勾股定理易错题

错题

一、折叠

1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为___________cm。

2、如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知AC=6，∠B=30°，则DE的长是___________。

3、如图，Rt△ABC中，AB=9,BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点重合，折痕为MN，则线段BN的长为___________。

4、如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D’处，BC交AD’于点E，AB=6cm，BC=8cm，求阴影部分的面积。

5、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，AD=8,AB=4，则DE的长为___________.

6、如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为____________.

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？

8、如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为__________.

9、已知已知直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4。如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。若折叠后点B与点A重合，求点C的坐标。

10、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，DE是斜边AB的垂直平分线，分别交AC、AB于D、E两点。若BD=2，则AB的长是___________.

11、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B’重合，AE为折痕，则EB’=__________.

12、如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．

13、如图，在三角形纸片ABC中，BC=3,AB=6,∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合， 则DE的长度为____________.

勾股定理的逆定理与面积

1、如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积。

2、如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为__________.

3、如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。

4、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求：四边形ABCD的面积。

5、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是__________。

三、实际运用

1、小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为__________米。

2、如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外的最短长度是______________cm。

3、一个圆柱形玻璃杯的内径（直径）是5cm，内高是12cm，杯中灌满水，把一根长20cm的木筷插入杯中，露出水面的长度最短是____________.

4、将一根长24cm的筷子，置于底面半径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围为__________________.

5、在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A

处（离树20米）的池塘边。另一只爬到树顶D处后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高__________.

6、丁、胡、沈：如图是油路管道的一部分，眼神到外围的支路恰好构成一个直角三角形，两条直角边长分别为6 m、8 m。按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是__________m。

7、如图，学校内有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了___________步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。

8、如图，小雨和她的同学荡秋千，秋千在平衡位置时，下端B’离地面0.6米，当秋千荡到AB的位置时，下端B距平衡位置的水平距离EB为2.4米。求秋千AB’的长。

9、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示，正方形DEFH的边长为2米，坡脚∠A=30°，∠B=90°，BC=6米，当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=_________

222米时，DCAEBC。

四、命题

1、两个命题的题设和结论正好相反，这样的命题叫做_______________，如果把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的____________命题。

2、下列各命题的逆命题不成立的是（ ）

A 两直线平行，同旁内角互补 B 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等

22C 对顶角相等 D 如果ab，那么a=b

11ab，则a=b；② 若a2b2，则丨a丨=丨b丨；③ 两个锐角6、下列命题：① 若

的和是锐角；④ 同角或等角的补角相等。其中逆命题正确的个数是____________个。

勾股数

3、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有_________组。

4、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的_______倍。

5、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

六、三角形的判断问题

222(ab)(abc)0，则△ABC是（ ） 1、若△ABC的三边a，b，c，满足

A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等于直角三角形

2(ab)(ab)c2、△ABC中，如果，则△ABC是________三角形，且∠______=90°。

3、在△ABC中，若a=32，b=6，c=32，则△ABC是___________三角形。

222(abc)=0，4、若△ABC的三边长为a、b、c，且满足（a-b）则△ABC是（ ）

A 等腰三角形 B 直角三角形

C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形

七、勾股定理解直角三角形

1、直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为____________。

2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是____________。

八、台风、拱桥、噪声

1、如图，公路MN和公路PQ在点P交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由，如果受到影响，已知拖拉机的速度是18km/h，那么学校受影响的时间是多少？

2、一辆装满货物的卡车，2.5米高，1.6米宽，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门？说明理由。

3、如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域。

（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；

（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

4、有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米。

（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由；

（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽为1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？

5、如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（2

≈1.414，精确到1米）

6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观察，距沿海某城市A正南240千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心风力不变，若城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响．

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；

（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

九、勾股证明

1、如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是___________。

2、如图分别以△ABC三边a、b、c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若

S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？

3、刘、沈、丁：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等于直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为___________.

4、胡、刘、沈、丁：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2=___________.

5、如图，在等腰直角三角形OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰直角三角形OA1A2，以OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，...，则OA4的长度为___________.

6、刘、胡、沈：一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下至AB’C’D’的位置，连接CC’，AC，

222AC’。设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC’D’的面积证明abc。

7、丁、胡、沈、刘：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）。如图2由弦图变化得到，它是八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形EFGH和正方形MNKT的面积分别为S1、S2和S3。若S1+S2+S3=10，则S2=___________.

十、最短路径

1、如图，在△ABC中，点P在边AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为__________.

2、胡、丁：如图，圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最短为____________dm。

3、胡、沈、丁：如图，有一个圆柱形无盖油罐，它的底面圆周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处沿油罐侧面爬行到对面B处偷油吃，则它爬行的最短路程为多少？

4、如图，长方体的长、宽、高分别为3cm、1cm、6cm。如果一只小虫从点A开始

爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B，那么这只小虫所爬行的最短路程为_________cm.

5、如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从点A到点B只能沿图中的线段走，那么从点A到点B的最短距离的走法共有______种。

6、如图，一个牧童在小河的正南方向4 km的A处牧马，此时他正位于小屋B的正北方向7 km、正西方向8 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回到小屋。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

7、刘、胡、沈：如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在玻璃杯的外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离。

十一、分类讨论

1、如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为___________________.

2、某园艺公司对一块直角三角形花圃进行改造，测得两直角边分别为6m，8m。现要将其扩建成等腰三角形，且扩建部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩建后等腰三角形花圃的周长。

3、在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC= 。

十二、几何大题

1、刘、沈：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，点F为BC的中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE。

（1）线段BH与AC相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；

222（2）求证：BGGEEA。

2、如图，在△ABC中，AC=3，AB=5，边BC上的中线AD=2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。

（1）求证：BE⊥AE；

（2）求BC的长。

3、胡、刘、丁：如图，在△ABC中，AB=AC=20，BC=32，点D在BC上，且∠CAD=90°。求BD的长。

4、沈、刘、丁：如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．

5、（1）求出A，B两村之间的距离；

6、（2）为方便村民出行，计划在CD的中点处新建一个公共汽车站比较车站到两村距离

7、

8、丁、胡、沈、刘如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A（4,0），点B在y轴上，且B（0,4）

（1）求线段AB的长

（2）若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值

（3）在（2） 的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试确定线段BE、EM、AM的数量关系，并证明你的结论。

平行四边形

1、由等腰三角形底边上任一点（端点除外）作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 （ ）

A、周长 B、一腰的长 C、周长的一半 D、两腰的和

2、如图，在的周长为40，求

ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若在AE=4，AF=6，ABCDABCD的面积

3、如图，在ABCD中，2AB=BC，M为AB的中点，求证：AM⊥DM

4、如图，在ABCD中，M、N分别在AD、BC上，E、F在对角线上，且AM=CN，

BE=DF，则MF与NE有怎样的位置关系？并说明理由。

5、已知：ABCD中，E、F分别是BA、DC上的点，且AE∥CF，交BC、AD于点

G、H，试说明EG=FH。

6、沈、胡、刘：如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=4,∠ABC=60°，过BC的

中点E作EF⊥AB，垂足为点F，且与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是______________.

7、如图，以平行四边形ABCD的两邻边BC、CD为边分别向外作等边三角形BCE和等边三角形CDF，连接PF、AE、AF，试判断△AEF的形状并证明你的结论。

8、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE最短是_________.

9、如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC：∠BCD=1：3，BC=4，BD、AC相交于点O，且CO⊥BC，求CD、BD的长及平行四边形ABCD的面积。

10、丁：（1）如图①，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，直线EF经过点O，分别交AD、BC于点E、F。求证：AE=CF；

（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I，求证：EI=FG。