(完整版)复数的运算说课稿

林萍萍

2012-10-21

一、说教材

（一）教材的地位与作用：

1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。

2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代

数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。因此，复数的概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。。

3、将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新，有利培养学生的学习兴趣和创新精神。 （二）学情分析：

1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。 2、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。

3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

4、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。 （三）教学目标：

1

1、知识目标：掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方运算法则。

2、能力目标：培养学生运算的能力。

3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神。

（四）教学重点：复数的概念，复数的代数运算是重点 （五）教学难点：复数代数形式的乘、除法法则。教学方法：（六）启发式教学法关键：掌握复数加法、减法的定义和复数相等定义的运用。 二、说教法：

1、本节课通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比思想体会整式的运算与复数的运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。

2、例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。 三、说学法：

1、复习已学知识，为本节课学习作铺垫。通过对数系学习的回忆，引出课题，激发学生学习动机。

2、让学生板演运算法则，有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。

3、通过例题学会复数的运算，归纳运算简便方法。培养

2

学生归纳问题、转化问题的努力。 四、说课过程： （一）、复习提问：

2ii1、1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 1; (2)实数

可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2、i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x=－1的一个根，方程x=－1的另一个根是－i 2

2

3、复数的概念：形如a+bi (a，b∈R)叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部。

4、复数的分类：复数a+bi (a，b∈R)，当b=0时，就是实数;当b≠0时，叫做虚数; 当a=0，b≠0时，叫做纯虚数; 5、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是a1=a2，b1=b2。

实数 (b=0)复数Zabi一般虚数(b0,a0)虚数 (b0)纯虚数(b0,a0)6、复数的分类：

虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 也没有大小。 7、复数的模：若向量OZ表示复数z，则称OZ的模r为复数z的模，

z|abi|a2b2；

z1znz1z2zn积或商的模可利用模的性质（1）

zz11z2z2，（2）

z20

3

8、复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示

ybZ(a，b)oax复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复平面内的点Z(a,b) 复数zabi一一对应（二）类比代数式，引入复数运算：

一、复数代数形式的加减运算

类似根据代数式的加减法，

则复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. a,b,c,dR

复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. a,b,c,dR

二、复数的加法运算满足交换律和结合律

1、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.

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证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.

z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.

又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.

∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.

2、 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，

b3∈R).

∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i) =［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i =［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］

=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］ =［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i

∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律 三、复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实

部，虚部与虚部分别相加(减).

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平面向量OZ １．复平面内的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ 2. 复数zabi一一对应3.复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所

对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻

边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，

∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝

(a+c)+(b+d)i

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，

设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于OZ2Z1Z，所以，两个

复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 讲解范例：

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)

解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－

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4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.

解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i， ……

(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i. 相加得(共有1001个式子)： 原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)

=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i 例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、

B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？

解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i， ∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0， ∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB所表示的复数是zB－zA. ，而BA所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终

点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关

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5、复数的乘除法运算：

复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. a,b,c,dR

复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即mnm+nmnmn

对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有: zz=z, (z)=z, nnn(z1z2)=z1z2.

6、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；

zabi,zabia,bR，两共轭复数所对应的点或向量关于实 2轴对称。

z|z|a2b22zza2b2R,zzzz，

z1z2z1z2,z1z2z1z2,z1z1z2z2

z1abiacbdbcad2i222z7、复数的除法：2(a+bi)(c+di)=cdi=cdcd a,b,c,dR，分母实数化是常规方法

复数的运算，典型例题精析：

(1+i)2

例4．（1）复数 等于( )

1－i

A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i

8

2ii(1i)1i(1+i)

解析: 复数 =1i，选C．

2

1－i

（2）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ．

ZiZ2iZ2ii11i解：已知；

（3）设复数z满足关系z|z|2i，求z；

22abiab2i 解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得

aa2b2233a,b1zib144由复数相等可得：，解得，所以

设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。 （4）若xC，解方程|x|13ix

22ab1a(3b)i,由复数相解：设x=a+bi (a,b∈R)代入条件得:

等的定义可得：

a2b21a3b0,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。

22|zi||zi|1，则z对应的点在复平面内表例4：(1)复数z满足

示的图形为（A）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线

解：令z=x+yi（x，y∈R），则x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。故选A。

8. 复数的代数式运算技巧： （1）i的周期性：

i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1nZ

i4ni4n1i4n2i4n30nZ

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1i1iii(1i)2i(1i)2i1i1i（2）① ② ③ ④

22（3）“1”的立方根

123i2的性质：

232①1 ② ③10 ④

111 ⑤

扩充知识： 9、特别地，

|zz1||zz2|zAB zB－zA.，

zABABzBzA为两点间的距离。

z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直平分线；|zz0|r，

|zz1||zz2|2aZ1Z22az对应的点的轨迹是一个圆；点的轨迹是一个椭圆；轨迹是双曲线。

， z对应的

|zz1||zz2|2aZ1Z22a， z对应的点的

z1z2z1z2z1z210、显然有公式：

z1z2z1z22z1z22222

11、实系数一元二次方程的根问题：

2（1）当b4ac0时，方程有两个实根 x1,x2。

2（2）当b4ac0时，方程有两个共轭虚根，其中 x1x2。

此时有

x1x222x1x2bicx1,22aa且。

注意两种题型：(1)x1x2 (2)x1x2

虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。

2已知x2x1是实系数一元二次方程axbxc0的两个根，求x2x1的方法：

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2b4ac0时， （1）当

b24acx2x1(x1x2)4x1x2a22(2)当b4ac0时，

x2x1(x1x2)4x1x224acb2a

xx2已知x1,x2是实系数一元二次方程axbxc0的两个根，求21的

方法：

2b4ac0时， （1）当

bcxxxx02112xx0,a ①12即a，则

c0xx0,a12②即，则

b24acx2x1x1x2(x1x2)4x1x2a2

2（2）当b4ac0时，

x2x12x12x1x22ca

23i2123i1i例6（1）计算：

1996

答案：1i

（2）设复数z满足：|z33i|3，求|z|的最大值与最小值； 解：|z|的最大值为33，最小值为3； （3）若xC，解方程|x|13ix

22ab1a(3b)i,由复数相解：设x=a+bi (a,b∈R)代入条件得:

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等的定义可得：

a2b21a3b0,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。

(4)设zC,1|z|2，则复数uz(1i)，在复平面内对应的图形面积为_______。

解：∵|u|=|z|•|1+i|=2|z|，∴2≤|u|≤2，故面积

22[2(2)]2。 S=

【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。

例4：已知z=1+i，a，b为实数， (1)若ω=z2+3z－4,求|ω|;

z2azb1i2 (2)若zz1，求a，b的值。

解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴||2。

a1(ab)(a2)i1i(ab)(a2)i1ii（2）由条件，∴，∴b2。

【思维点拨】利用复数的充要条件解题。 课后思考题：

z例5：设zC,且z1是纯虚数，求|zi|的最大值。

解：令z=x+yi（x，y∈R），则

y O －1 22xyxyzz2222(x1)y，∵z1是纯虚数， z1(x1)yP 1/2 x x2y2x01212(x)y(y0)y024∴，即，由数形

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11(x)2y2(y0)24结合可知本题是求圆上的点到A(0,－1)的最大51距离。∴|zi|max=|PA|=2。

课后题：

书上与作业本课后习题

（三）、归纳小结：

1、复数加减乘除的运算公式与龚二附属定义与应用 2、复数加减乘除的几何意义 3、复数的代数式运算技巧 4、复数加减乘除的拓展应用

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