浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试数学试卷(理科)

浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试

数学试卷(理科)

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数

A．第一象限

23i（i是虚数单位）所对应的点位于

34iB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

22. 设集合M{x|x2x30},Nx22，则MCRN等于

xA．1,1 B．(1,0) 3.(2x)的展开式中x的系数为

C．1,3

D．(0,1)

1x62A.240 B. 240 C. 60 D. 60 4．“2”是“函数fxcosx与函数gxsinx的图像重合”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 设m、n为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：

①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β； ③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n． 上述命题中，所有真命题的序号是

A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④

111等于 a1a2a20132012402420131006 A. B. C. D.

2013201310071007227. 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为xy8x150,若直线ykx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是

*6．数列an满足a11， an1ann1(nN)，则

·1·

44B. 或k>k<03 3

344C. k D. k0或k>

433A. 0k8.对数函数ylogax（a0且a1）与二次函数ya1xx在同一坐标系内的图象可能是

2

1x,x029. 已知函数f(x)，若关于x的方程fx2xa有六个不同的实根，则实数axx39,x0的取值范围是

A．2,8

B．2,9

C．8,9

D．8,9

10. 记集合P0,2,4,6,8,Qmm100a110a2a3,a1,a2,a3P，将集合Q中的所有元素排成一个递增数列，则此数列第68项是 A．68 B．464 C．468

D．666

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ▲ 12. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 ▲

13.等比数列{an}的前n项

和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为

·2·

___▲ __

2xy014．若实数x、y满足yx，且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为__▲

yxb15.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F1、

F2是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当F1PF260时，这一

对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 ▲

a2b216．已知实数a0,b0,且ab1,那么的最大值为

ab17. 如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y▲ 轴正半

轴上移动，则OBOC的最大值是 ▲ (第17题图)

三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. （本题满分14分）已知函数fxcosx(3sinxcosx)（Ⅰ）求的值；

1（0）的周期为2. 2（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足2bcosA2c3a，

求f(B)的值．

19. 某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品，假定参与者答对每道填空题的概率为

11，答对每道选择题的概率为，且每位参与者答题互不影响. 23及数学

(Ⅰ)求某位参与竞猜活动者得3分的概率；

(Ⅱ)设参与者获得纪念品的人数为，求随机变量的分布列期望.

20.如图，在四边形ABCD中，ABAD4，

BCCD7，点E为线段AD上的一点.现将DCE沿

线段EC翻折到PAC（点D与点P重合），使得平面PACAB，连接CPA，PB.

(Ⅰ)证明：BD平面PAC；

(Ⅱ)若BAD60，且点E为线段AD的中点，求二面角PABC的大小.

·3·

平面

21.（本题满分15分） 已知点M到定点F1,0的距离和它到定直线l:x4的距离的比是常数

1,2设点M的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求曲线C的轨迹方程;

（Ⅱ）已知曲线C与x轴的两交点为A、B,P是曲线C上异于A，B的动点,直线AP与曲线C在

点B处的切线交于点D，当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

(xa)222. 已知函数f(x)（其中a为常数）.

lnx(Ⅰ)当a0时，求函数的单调区间；

(Ⅱ) 当0a1时，设函数f(x)的3个极值点为x1，x2，x3，且x1x2x3.

证明：x1x32e.

·4·

金丽衢十二校2012学年第二次联合考试

数学试卷(理科)参考答案

一、选择题(5×10=50分) 题号 1 答案 B 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 A 8 A 9 D 10 B 二、填空题(4×7=28分) 11.16 12.3 13.三、解答题(共72分) 18．解：（Ⅰ）fx19 14. 15. 3 16. 1 17. 2 34131cos2x1sin2x 22223sinxcosxcos2x 311sin2xcos2x sin2x  ——7分 2262b2c2a2（Ⅱ）解法（一）2bcosA2c3a2b2c3a

2bca2c2b23整理得acb3ac，故cosB

2ac22220B,B6

f(B)sin(B)sin00 ——14分

6解法（二）2bcosA2c3a2sinBcosA2sinC3sinA

2sinBcosA2sin(AB)3sinA2sinAcosB3sinA0 sinA(2cosB3)0

B0A,sinA0 cos又0B,B3 26

f(B)sin(B)sin00 ——14分

6·5·



19解：(Ⅰ)答对一道填空题且只答对一道选择题的概率为答错填空题且答对三道选择题的概率为

1212C32()2， 23391131（对一个4分） ()23542113∴某位参与竞猜活动者得3分的概率为； „„„„„„„ 7分 95454(Ⅱ)由题意知随机变量的取值有0，1,2，3，4.又某位参与竞猜活动者得4分的概率为

1121C32()2 2339某位参与竞猜活动者得5分的概率为∴参与者获得纪念品的概率为

1131 ()23547 „„„„„„„„„ 11分 547k7k474k∴~B(4,)，分布列为P(k)C4()()，k0,1,2,3,4

545454714∴随机变量的数学期望E=4. „„„„„„„„„ 14分 542720解：(Ⅰ)连接AC，BD交于点O,在四边形ABCD中，

∵ABAD4，BCCD7

∴ABCADC，∴DACBAC, ∴ACBD

又∵平面PAC平面ABCE，且平面PAC平面ABCE=AC ∴BD平面PAC „„„ 6分

(Ⅱ)如图，以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴，平面直角坐标

PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴建立空间

系，可设点P(x,0,z) 又

A(23,0,0)，B(0,2,0)，C(3,0,0)，

E(3,1,0)，且由PE2，PC7有

(x3)21z242，解得xz3，∴223(x3)z7P(223,0,3) „„„„ 9分 334323,0,)，设平面PAB的法向量为n(a,b,c)， 33·6·

则有AP(

z2xAPn0由，即，故可取n(1,3,2) „„„ 12分

y3xABn0又易取得平面ABC的法向量为(0,0,1)，并设二面角PABC的大小为，

∴cos(0,0,1)(1,3,2)182，∴ 24∴二面角PABC的大小为

. „„„„„„„14分 421．解：（Ⅰ）设点Mx,y，则据题意有

x12y2x41 2yPDEx2y21 化简得43AOFBxx2y2故曲线C的方程为1，„„„„5分

43（Ⅱ）如图由曲线C方程知A2,0,B2,0,在点B处的切线方程为x2.

以BD为直径的圆与直线PF相切．

证明如下：由题意可设直线AP的方程为yk(x2)(k0).

则点D坐标为(2, 4k)，BD中点E的坐标为(2, 2k)．

yk(x2),2222由x2y2得(34k)x16kx16k120．

13416k212设点P的坐标为(x0,y0)，则2x0．

34k268k212k所以x0，． „„„„„„„„„„„7分 yk(x2)0034k234k2因为点F坐标为(1, 0)， 当k13时，点P的坐标为(1, )，点D的坐标为(2, 2). 2222直线PFx轴，此时以BD为直径的圆(x2)(y1)1与直线PF相切．

·7·

当ky04k1时，则直线PF的斜率kPF. 2x0114k2所以直线PF的方程为y点E到直线PF的距离

4k(x1)．

14k22k8k314k22|k|． 14k2|14k2|d8k4k2k14k214k216k21(14k2)2又因为BD2R4k ，

故以BD为直径的圆与直线PF相切．

综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．„„„15分 22解：(Ⅰ) f'(x)令f'(x)0可得xx(2lnx1) 2lnxe.列表如下:

x fx fx 0,1 - 减 1,e - 减 e 0 极小值 e, + 增 单调减区间为0,1,1,e;增区间为

e,.------------5分

(xa)(2lnx(Ⅱ)由题，f'(x)对于函数h(x)2lnxln2xa1)x

a2xa 1，有h'(x)2xxaa∴函数h(x)在(0,)上单调递减，在(,)上单调递增

22∵函数f(x)有3个极值点x1x2x3， 从而hmin(x)h()2lna22a， 10，所以a2e当0a1时，h(a)2lna0，h(1)a10，

·8·

∴ 函数f(x)的递增区间有(x1,a)和(x3,)，递减区间有(0,x1)，(a,1)，(1,x3)， 此时，函数f(x)有3个极值点，且x2a； ∴当0a1时，x1,x3是函数h(x)2lnxa1的两个零点，————9分 x2lnx1即有2lnx3a10x1，消去a有2x1lnx1x12x3lnx3x3

a10x3令g(x)2xlnxx，g'(x)2lnx1有零点x1e，且x11ex3

∴函数g(x)2xlnxx在(0,1e)上递减，在(2e2e1e,)上递增

要证明 x1x32ex3x1g(x3)g(2ex1)

gx1gx3 即证g(x1)g(构造函数Fxg(x)g(x1)g(x1)g(2ex1)0

21x)，F=0

ee只需要证明x(0,1e]单调递减即可.而Fx2lnx2ln(2ex)2，

2(F''xx(2e2e2x)0 Fx在(0,x)11]上单调递增, FxF0

ee∴当0a1时，x1x32e.————————15分

·9·