数列求和的常用方法

数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。

例：已知数列{an}的通项为：an2n3n，求Sn

例：在等差数列an中，a11，d2，依次抽取这个数列的第1，3，32，„„，3n1项，组成数列bn，求数列bn的通项bn和前n项和Sn

2、错位相减法：利用等比数列前n项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。

n 例：已知数列{an}的通项为：an(2n1)2，求Sn

说明：（1）一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用这一思路和方法。具体做法是：乘以常数q，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。

要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式；

3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。

111111常见裂项有：()、(nkn)

n(nk)knnkknkn

1例：已知数列{an}的通项为：an，求前n和Sn

n(n1) 例：在等差数列{an}中a12、a38，若bn1an1an，求数列的{bn}前n和Tn

4、倒序相加法：利用等差数列前n项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。

cosn 例：{an}中，已知an，求S60的值

cos(n30)5、有关绝对值的问题：

例：在等差数列{an}中a120、d2，

（1）求数列{an}前n和Sn；（2）求数列{|an|}前n和Tn；

由数列递推关系式求通项公式。 1、利用等差等比定义求通项公式； 2、用累加法求an1anf(n)型通项； 3、用累乘法求anf(n)an1型通项

4、用构造等比数列求anAan1B型数列通项； 5、通过Sn求an；

6、取倒数转化为等差数列

练习题

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列四个数中，哪一个是数列{n(n1)}中的一项 （ ）

（A）380 （B）39 （C）35 （D）23 2．在等差数列{an}中，公差d1，a4a178，则a2a4a6a20的值为（ ）

（A）40 （B）45 （C）50 （D）55 3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套

书的年份是（ ）

（A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003 4．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（ ） A.40 B.42 C.43 D.45

5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ C ）

A.5 B.4 C. 3 D. 2

6．在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = （ A ）

5A. 81 B. 2727 C.

3 D. 243

7． 在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于（C ）

n(A)2n12 (B) 3n (C) 2n (D)31

8．设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a1a1a123（B ）

A．120 B．105 C．90 D．75 9．设Sn是等差数列an的前n项和，若S735，则a4（ D ）

A．8 B．7 C．6 D．5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上） 1．在数列{an}中，ann1n1，且Sn9，则n ．

2．等比数列{an}的前三项为x，2x2，3x3，则a4

3． 若数列an满足：a11,an12an.n1，2，3„.则a1a2an . 4．设Sn为等差数列an的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝ . 5．在数列{an}中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an 。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 1．已知an为等比数列，a32,a2a4

2．设等比数列an的前n项和为Sn，S41,S817,求通项公式an?

3． 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .

4．数列an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1n1 （Ⅰ）求an的通项公式；

,a2b,3ab（Ⅱ）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b123203，求an的通项式。

成等比数列，求Tn