经典例题精析
类型一：求曲线的标准方程
1. 求中心在原点,一个焦点为
且被直线
截得的弦AB的中点
横坐标为的椭圆标准方程.
思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析：
方法一：因为有焦点为
，
所以设椭圆方程为，,
由，消去得，
所以 解得
故椭圆标准方程为
方法二：设椭圆方程 ,,,
因为弦AB中点,所以，
由得,（点差法）
所以
又
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故椭圆标准方程为.
举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方
程.
【答案】依题意设椭圆标准方程为()，
并有，解之得，,
∴椭圆标准方程为
2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点
解析：
（1）解法一：设双曲线的方程为
由题意，得，解得，
所以双曲线的方程为
解法二：设所求双曲线方程为（），
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将点代入得，
所以双曲线方程为即
（2）解法一：设双曲线方程为 由题意易求
－
=1
又双曲线过点 又∵
，∴，∴
，
故所求双曲线的方程为.
解法二：设双曲线方程为 将点
代入得
，
，
所以双曲线方程为.
总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的
关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程（
）.
，可设双曲线方程为
举一反三：
【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为
，且双曲线过点
.
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（2）虚轴长与实轴长的比为 【答案】
，焦距为10.
（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线
方程为 ∵点
，
在双曲线上，
∴，解得，
∴所求双曲线方程为 （2）由已知设 依题意
,
,则，解得
.
(.
)
∴双曲线方程为
或.
3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
；
上
（1）过点
（2）焦点在直线：
思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论 解析： （1）∵点
在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左
当抛物线开口方向左时， 设所求的抛物线方程为 ∵过点
，∴
（，
），
∴，∴，
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当抛物线开口方向上时， 设所求的抛物线方程为 ∵过点
，∴
（，
），
∴，∴，
∴所求的抛物线的方程为或，
对应的准线方程分别是 （2）令
得
，令
或
，得
. ，
∴抛物线的焦点为
当焦点为时，，∴；
，
此时抛物线方程
焦点为时，，∴
，
此时抛物线方程为 ∴所求的抛物线的方程为 对应的准线方程分别是
或，
.
，
总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标
准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.
举一反三：
【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点为F(4,0)；
（2）准线为 ；
（3）焦点到原点的距离为1； （4）过点（1，－2）；
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（5）焦点在直线x-3y+6=0上. 【答案】
2
（1）所求抛物线的方程为y=16x；
2
（2）所求抛物线的标准方程为x=2y；
22
（3）所求抛物线的方程y=±4x或x=±4y；
（4）所求抛物线的方程为
2
或
2
；
（5）所求抛物线的标准方程为y=－24x或x=8y.
【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为长为
，求抛物线的方程.
(
)，又弦所在直线方程为
的弦
【答案】设抛物线方程为
由 ∴
，解得两交点坐标
，解得.
, .
∴抛物线方程为
类型二：圆锥曲线的焦点三角形
4．已知，求
、是椭圆的面积.
（）的两焦点，P是椭圆上一点，且
思路点拨：如图求的面积应利用，即
.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有
，易求之.
解析：设
,
,
依题意有
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(1)-(2)得
2
，
即.
∴
举一反三：
.
【变式1】设为双曲线，则
上的一点，
的面积为（ ）
是该双曲线的两个焦点，若
A． B． C． D． ，
【答案】依据双曲线的定义有 由 又 所以
【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点设右焦点
，求
的周长.
，
，故选A.
得
、，则
，
，即
，
的弦交左半支于、两点，且，
【答案】：由双曲线的定义有: 两式左、右分别相加 得( 即 ∴ 故
【变式3】已知椭圆的焦点是
的周长
.
，
.
.
,直线是椭圆的一条准线.
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① 求椭圆的方程； ② 设点P在椭圆上,且 【答案】
,求
.
① ②设
.
则 又
，
.
.
【变式4】已知双曲线的方程是
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设
和
是双曲线的左、右焦点，点
在双曲线上，且
，求
的大小
【答案】
（1）由得，
∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程
为 （2）
.
，
∴
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∴
和
【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点
，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比
（1）求椭圆与双曲线的方程； （2）若 【答案】
为这两曲线的一个交点，求
的余弦值.
.
，且
（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，
则 ∵
,∴
，解得 ,
.
故所求椭圆方程为 （2）由对称性不妨设交点
，双曲线方程为
在第一象限.设
、
. .
由椭圆、双曲线的定义有:
解得
由余弦定理有
.
类型三：离心率
5．已知椭圆上的点
和左焦点
，椭圆的右顶点
和上顶点
，当
，
（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.
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解析：设椭圆方程为
，
（），，
则 ∵
，∴
，即
，
.
即 又∵
，∴. ，
∴.
总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.
（1）可直接求出、；
（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；
（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.
举一反三：
【变式1】如图，和是以
为圆心，以
分别是双曲线的两个焦点，和
是等边三角形，
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且
则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】连接 令 即
，则，则
是直角三角形，且
，
，
，
，
，
所以
，故选D.
【变式2】已知椭圆交于B点，F点是左焦点，且
（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴
，求椭圆的离心率.
法一： ∵
,
,, ∴
,
又,，代入上式，得，
利用代入，消得,即
由，解得,
∵,∴. ，，即
， 下略）
法二：在ΔABF中，∵ ∴
【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使
. 求椭圆的离心率.
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【答案】设椭圆的方程为 则直线l的方程为:
（,
），焦距为,
由 设点
，消去、
得
,
,
则
∵＋, ∴C点坐标为.
∵C点在椭圆上,∴.
∴ 又
∴ ∴
∴
【变式4】设
、
为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若
，则椭圆离心率为_____.
【答案】如图，点
满足
，且
.
在 ∵
中，有：， ∴
,
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令此椭圆方程为 则由椭圆的定义有
,
,
∴ 又 ∵
， ∴
，
，
∴
∴
，∴，即.
6．已知、为椭圆的两个焦点， ,
,
为此椭圆上一点，且.求此
椭圆离心率的取值范围； 解析：如图，令
,
则在中，由正弦定理 ，
∴，
令此椭圆方程为 (),则,,
∴ 即 （），
∴ , ∴ ,
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∵,且为三角形内角，
∴， ∴,
∴ , ∴ .
即此椭圆离心率的取值范围为
举一反三：
.
【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，
使，求其离心率的取值范围.
【答案】△F1PF2中，已知
2
2
2
，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，
由余弦定理：4c=|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cos120°① 又|PF1|+|PF2|=2a ②
联立① ②得4c=4a-|PF1||PF2|，∴
2
2
【变式2】椭圆为
，若
的焦点为，，两条准线与轴的交点分别
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】由得，即，解得，
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故离心率
.所以选D.
【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．
【答案】 e∈[
,1)
【变式4】双曲线 (a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且
点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥值范围．
【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．
c．求双曲线的离心率e的取
由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．
同理得到点(-1,0)到直线的距离．
=．
由s≥ 即5a 于是得5
4
c,得≥
2
c,
≥2c． ≥2e．
2
2
即4e-25e+25≤0．
解不等式,得 由于e＞1,
≤e≤5．
2
所以e的取值范围是．
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类型五：轨迹方程
7．已知
中，的轨迹方程.
,
,
为动点，若
、
边上两中线长的
和为定值15.求动点
思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视 解法一：设动点
,且
,
则 ∵
、边上两中点
,
、的坐标分别为,.
∴ 即
从上式知，动点 故动点椭圆，
挖去点
.
到两定点
,
,
.
,
的距离之和为常数30， 为焦点且
,
,
的
的轨迹是以
∴动点 解法二：设
的轨迹方程是 的重心
，
(,动点
). ,且
，
则 ∴ 且
点的轨迹是以
,
,
,.
.
为焦点的椭圆（挖去点
），
其方程为().
又, 代入上式，得()为所求.
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总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.
举一反三： 【变式1】求过定点的轨迹方程.
【答案】设动圆圆心
, 动圆半径为,
.
且和圆
:
相切的动圆圆心
（1）动圆 （2） 动圆
与圆与圆
外切时，内切时，
. 、
， ，
由（1）、（2）有
∴ 动圆圆心M的轨迹是以
为焦点的双曲线，
且,,.
故动圆圆心
【变式3】已知圆
的轨迹方程为.
的圆心为M1，圆的圆心为M2，一
动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程. 【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R， 由两圆外切的条件可得： ∴
，
.
.
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴2
b=12，
故所求轨迹方程为
【变式4】若动圆圆心
的轨迹方程.
与圆
:
.
相外切，且与直线:相切，求动圆
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法一：设 依题意点 ∵ ∴ 化简得 法二：设 过
作
,动圆半径，动圆与直线切于点在直线的左侧，故
,
.
, 即为所求.
,作直线：
于
.
，
,
，点
.
，交于
, ∴
依题意有
由抛物线定义可知，点 故
为焦点，：
为所求.
的轨迹是以为顶点，
为准线的抛物线.
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