样最后一次用 50 元现金和 50 元代金券； 倒数第二次用 100 元现金和 100 元代金券； 倒数第三次用 200 元现金和 200 元代金券； 倒数第四次用 400 元现金和 400 元代金券； 倒数第五次用 800 元现金． 满足条件的答案为： 第一次用 800 元现金； 第二次用 400 元现金和 400 元代金券； 第三次用 200 元现金和 200 元代金券； 第四次用 100 元现金和 100 元代金券； 第五次用 50 元现金和 50 元代金券． 总共：800+400+400+200+200+100+100+50+50=2300（元） 所以用不超过 1550 元的现金，她能买到价值 2300 元的商品． 【点评】本题为复杂的统筹方法问题，需要全面考虑． 11．（10 分）如图，等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEF 之 间的面积为

20，BD=2，EC=4，求三角形 ABC 的面积． 【分析】可以利用等积变形，将△DEF 向 B 点平移，△DEF 的形状大小不变，平移后△DEF 的 DF 与 AB 重合，此时等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEF之间的面积仍不变，而此时 EC 的长从原来的 4 变成了 6，此时不难计算出三角形 ABC 的面积． 【解答】解：根据分析，利用等积变形，将△DEF 向 B 点平移，△DEF 的形状大小不变， 平移后△DEF 的 DF 与 AB 重合，此时等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEF之间的面积仍不变， 而此时 EC 的长从原来的 4 变成了 6，如图所示： 过 E 作 EGAC 交 AC 于 G，Rt△EGC 中，不难得知，EG=GC= ， 又∵等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形 DEF 之间的面积为 20，即梯形 ACEF的面积为 20， （EF+AC）EG =（EF+AG+GC）EG =（2EF+3 ）3 =20EF= ， 则 BF= ，△BEF 的面积= BFEF= = ， 三角形 ABC 的面积=△BEF 的面积+20= = ． 故答案是： ．

【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：利用等积变形，平移后三角形的面积不变，形状不变，再利用面积公式算得三角形 ABC 的面积． 12．（10 分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是 11 的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被 11 整除的数． 【分析】五位数的最大数，根据被 11 整除的特征，奇数位上的数字和与偶数位数字和的差是 11 的倍数，因此五位数不能被 11 整除，可以先确定万位上的数字，再逐个确定其它数字 【解答】解：根据分析，设此五位数为 ，最大的五位数，则 a=9， 若此五位数为 90000，显然不能被 11 整除，故符合题意的最大的五位数必大于90000，若 b=9，则 划去 后

为 99，能被 11 整除，故 b9， 若 b=8，则 划去 后为 98，不能被 11 整除，b=8， 若 c=9 或 8，则 划去 8 再划去 后，为 99，不和题意， 划去 再划去 9 后为 88，不合题意， c=7， 划去若干数字后不能被 11 整除， 若 d=9，8，或 7，均不合题意，d=6 时 划去若干数后不能被 11 整除，d=6 若 e=9，8，7 或 6，均不合题意，故 e=5， 综上所述，此五位数为：98765 【点评】本题考查了被 11 整除的特征，本题突破点是：根据 11 整除的特征，需要逆向思维 算出哪些数不能被 11 整除，求出最大值 三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分， 要求写出详细过程） 13．（15 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 CD 边的中点，E，F 是 BC边上的两点，且 BE═EF=FC．连接 AE，DF 分别交 BM 分别于 H，G．求四边形EFGH 的面积．

【分析】过 M 做 MQ 平行 BC 交 DF 于 Q，过 E 作 EP 平行 AB 交 BM 于 P，利用线段之间的比例关系，求得三角形之间的面积之比，最后求得阴影部分的面积． 【解答】解：根据分析，如图，过 M 做 MQ 平行 BC 交 DF 于 Q，过 E 作 EP 平行AB 交 BM 于 P， ∵M 为 CD 中点，所以 QM：PC=1：2，QM：BF=1：4，所以 GM：GB=1：4， BG：BM=4：5；又因为 BF：BC=2：3， ； ∵E 为 BC 边上三等分点，所以 EP：CM=1：3，EP：AB=1：6， BH：HP=6：1，BH：HM=6：15=2：5，BH：BG=2：7， 又∵GM：GB=1：4，BH：BG=5：14， ， ． 故答案是： ． 【点评】本题考查了三角形的面积，突破点是：利用比例关系，求得三角形的面积比，从而最后求得阴影部分的面积． 14．（15 分）现有如图左边所示的四连方纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的 55 方格网上，放四连方，四连方可以翻转，四连方的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个四连方不能有重叠部分．那么最少放几个四连方就不能再放了？

【分析】此题与常规填充题不同的是，本题要求放置几个四连方之后，没有空间再放置任何一个四连方． 【解答】解：本题需要尽可能不合理利用空间，使用尽可能少的四连方占据空间， 使余下的空白方格不能容下任何一个四连方， 如下图所示，放入 3 个之后，再没有空间放任何一个四连方， 而如果只放 2 个的话，还余下 25﹣24=17 块，必然会存在连续的空间可以放下四连方． 所以：最少放 3 个四连方就不能再放了． 【点评】要尽可能不合理利用空间，就使被放置的四连方分隔的空白部分尽量大又不能连成 4 块．