浑江区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

浑江区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（ ）

A．4π

面积的最大值为4A．等腰三角形

B．12π C．16π D．48π

（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的

2． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

，则此时△ABC的形状为（ ） B．正三角形 C．直角三角形

D．钝角三角形

+

+…+

=（ ）

3． 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2+2n（n∈N*），则A．

B．

C．

D．

4． 若复数z=2﹣i （ i为虚数单位），则A．4+2i B．20+10i

C．4﹣2i D．

=（ ）

5． cos80cos130sin100sin130等于（ ） A．3311 B． C． D． 22226． 设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（ ） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3 7． “2x”是“tanx1”的（ ） 4

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性. 8． 下列式子中成立的是（ ） A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5 C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log67 9． 已知||=3，||=1，与的夹角为

，那么|﹣4|等于（ ）

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精选高中模拟试卷

A．2 B．

C．

D．13

10．AB=6，AC=4如图，在△ABC中，A=45°，O为△ABC的外心，，则•等于（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

11．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥β，m⊥β，则m∥α； 其中正确命题的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②④ A．[1，+∞）

B．[0.2}

D．①③

C．[1，2]

D．（﹣∞，2]

12．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（ ）

二、填空题

13．某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程

=0.7x+

，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修

费用约为 万元．

14．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为 ．

15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（

）t﹣a（a为常数），

如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

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16．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被抽到的概率都为

17．若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆

恒有公共点，则m的取值范围是 ．

，则总体的个数为 ．

18．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的 值是 ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：

20．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

2

（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e]上有两解，求实数m的取值范围；

＜．（参考数据：ln2≈0.693）

（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+

．

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21．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y） （1）求f（1）的值，

（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．

22．某运动员射击一次所得环数X的分布如下： X 7 8 9 0～6 P 0 0.2 0.3

0.3

10 0.2

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ． （I）求该运动员两次都命中7环的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．

23．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点 （1）求证：直线AF∥平面BEC1 （2）求A到平面BEC1的距离．

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24．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*） （Ⅰ）求证：数列{an+2n}是等比数列； （Ⅱ）设bn=ansin（Ⅲ）设Cn=﹣

π，求数列{bn}的前n项和；

，数列{Cn}的前n项和为Pn，求证：Pn＜．

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浑江区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱， ∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，

2

∴几何体的体积V=π×2×3=12π．

故选B．

【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．

2． 【答案】A 【解析】解：∵∴∴

（acosB+bcosA）=2csinC，

2

（sinAcosB+sinBcosA）=2sinC，

sinC=2sin2C，且sinC＞0，

，

，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）

=4

，

∴sinC=

∵a+b=8，可得：8≥2

∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤∴a=b=4，

则此时△ABC的形状为等腰三角形． 故选：A．

3． 【答案】D

2*22

【解析】解：∵Sn=n+2n（n∈N），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n+2n）﹣[（n﹣1）+2

（n﹣1）]=2n+1． ∴∴==﹣

． +=

+…+

=

=

+

， +…+

故选：D．

【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4． 【答案】A

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【解析】解：∵z=2﹣i， ∴=∴

=10•

=

=4+2i，

=

=

，

故选：A．

【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．

5． 【答案】D 【解析】

试题分析：原式cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos30 3． 2考点：余弦的两角和公式. 6． 【答案】A

【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是， x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件， x＞3是x＞2的充分条件，

x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件， 故选：A

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

7． 【答案】A

【解析】因为ytanx在,上单调递增，且x，所以tanxtan，即tanx1.反之，当

24422tanx1时，kxk（kZ），不能保证x，所以“x”是“tanx1”

242424的充分不必要条件，故选A.

8． 【答案】D

【解析】解：对于A：设函数y=log0.4x，则此函数单调递减∴log0.44＞log0.46∴A选项不成立 对于B：设函数y=1.01，则此函数单调递增∴1.01＜1.01

x

3.4

3.5

∴B选项不成立

对于C：设函数y=x，则此函数单调递增∴3.5＞3.4

0.3

0.3

0.3

∴C选项不成立

对于D：设函数f（x）=log7x，g（x）=log6x，则这两个函数都单调递增∴log76＜log77=1＜log67∴D选项成立 故选D

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9． 【答案】C ，

【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为可得

=||||cos＜，＞=3×1×=，

=

．

即有|﹣4|==

故选：C．

【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

10．【答案】A

【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点， 可得﹣2； 故选A．

【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题

11．【答案】B

【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面： 在①中：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直得m⊥n，故①正确； 在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，

∵m⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ，故②正确；

在③中：若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故③正确； 在④中：若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误． 故选：B．

12．【答案】C

22

【解析】解：f（x）=x﹣2x+3=（x﹣1）+2，对称轴为x=1． 所以当x=1时，函数的最小值为2． 当x=0时，f（0）=3．

2

2

2

，，则•==16﹣18=

由f（x）=3得x﹣2x+3=3，即x﹣2x=0，解得x=0或x=2．

∴要使函数f（x）=x﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．

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故选C．

【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次 函数的基本方法．

二、填空题

13．【答案】 7.5

【解析】解：∵由表格可知=9， =4， ∴这组数据的样本中心点是（9，4）， 根据样本中心点在线性回归直线∴4=0.7×9+∴

，

=0.7x+

上，

=﹣2.3，

=0.7x﹣2.3，

∴这组数据对应的线性回归方程是∵x=14， ∴

=7.5，

故答案为：7.5

【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．

14．【答案】 ﹣2 ．

【解析】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数， 得

故答案为：﹣2．

15．【答案】0.6

【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（∴0.1﹣a=0 a=0.1

由题意可得y≤0.25=， 即（

）t﹣0.1≤，

）0.1﹣a

，解得：a=﹣2．

即t﹣0.1≥

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解得t≥0.6，

由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6

【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．

16．【答案】 300 ．

【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等， 所以总体中的个体的个数为15÷故答案为：300．

【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．

17．【答案】 [1，5）∪（5，+∞） ．

【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，

∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可， 由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称， 故只需要令x=0有

5y2=5m

2

得到y=m

=300．

要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是 y2≥1

得到m≥1

∵椭圆方程中，m≠5

m的范围是[1，5）∪（5，+∞） 故答案为[1，5）∪（5，+∞）

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．

18．【答案】【解析】

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考

点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）

．

当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，故f（x）在调递增；

当a＜0时，由f'（x）=0得，f（x）在

所以α+β=0，αβ=a﹣1．

．

由0＜a＜1得，0＜β＜1． 构造函数

．

，

22

设h（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣2x+x，x∈（0，1），

，

上单调递减，在

上单

上单调递增，在

，

上单调递减，在上单调递增．

，

证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且

则

因为0＜x＜1， 所以，h'（x）＞0，

，

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故h（x）在（0，1）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0， 所以g（x）在（0，1）上单调递增， 所以故

．

，

20．【答案】

【解析】解：（1）

．

因为x=2是函数f（x）的极值点， 所以a=2，则f（x）=

，

则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0； （2）当a=1时，

2

，其中x∈[，e]，

2

当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e]时，f'（x）＞0，

2

∴x=1是f（x）在[，e]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．

又，，

综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}； （3）

若a=1时，由（2）知f（x）=当n＞1时，令x=

等价于

，

在[1，+∞）上为增函数，

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，

即，∴．

故即即

．

，

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21．【答案】

【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中， 令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1）， ∴f（1）=0；

（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6）， ∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2

等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6）， ∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6）， 即f（

）＜f（6），

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数， ∴

，解得﹣3＜x＜9，

即不等式的解集为（﹣3，9）．

22．【答案】

【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”， 则P（A）=0.2×0.2=0.04．

（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10 且P（ξ=7）=0.04，

P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，

P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，

P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36， ∴ξ的分布列为：

7 8 9 10 ξ P 0.04 0.21 0.39 0.36 ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07． 相互事件概率乘法公式的合理运用．

23．【答案】

则△BCC1中，HF∥CC1且HF=CC1

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意

【解析】解：（1）取BC1的中点H，连接HE、HF，

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又∵平行四边形AA1C1C中，AE∥CC1且AE=CC1 ∴AE∥HF且AE=HF，可得四边形AFHE为平行四边形， ∴AF∥HE，

∵AF⊄平面REC1，HE⊂平面REC1 ∴AF∥平面REC1．… （2）等边△ABC中，高AF=

=

，所以EH=AF=

由三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，得C1到平面AA1B1B的距离等于∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE，∴EC1=EB，得EH⊥BC1 可得S△

=BC1•EH=×

×

=

，

而S△ABE=AB×BE=2

由等体积法得VA﹣BEC1=VC1﹣BEC， ∴S△即×

×d=S△ABE××d=×2×

，（d为点A到平面BEC1的距离）

．…

，解之得d=

∴点A到平面BEC1的距离等于

【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行，并求点到平面的距离．着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定定理和等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．

24．【答案】

2*

∴当n≥2时，【解析】（I）证明：由Sn=2an﹣n+3n+2（n∈N），

，

an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，

变形为an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{an+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；

n1n

（II）解：由（I）可得an=﹣2×2﹣﹣2n=﹣2﹣2n．

∴bn=ansin

π=﹣（2n+2n）

，∵ =

=（﹣1）n，

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n+1n

∴bn=（﹣1）（2+2n）．

设数列{bn}的前n项和为Tn．

*2342k12k

当n=2k（k∈N）时，T2k=（2﹣2+2﹣2+…+2﹣﹣2）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）

=﹣2k=﹣n．

2k

﹣2k﹣（﹣2﹣4k）=

当n=2k﹣1时，T2k﹣1=（III）证明：Cn=﹣

=

+n+1+2n+1=

+n+1．

，当n≥2时，cn．

∴数列{Cn}的前n项和为Pn＜==，

当n=1时，c1=综上可得：∀n∈N，

*

成立．

．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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