高一数学竞赛讲义：平面几何

高一数学竞赛班讲义

平面几何习题 2016.4.18

例1、(2005)13.已知点 M 是 ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边

BCBM (用 , 试求 AC 于点N, 且 AB 是 NBC 的外接圆的切线, 设

BNMN 表示).

证明∠BAC是直角.

ANBMDC例2、(2006)15. △ABC中,AB例3、(2007)12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，

AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．

ADEBC1

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例4、(2010)13．如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BEAD，

垂足H.

过点H作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G． 证明： (1) 点A、B、F、H共圆； (2) 四边形BFCG是矩形．

B G A H F C D

E 例5、(2011)13．如图，P是ABC内一点．

1（1）若P是ABC的内心，证明：BPC90BAC；

211（2）若BPC90BAC且APC90ABC，证明：P是ABC的内心．

22

A

P

B C 2

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例6、(2012) 13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A为圆O 上动点，

在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1. 线段AB交圆O 于另一点C,D为线段OB的中点，求线段CD长的取值范围

OADMB例7、(2013)12．如图，梯形ABCD中，B、D关于对角线AC对称的点分别是B'、

D'，A、C关于对角线BD对称的点分别是A'、C'．证明：四边形A'B'C'D'是梯形．

3

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例8、(2014) 13．如图，已知ABC是锐角三角形，以AB为直径的圆交边AC于点D，

交边AB上的高CH于点E．以AC为直径的半圆交BD的延长线于点G．求证：AGAE．

例9、(2015) 12．如图，△ABC中，AB＞AC，点D、E分别在边AB、AC上，且BD

＝CE．∠BAC的外角平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点． 求证：A、P、B、C四点共圆．

D A

P (第12题图)

B

C

E 4