第四章矩阵练习题

一、 判断题

1. 对于任意n阶矩阵A，B，有ABAB. 2. 如果A0,则A0.

3. 如果AA2E，则A为可逆矩阵.

4. 设A,B都是n阶非零矩阵，且AB0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n.

25．A,B,C为n阶方阵，若ABAC, 则BC.

6．A为mn矩阵，若r(A)s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，

Is使PAQ00. 07．n阶矩阵A可逆，则A*也可逆.

8．设A,B为n阶可逆矩阵，则(AB)*B*A*. 二、 选择题

1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(BB),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） (A) ABBA (B) ABBA (C) (AB) (D) BAB 2. 设A是任意一个n阶矩阵，那么（ ）是对称矩阵。

(A) AA (B) AA (C) A (D) AA 3．以下结论不正确的是（ ）。

(A) 如果A是上三角矩阵，则A也是上三角矩阵； (B) 如果A是对称矩阵，则 A也是对称矩阵； (C) 如果A是反对称矩阵，则A也是反对称矩阵； (D) 如果A是对角阵，则A也是对角阵。

2222TT2T2T4．A是mk矩阵, B是kt矩阵, 若B的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（ ）

(A) AB的第j列元素全等于零； (B) AB的第j列元素全等7于零； (C) BA的第j列元素全等于零； (D) BA的第j列元素全等于零； 5．设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（ ） (A) (AB)A2ABB (B) AB(AB)(AB) (C) (AB)AB (D) AE(AE)(AE) 6．下列命题正确的是（ ）

(A) 若ABAC，则BC (B) 若ABAC，且A0，则BC (C)若ABAC，且A0，则BC (D) 若ABAC，且B0,C0，则BC

7. A是mn矩阵，B是nm矩阵，则（ ）

(A)当mn时，必有行列式AB0； (B)当mn时，必有行列式AB0 (C)当nm时，必有行列式AB0； (D)当nm时，必有行列式AB0；

8．以下结论正确的是（ ）

(A) 如果矩阵A的行列式，则A0,则A0； (B) 如果矩阵A满足A0，则A0；

(C) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵A,B，有(AB)(AB)AB

9．设1,2,3,4是非零的四维列向量，A(1,2,3,4),A*为A的伴随矩

2222222222222阵，已知Ax0的基础解系为(1,0,2,0)T，则方程组A*x0的基础解系为（ ）. （A）1,2,3. （B）12,23,31.

（C）2,3,4. （D）12,23,34,41.

10.设A是n阶矩阵，A适合下列条件（ ）时，InA必是可逆矩阵

(A) A0 (B) A是可逆矩阵 (C)A0 (D)A主对角线上的元素全为零 11．n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（ ）

(A) A1 (B) A0 (C) AAT (D) A0 12．A,B,C均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ ）

(A) 若A是可逆矩阵，则从ABAC可推出BACA (B) 若A是可逆矩阵，则必有ABBA (C) 若A0，则从ABAC可推出BC (D) 若BC，则必有ABAC

13．A,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABCE，则有（ ） (A) ACBE （B）BACE （C）BCAE (D) CBAE 14． A是n阶方阵，A是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ ）

(A)若A是可逆矩阵，则A也是可逆矩阵； (B)若A是不可逆矩阵，则A也是不可逆矩阵； (C)若A*0，则A是可逆矩阵； (D)AA*A; 15．设是5阶方阵，且A0，则A*（ ）

(A) A (B) A (C) A (D) A 16．设A是A(aij)nn的伴随阵，则AA中位于(i,j)的元素为（ ）

(A)

*

*

*

*

nn234*ak1njkAki (B) akjAki (C) ajkAik (D) akiAkj

k1k1k1nnna11LL17.设ALan1La1nA11LLL, BLannAn1LA1nAaL

,其中ij是ij的代数余子式，则（ ）Ann(A) A是B的伴随 (B)B是A的伴随 (C)B是A的伴随 (D)以上结论都不对 18．设A,B为方阵，分块对角阵CA0,则0BC* ( ) (A) CA*0AA*0B* (B)C00BB* (C) CBA*0AB00AB* (D) CA*0ABB*

19．已知A461352，下列运算可行的是（1,B246 ） (A) AB (B)AB (C)AB (D)ABBA 20．

设A,B是两个mn矩阵，C是n阶矩阵，那么（ ）

(A) (AB)CACB (B)(ATBT)CATCBTC (C) CT(AB)CTACTB (D)(AB)CACBC

21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足ABBA，那么B是一个（ (A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A的逆矩阵 22．设A是一个上三角阵，且A0，那么A的对角线上的元素（ ）

(A) 全为零 （B）只有一个为零

（C）至少有一个为零 （D）可能有零，也可能没有零 23．设A13，则20A1（ ） 01011(A) 23311 （B） （C）0 （D）01231161362111636）

a124． 设Aa2a3b1b2b3c1a1c2，若APa2c3a3c1c2c32b12b2，则P（ ） 2b3100100001200(A) 001 （B）002 （C）020 （D）001 0200101000101a25．设n(n3)阶矩阵AaLaa1aLa a1La，若矩阵A的秩为1，则a必为（ ）

LLLLaaL111(A) 1 （B）-1 （C） （D）

1nn1aaL26. 设A,B为两个n阶矩阵,现有四个命题:

①若A,B为等价矩阵,则A,B的行向量组等价; ②若A,B的行列式相等,即|A||B|,则A,B为等价矩阵; ③若Ax0与Bx0均只有零解,则A,B为等价矩阵; ④若A,B为相似矩阵,则Ax0与Bx0解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( )

(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.

三、填空题

*

1．设A为三阶方阵，A为A的伴随矩阵，有A2，则(A)1312A* 2．设A,B为4阶方阵，且A3，则(3A)1 , BA2B1 。

3．设A是一个mn矩阵，B是一个ns矩阵，那么是(AB)'一个 阶矩阵，它的第i行第j列元素为 .

4.n阶矩阵A可逆 

  .

a004.三阶对角矩阵A0b0，则A的伴随矩阵A*= . 00c123*15．设A023，则(A) .

0030a1000a26．设ai0,i1,2,Ln，矩阵LLL000an007．设A,B都是可逆矩阵，矩阵CLLLLL00 L的逆矩阵为 。

an100BA的逆矩阵为 . 01213318．设A,B24,C24，则B(2AC)（ ）

349．A既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A为 矩阵.

b110．设方阵Ab2b3x1x2x3c1b1c2，Bb2c3b3y1y2y3c1c2，且A2,B3则行列式c3AB .

11．设A为m阶方阵，B为n阶方阵，已知Aa,Bb，则行列式

0BA0 .

12．设A为n阶方阵，且A0，则 在A等价关系下的标准形为 .

12213. 设A21a（a为某常数），B为43的非零矩阵，且BA0，则

311矩阵B的秩为 .

四、解答下列各题

1．求解矩阵方程

2112546113X210 (1) ; (2) X; 1321111432142031(3) X;

121101010100143(4) 100X001201

0010101200332．设A110,ABA2B ,求B.

1233．.设P1AP,其中P141011, ,求A.

110214．设3级方阵A,B满足2ABB4E，证明：A2E可逆，并求其逆. 5．设A是一个n级方阵，且R(A)r，证明：存在一个n级可逆矩阵P使PAP的后nr行全为零.

6．设矩阵Amn,Bnm，且mn,ABE，证明：A的行向量组线性无关.

17．如果A2A,称A为幂等矩阵.设A,B为n阶幂等矩阵，证明：AB是幂 等矩阵的充要条件是ABBA0.