最小方差套期保值比率

可以通过股票指数期货演示如何得到对冲现货头寸的最优期货合约数量。假设A持有充分分散化的股票组合现货头寸，并且完全模拟市场指数（如S&P500），但是担心价格下跌，希望使用期货合约对持有的头寸对冲。已知：

S=S&P500指数现价

TVS0=初始持有现货总值（就是150万美元） F=期货价格（S&P500指数期货） FVF0=一份期货合约的账面价值 NS,0=现货持有的指数单位数量 Nf=持有的期货合约数量 S0=1500 F0= “合约乘数”或者S&P500指数每点价值z=250美元。因此

FVF0=F0z （） 如果现货头寸是TVS0美元，投资者初始持有NS,0单位指数，则

NS,0=TVS0/S0=1500000/1500=1000单位指数 （）

t=0时，对冲者在现货市场上为多头，因此在期货市场上空头卖出Nf份合约。在t=1时刻，结清持有的头寸，对冲的组合价值变化如下：

V即期市场头寸的变化期货头寸的变化

(A3.3)

NS,0(S1S0)Nf(F1F0)zNS,0SNf(F)z其中，SS1S0,FF1F0。

对冲组合的方差是

22222V(NS)S(Nfz)F2NSNfzS,F2(A3.4)

其中，V是S的变化的方差。对公式（）的Nf微分，并使之为零（来得到最小值），也就

2V是，得到最优值： Nf02Nfz2FNS,0zS,F(A3.5)

(A3.6)

Nf(NS,0S,F)2zF代替公式（）中的NS,0，得到最小方差对冲率

TVS0S,F现货头寸的总价值 Nf()2S,FzS0t0时现货指数的价值F S0S,F(F)t(A3.7)

其中，“beta”为现货资产绝对变化量△S对期货价格绝对变化量△F回归得到的回归系数：

(A3.8)

S,FS,FS2FF(A3.9)

如果投资者手中持有的股票组合精确地反映了S&P500的组成，beta值就会与之一致，

于是

NfNS,0TVS01000个指数单位（份合约）4zzS0250美元(A3.10)

期货合约中持有的指数单位数量是zNfNS,01000，与现货市场中持有的指数单位数量相同。注意，Nf最优值的分母是zS0，而不是FVF0zF0。但是，下面我们可以看到，如果我们采用更为普通的证券组合beta的定义，以百分比变动来描述的话，就可以合理地以Nf来改写FVF0。

注意，在一些对冲率的说明中，有如下定义hNfzNS,0，因此公式（）变为

VNS,0(ShF)，方差根据h最小化。这样给出的最小对冲率答案自然与前面得到

的相同。

其他一些公式 最小方差对冲率是

TVS0S,FNf2zS0F相关系数TVS0SzS0F(A3.11)

S,F。如果0,Nf0，对冲不能降低风险。如果

SF（即1，SF）S,F1，标的股票组合完全模拟S&P500，那么“简单”对冲率

NfTVS0TVS0是最优解（对冲率Nf也通常给出合理的对冲率）。

FVF0zS0根据公式（），容易得出zFVF0，这样，我们就可以使最小方差对冲率的公式（）F0中出现“期货合约的账面价值”FVF0:

TVS0F0NfFVFSS,F00(A3.12)

如果

F0S0接近于1，利用S,FTVS0可以得到与实际最优值相似的结果。例0FVF如，对于支付红利的股票常接近于1。

FF01(r)T，r5%,4%,T0.25,01.0025，非

S0S0股票组合

假设我们持有的股票组合可以充分分散化，但是构成却没有精确地反映“市场指

数”，如S&P500。尽管前面公式中的Nf使用绝对变化量，但证券组合的报酬率通常以变化的比例（或百分比）表示。现在来修正这一点，假设A的标的股票组合没有模拟S&P500指数，但是预期（比例）回报率RP与“市场指数”回报率Rm相关，这里的指数仍然为S&P500。单指数模型给出

RPPRmP(A3.13)

其中，t为随机误差，描绘股票组合的非系统组合。从前文的回归中估计股票组合的P。如果忽略红利支付，那么RPSS，S是A持有的证券组合的股票价格。需要补充的是，

如果假设S&P500期货价格和S&P500指数变化情况大致相同（由于指数套利的可能性），那么 因此

FRmF(A3.14)

PS,FSF2FF(A3.15)

但是由于S0和F0已知（在t=0）： F并且

S因此

,FFFF0(A3.16a)

SFS,FS0F0(A3.16b)

P

S,FSF2FF0F0S,FS0S0(A3.17)

将公式（）带入公式（）中，最小方差对冲率可以被表示成：“组合beta”与

FVF0的形式：

TVS0NfFVFP0(A3.18)

n 这个表达式的优点是可以使用基于beta资料库中的“证券组合beta值”Pii1i（i是持有的股票中每种股票所占的比例）。公式（）与公式（）的主要差别是P是由股票组合回报率RP与市场组合回报率Rm（也是非常好的FF的代理变量）回归得到的，而

公式（）是建立在绝对变化量△S与△F的回归上。注意公式（），如果不认为Rm是好的F的代理变量，我们可以对百分比变动SFS与FF进行回归，直接得到P的估计值。根据

公式（），如果证券组合的betaP是1，对冲需要的最优期货是NfTVS0。但是，对于FVF0一个股票组合，如果变动大于市场（P>1），由于期货价格变动的比例小于标的股票，则需要更多的期货才能成功地对冲。