第9讲平行四边形、矩形、菱形

一、平行四边形

1.如图，在周长为20的平行四边形ABCD中，AB＜AD, AC与BD交于点O, OE⊥BD,交AD于E,求△ABE的周长。

2.如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF,求证：BF=DE.

3.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF, 若∠EBF=45º,求∠EDF的度数。

4.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点重合），延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN. ⑴求证：四边形AMDN是平行四边形；

⑵填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形。

二、矩形、菱形

5.如图1，在△ABC中，AB=AC, D为边BC上一点，以AB, BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC.

⑴求证：△ADC≌△ECD;

⑵如图2，若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在x轴上移动。小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为（－5,0）和（5,0）。求出其余所有符合这个条件的P点的坐标。

7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相较于O, DE⊥AC于E, ∠EDC∶∠EDA=1∶2,且AC=10，求DE的长。

8.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°, ∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时，求∠AMN+∠ANM的度数。

9.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°,AB=2AD,点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD,交CB的延长线于点G. ⑴求证：四边形DEBF是菱形；

⑵请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。

10.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE. ⑴求证：四边形AFCE是菱形；

⑵若AE=10㎝, △ABF的面积为24㎝，求△ABF的周长。

2

11.如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB,求菱形ABCD的面积。

12.如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F. ⑴求证：△ABF≌△ECF;

⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形。

13.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ∠AOB=60°，AB=5，求AD点长。

14.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.

⑴求证：OP=OQ;

⑵若AD=8㎝,AB=6㎝,P从点A出发，以1㎝/秒的速度向D运动（不与D重合）。设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形。

问题探究

15.在平行四边形ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC, N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.

⑴如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；

⑵如图2，若点M在线段EF上，当点M中在何位置时，你在⑴中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明⑴中的结论。

16.如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG,使B点正好落在CD上的点E处，连BE.

⑴求证：∠BAE=2∠CBE;

⑵如图2，连BG交AE于M,点N为BE的中点，连MN, AF,试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；

⑶若AB=5，BC=3，直接写出BG的长 。